PROPRIÉTÉS DES DIAMÈTRES CONJUGUÉS
649. Dans les surfaces du 2* ordre qui ont un centre, les diamètres conjugués jouissent d’un grand nombre de propriétés remarquables. La parfaite analogie de quelques-unes d’entre elles avec celles qu’on connaissait déjà pour l’ellipse et l’hyperbole, suffisait pour les faire découvrir : mais il en est d'autres dont les énoncés étaient entièrement nouveaux quand iis ont été publiés par MM. J. Binet, Petit et Chasles. Les limites de cet ouvrage ne me permettant pas de les exposer toutes, je me bornerai aux {dus saillantes.
La définition même des diamètres conjugués (616) exige que l’équation de la surface ne contienne chaque variable qu’au carré, quand on choisit ces diamètres pour axes de coordonnées. Ainsi, en prenant l’équation de la surface rapportée à ses axes, en
kbh
effectuant la transformation nécessaire pour changer la direction des coordonnées sans déplacer l’origine, et en établissant les conditions qui font évanouir les rectangles, on aura toutes les relations qui existent entre les diamètres conjugués et les axes.
Je ne parlerai que de l’ellipsoïde; mais il sera facile de transporter aux hyperboloïdes les différentes propositions qui vont être établies. Pour cela il suffira de prendre négativement les carrés des axes imaginaires et des diamètres imaginaires ; car toutes les démonstrations subsisteront encore en y faisant partout ces changements.
650. Soit l’équation de l’ellipsoïde, rapporté à ses axes (643),
Z-j éL L 1
L’origine devant rester (placée au centre, on prendra (595) les formules
x = ocr, -f py< -f yz„ y = a'x, + p'y.-f fz, z= <x"x,-|- p"y,+ y%
dans lesquelles on représente par xlt y„ z„ les nouvelles coordonnées ; et par a, a', a", par {3, {3', (T, par y, y', y", les cosinus des angles formés avec les axes primitifs par les lignes des x„ des y, et des z,.
En substituant ces valeurs dans [/»], il vient une équation de la forme
Az,’+ A'y,*+ A"z,*-f- Vüxyl+ 2B'x,z,-f 2B"y,z ,= 1 ;
et, pour que la surface soit rapportée à des diamètres conjugués, il faudra poser
En même temps, on voit que, si on nomme a', 6', c', les demi-
longueurs de ces diamètres, on aura A = A'— rr, , A"= -=■ : de
sorte que l’équation de l’ellipsoïde deviendra
ta!
ZL i LL ZL — A
651. Les propriétés des diamètres conjugués sont renfermées dans les relations qui existent entre les quinze quantités a, b, c, a', b', c', a, a', p, j3', (s", y, y', r". Réunissons ici toutes ces relations, qui sont au nombre de neuf.
D’abord, les cosinus a, a, p,... sont toujours assujettis aux trois conditions
Ensuite, si on développe les calculs afin d’avoir les quantités A, A', A", B, B', B", on aura, d’après ce qui précède,
û* + ïr+ c*" “ a'*’
rai >* ?'* T 1
l2l |JS+ ZÏ+ 3- — Eï»
ir , £-1
Voilà toutes les relations dont il s’agit. Mais il se présente une remarque importante : c’est que les éq. [2] et [3] ne sont autres que les éq. [«] et [6] du n° 600, dans lesquelles on aurait remplacé
par 7’ T’ T’ 7* T’ T’ 7* T’ 7 *
De là il suit que les éq. [c], [rf], [cj, du même numéro, doivent aussi avoir lieu, après qu’on y aura fait ces changements : c’est-àdire qu’on a
a'V +6’*p* +c'Y =ar, ( a'W +6”^' -fc'V = 0,
[4] {a',a'*+A'*P.-fc',Y'’=6,) [5]{a'W-H'8pp"-l-c'V' = 0,
[6] J44.(lr-fy)=^,
(a>t--in = £
1 J J ac b
[ aVo"+è'W'-f c'Yï"=0,
"hV— Y) = £,
i«v, , sr
oW/ *r<"—
V+PY'a"— T?'«V
II «t été permis de ne prendre, dans les éq. [6], que les signes supérieurs. Gela revient à donner à quelques cosinus, par exemple à a, a', a", certains signes plutôt que les signes opposés; ou bien encore, ce qui est la même chose, à prendre les x positifs dans un sens plutôt que dans le sens contraire. Or, il est évident que cette restriction ne peut exclure aucun système de diamètres conjugués.
652. Théorème I. La somme des carrés des diamètres conjugués d'un ellipsoïde est constante et égale à la somme des carrés des axes.
En effet, si on ajoute les éq. [4], il vient, en ayant égard aux relations [1],
cl * + b '* + J' = «> + 6* + c*.
