CHAPITRE VI

DU CENTRE. — PLANS DIAMÉTRAUX ET DIAMÈTRES. — PLANS ET AXES PRINCIPAUX.

Recherche du centre dans le cas le plus général.

627. Quand une surface du 2' ordre a un centre et qu’on y place l’origine, les termes du l*r degré doivent s’anéantir (612);

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donc, pour connaître si la surface a un centre, il suffit de transporter les axes parallèlement à eux-mêmes, à une origine quelconque, et de déterminer ensuite, s’il est possible, les coordonnées de cette origine par la condition que les termes du 1er degré disparaissent. Prenons l’équation générale

|A] Ax* + A 'y* + AV + 2B xy + 2B'xz + 2B "yz

+ 2Cx +2C'ÿ + 2C"z + F = 0.

et changeons-y x, y, z, en x-j-f, y g, s-f-A. En faisant, pour abréger,

D =A f -f-By+B'A+C,

G = kf* -f A 'g* + AV + 2B fg + 2B 'fh +2B"^-(-2C/-+ 2C'ÿ+2C"A + F,

il viendra une nouvelle équation qui aura la forme

Ax* + A 'y* + AV + 2B xy + 2B ’xz + 2B "yz + 2Dx + 2D'y + 2D"z + G = 0.

Remarquez : 1° que les termes du 2® degré ont les mêmes coefficients que dans la proposée; 2» que ceux du l,r degré peuvent s’obtenir en mettant f, g, h, à la place de x, y, z, dans les polynômes dérivés, relatifs à x, y, z, du 1" membre de la proposée; 3° que la partie constante G n’est autre que ce Ie' membre dans lequel on a opéré les mêmes substitutions.

Puisqu’on veut faire disparaître les termes du 1" degré, on posera

alors l’origine sera placée au centre, et l’équation de la surface devient

[G] Ax! -f- A y + AV + 2B xy + 2B'xz + 2B"y* -f G = 0.

En même temps l’expression de G se simplifie considérablement : car, si après avoir multiplié les éq. [1] respectivement par f, y, h, on les retranche de G , il vient

G = C/’+C'y-fC"A + F.

11 est bon aussi de remarquer que dans les valeurs générales de

f, g, h, déduites des éq. [1], le dénominateur commun, que j’appellerai K , est K = AB"* + A'B'* + A"B* — AA'A" — 2BBB”.

628. Les éq. [t] font connaître f, g, h. En considérant ces coordonnées comme des variables, les éq. [1] représentent trois plans; et c’est l’intersection de ces plans qui détermine le centre. Alors se présentent les distinctions suivantes :

1“ Quand les plans ont un point commun et qu’ils n’en ont qu’un , la surface a un centre unique; c’est le cas le plus général.

2° Quand les trois plans se coupent suivant la même droite, tous les points de cette droite sont des centres.

3° Quand les trois plans se confondent en un seul , tous les points de ce plan peuvent être pris pour centres.

4° Enfin , quand aucun point n’est commun aux trois plans à la fois, et c’est ce qui arrive quand ils sont parallèles, ou quand l’un d’eux est parallèle à l’intersection des deux autres. Alors la surface n’a point de centre, ou plutôt le centre est à l’infini : car les valeurs générales de f, g, h, déduites des éq. [1], deviennent infinies, ou au moins l’une d'elles.

629. 11 est évident qu’on doit avoir, dans le premier cas, l’une des trois surfaces douées de centre, ou un cône ou un point unique, ou un cas d’impossibilité. Dans le second, on a un cylindre elliptique ou hyperbolique, ou deux plans qui se coupent, ou une droite, ou un cas d’impossibilité. Dans le troisième , on a deux plans parallèles, ou un seul plan, ou deux plans imaginaires. Dans le quatrième , on a l’un des deux paraboloïdes, ou bien un cylindre parabolique.

Des plans diamétraux en général.

630. Un plan diamétral doit couper en leurs milieux une suite de cordes parallèles (61b) : appliquons le calcul à cette définition. Soient

fi] £ = 8,z + p, y = 8'* + p',

les équations d’une corde quelconque, 8 et 8’ étant constantes, mais p et p' étant variables d’une corde à une autre. Substituons ces valeurs dans l’équation générale [A], et posons, pour abréger,

R = AS* + A'8” + A” -f 2B88' + 2B'8 + 2B''8’ ;

S = A8p + A'S'p' + BSp' + B8'P + B'p -f B'p' + C8 + C'3' -f- C" ;

T = Ap* -f A'p'* + 2Bpp’ + 2Cp + 2G'p' + F ;

TROISIÈME PARTIEi

il viendra l'équation

[2] Rz*+2Sz-f T = 0,

dont les racines sont les valeurs de z, aux points où la corde ren-

contre la surface. Leur demi-somme est — - , et c’est une des

coordonnées du milieu de la corde; donc, en désignant cette coordonnée par z , on aura

[3] Rz+S = 0.

En nommant x et y les deux autres coordonnées du milieu de la corde, on doit avoir aussi, entre x, y, s. les équations [1]; par conséquent l’élimination de p et p' entre [1] et [3] donnera le lieu des milieux de toutes les cordes parallèles. Remettant pour R et S leurs valeurs, et effectuant les calculs, on trouve

[4] (A8-f Bo'-f B')x + (A'8'-f-BS+B'’)y + (A" + Br8 + B”8> + G8 + C'S' -f C" = 0.

Telle est l’équation générale des plans diamétraux. On peut l’écrire ainsi

(Ax + By + B'z + C)8 + (A 'y + Bx+ K'z + C')8'

sous cette forme , on voit comment elle se compose avec les polynômes dérivés, relatifs à x, y, z, du 1" membre de la proposée [A].

631. Toutefois il faut remarquer que, dans certains cas, la quantité désignée par R (630) peut être zéro, ce qui réduit l’éq. [2] au l,r degré. Les cordes ne rencontrent donc plus la surface qu’en un seul point; ou, plutôt, l’un des deux points d’intersection est à une distance infinie. Aussi arrive-t-il alors que le plan diamétral est parallèle aux cordes; car, pour que cela soit, la condition est (571)

(AS + BS1 + B')8 + (A'8' -f B8 + B")3' + A" + B'S + B"8’ = 0,

ou, en réduisant,

[5] AS* + A '8" + A” -f 2B88* + 2B'8 + 2B' V = 0 ,

et on voit que cette condition est remplie, puisqu’elle n’est autre chose que l’hypothèse R = 0.