Quand la surface a un centre, on peut réduire son équa

tion à la forme Px* -}- P 'y' + P"z* = H (611) : alors celle du plan diamétral devient

Cette équation représente un plan passant par l’origine, qui est ici placée au centre ; et , d’ailleurs , on peut toujours déterminer 8 et S', de manière qu’elle soit identique à celle d’un plan donné, mené par l’origine : donc, dam les surfaces douées de centres , tous les plans diamétraux passent au centre; et , réciproquement , tous les plans menés par le centre sont des plans diamétraux.

633. Quand la surface est dénuée de centre, on peut la représenter par P 'y* + P'z* = aQx (611). Par suite on a, pour le plan diamétral ,

Un plan parallèle à la ligne des x a pour équation «y + z = p ; et il est évident que l’éq. [7] devient identique à celle-ci en posant

donc, dam les surfaces dénuées de centre, les

plans diamétraux sont parallèles à la ligne des x; et, réciproquement , tout plan parallèle à cette ligne est un plan diamétral.

Au reste, on peut regarder cette conclusion comme comprise dans celle du numéro précédent. Mais alors il faut , conformément à une remarque déjà faite (613), considérer les paraboloïdes comme ayant un centre situé à une distance infinie ; et c’est ce qu’il convient de faire dans tous les cas analogues, afin d’éviter les détails trop minutieux.

Des diamètres.

634. La recherche des diamètres est facile; mais, pour abréger les calculs, je prendrai, au lieu de l’éq. générale [A], celle-ci [H] Px* + Py + P"zI = H + 2Qx.

Elle est plus simple, et cependant elle comprend toutes les surfaces du 2e ordre; car les éq. [E] et [F] du n° 611 en sont des cas particuliers.

Le diamètre, d’après sa définition (614), doit passer par les centres des sections faites dans la surface par une suite de plans parallèles. Soit

[4j z=ax-f a'y + Y,

hàà

l’équation d’un de ces plans, a et a' étant constants et y variable : l’élimination de z entre [1] et [H] fera connaître la projection de la section sur le plan de xy. Il vient

[2] (P + P V) x* + (P' + PV!) y1 + 2P"a«'xy + 2 (P"aY — Q)x + 2PVYy + P'Y — H = 0.

Les seules courbes que puisse donner un plan , en coupant une surface du 2* ordre , sont l’ellipse , l’hyperbole et la parabole (607) ; et il est évident que si la projection est une ellipse ou une hyperbole, la section elle-même ne peut être qu’une ellipse ou une hyperbole. De plus , il est facile de voir que le centre de la projection est la projection du centre de la section. En conséquence, je supposerai que l’éq. [2] représente une ellipse ou une hyperbole , et je vais déterminer les coordonnées du centre de cette projection. v Pour les obtenir, il faut (270) égaler à zéro les polynômes dérivés, relatifs à x et y, du premier membre de l’éq. [2]; et on trouve ainsi

[3] (P + P V) x + P Wy + P”aT = Q.

[4] (P'-|- PV*)y + PWx -f P'Vy= 0.

Dans ces équations, x et y sont deux des trois coordonnées du centre de la section; l’éq. [t] ferait connaître la troisième z. Mais, pour avoir le lieu des centres de toutes les sections parallèles qui proviennent de la variation de y, il sera inutile de chercher les valeurs de x, y, z : il suflira d’éliminer y entre [t], [3], [4], On obtient pour résultat les équations

[5] Px + P"az = Q , Fy -f- P Vz = 0 ,

qui sont celles d’un diamètre quelconque de la surface.

635. Quand la surface a un centre, on peut faire Q = 0; et ces équations deviennent Px-j-P "az = 0, P'y + P"a’z = 0. En choisissant convenablement a et a', la droite qu’elles représentent prend toutes les positions possibles autour de l’origine. De là on conclut que tous les diamètres passent au centre; et , réciproquement , que toute droite menée par le centre est un diamètre.