Corollaire. S’il existe, dans l’ellipsoïde, des diamètres conjugués égaux, en désignant l’un d’eux par 2a', on aura
,=v/ï±pZ.
Le lieu des extrémités de tous les diamètres qui ont cette longueur est l’intersection de l’ellipsoïde et de la sphère concentrique décrite du rayon a ' : or, je vais prouver que chacun des diamètres appartient à un système de trois diamètres conjugués égaux. En effet , si on prend un de ces diamètres avec deux diamètres conjugués quelconques 25' et 2c' de l’ellipse située dans le plan diamétral conjugué du premier, on aura trois diamètres conjugués de l’ellipsoïde , donc a'1 4 5'* + c'1 = a* -}- 5* -j- c% et par conséquent 5” c'* = | [a* 4-5’ 4- c1). De là il suit qu’en choisissant
pour b' et c' les demi-diamètres conjugués égaux de la section diamétrale, on aura
c’est-à-dire qu’alors a', b', c', sont trois diamètres conjugués égaux. En y rapportant la surface, son équation serait celle-ci
qui est semblable à celle de la sphère : mais ici les coordonnées ne sont pas rectangulaires.
653. Théorème II. La somme des carrés des projections de trois diamètres conjugués d’un ellipsoïde, sur une droite fixe, est constante.
Je nommerai D la droite fixe, et 8, 8', 8", les angles qu’elle fait
avec les axes rectangulaires des x, y, z. Multipliez les éq. [4] respectivement par 8’, S'1, S”*, et les éq. [5] respectivement par 288', 288", 28'S"; puis ajoutez-les toutes ensemble, il vient
a'*(a8 -f «'8'+ «"8'')* -f- 4”(p 8 -f p"8*)‘ -f c'>(-/8 -f f8'-)-T*8*)* = a*S* + fr‘S'* + c,8"*.
Mais, par une formule connue (585) , les quantités qui multiplient a'*, !>', c", dans le premier membre, sont les carrés des cosinus des angles formés par les demi-diamètres a!, b', c', avec la ligne D; donc
a',cos*(a'D) -f- b'* cos*(4D) -f- c'*cos*(c'D) = a’8* -j- b' 6'i -f- c* 8"*. Dans cette égalité, le premier membre est la somme des carrés des projections de a', b', c', sur la ligne D ; et le second est la somme des carrés des projections de a, b, c, sur la môme ligne : ainsi , le théorème est démontré.
Corollaires. Supposons que la droite D ait été menée par le centre, que p, p', p", soient les projections de a', b', c', sur cette droite, et que q, q', q", soient les perpendiculaires abaissées des extrémités de a', b', c\ sur cette même droite : il est clair qu'on aura
En vertu des théorèmes I et II, chacune des deux sommes a'1 -j- b'r -j- c'* et p* + p' + p"1 est constante, quelle que soit la position des diamètres conjugués; donc la somme q 1 -f- q '* -j- q"1 l’est aussi. Les perpendiculaires q, q', q", peuvent être considérées comme les projections de a', b c', sur un plan quelconque; et p, p', p", comme les perpendiculaires abaissées, des extrémités de ces diamètres, sur un plan diamétral : donc, dans l’ellipsoïde,
1° La somme des carrés des perpendiculaires abaissées sur un diamètre fixe, par les extrémités de trois diamètres conjugués, est constante.
2° La somme des carrés des projections de trois diamètres conjugués, sur un plan fixe, est constante.
3° La somme des carrés des perpendiculaires abaissées sur un plan diamétral, par les extrémités de trois diamètres conjugués, est constante.
654. Théorème III. La somme des carrés des faces du parallélépipède construit sur les diamètres conjugués d'un ellipsoïde , est constante.
Dans la démonstration de ce théorème et des suivants , je désignerai par x', y', z', x", y", z ", x'", y'”, z’", les coordonnées rectangulaires des extrémités des trois diamètres aj b', c'; par F, G, H, les parallélogrammes formés par b' et c', par a' et c', par a' et b'. Je représenterai aussi par f, /', f", les projections de F sur les plans de yz, de xz et de xy\ par y, g', g", celles de G, et par h, h’, h", celles de H.
Cela posé, soit (fig. 37) OBEC le parallélogramme formé avec b' et c', et OB'C' la projection du triangle OBC sur le plan de yz ; il est facile de trouver, par la figure,
f = 20B'C' = y"'zm — y”z" — [y’" — y") [zm + z") = y"z"' — z"y'". Mais on a
x' = a' a, xf z=ola!, z' =a'a", x"=bp, y" = b'P', z"—by, x"’=C y, ÿ'"=cY, z"'=cY';
donc f — b‘d (p'Y — y'P1'), ou bien, en vertu de la 4” éq. [6], bc
f— — a'oL. On trouve pareillement les projections f et f", de sorte qu’on a
Or, on sait (529, 539) que le carré d’un aire plane est égal à la somme des carrés de ses projections sur trois plans rectangulaires; donc F* = p + p /’"*» ou bien.
AV
De même, en considérant les parallélogrammes G et H , on doit avoir
G* - by + IJ- b'r\
iis
à*c* „ , aV , aV>'
— c? + ~ÿr ct + — cï
Donc, en ajoutant les trois dernières égalités, et réduisant au moyen des éq. [4], il vient, conformément à l’énoncé,
655. Théorème IV. Si on projette sur un plan fixe les faces du
parallélépipède construit sur trois diamètres conjugués de l'ellipsoïde, la somme des cart'és des projections sera constante.
Soient F', G’, H', les projections des parallélogrammes F, G, II, sur un plan fixe, 8, S', 8", les cosinus des angles de ce plan avec les plans de ijz, de xz et de xy. Rappelons que. pour projeter une aire plane sur un plan donné, on peut la projeter d’abord sur trois plans rectangulaires, et projeter ensuite les trois projections sur le plan donné (539). Il suit de là qu’on aura
F' = fl + fl' + f"l"= + ~ a' a' + — n'a",
abc
En élevant au carré, ajoutant, et réduisant à l’aide des éq. [4] et [5], il vient
F'* -f G'* + H'* = 4*c*8* + a VS” + a*6* 8"*,
résultat qui renferme le théorème à démontrer.
656. Théorème V. Le volume du parallélépipède construit sur trois diamètres conjugués d'un ellipsoïde est constant et égal au parallélépipède construit avec les axes.
Ce parallélépipède, que je nommerai V, est égal à six fois la pyramide triangulaire, formée avec les demi-diamètres a', b', c'. Soient (fig. 38) OF, OG, OH, ces demi-diamètres, dont les extrémités F, G, H, ont pour coordonnées x', )j , s1, etc. Cherchons d’abord le volume de la pyramide OFGH en fonction de ces coordonnées. A cet effet, abaissez les perpendiculaires FP, GQ, HR, sur le plan de xy, et achevez les constructions indiquées sur la figure. Alors faites attention aux quatre solides PQIUIFG, OPQGFO, OPRHFO, OQRHGO; et vous verrez que la pyramide OFGII est égale à la somme des deux premiers, moins celle des deux derniers. Ces quatre solides peuvent être considérés comme des prismes triangulaires tronqués ; par conséquent on a
PQRHFG = >■ PQR. {z1 + z" + z'”) , OPQGFO = jOPQ. [d + 2") ,
OPRHFO = J- OPR. (2' + z"j , OQRHGO = J OQR. (z"+ s") ;
/j60 TROISIÈME PARTIE,
donc, pour la pyramide OFGH, on a
OFGH = J PQR . (z'+ z’ -f z") + { OPQ . (z' + z") — J OPR . (z' + zm)
-10QR .(z' + z*)
= { z' (PQR + OPQ — OPR) + i z" (PQR + OPQ — OQR)
+ J 2'" (PQR OPR — OQR).
La figure suffit pour indiquer les réductions , et il vient OFGH = { z'.OQR + i z".OPR — | z"'.OPQ.
Mais on aperçoit facilement sur la figure que
OQR = {[xY’-xY-W'+ÿ'') (x-’-x'1)} = \ix'Y-ÿ’x"’), OPR = \[x't/+ (y'+ ÿ") {x"'- x') - x" f \= y{ÿx'"-x'y'"), OPQ = l[x'!/+(y'+y")(x"-x')-3'' y" ] = \ (y'x"-x'y").
En substituant ces valeurs dans OFGH , et multipliant par 6 pour avoir V, on trouve, tout calcul fait,
V = x'y"z'”—x'z"y'"+ z'x"ym— ÿx”z'"+ y'z"xm— z'ÿ'V".
Enfin, remplaçons x', y', z',... par leurs valeurs (645), il vient
v = db'c' («pYr— <xy'P"+ p*Y'+ yP «O ;
à cause de l’éq. [9], n° 651, cette valeur se réduit à V — abc, ce qui démontre l’énoncé (*).
657. Dans les paraboloïdes, tous les diamètres sont parallèles entre eux ; par conséquent , il ne faut pas chercher dans ces surfaces un système de trois diamètres conjugués.. D’ailleurs, s’il en existait, on pourrait mettre l’équation de ces surfaces sous la forme Px’ + Py -f- P"zs=H; et par cela môme elles auraient un centre, ce qui est impossible.
f) Les travaux de M. Chasles ont ajouté aux sui faces du 2* ordre plusieurs propositions nouvelles, qui méritent d’être remarquées à cause de leur grande généralité. J’indiquerai ici seulement la suivante, dont je supprime la démonstration. Si l’on a deux surfaces concentriques du second ordre, la somme des carrés de trois diamètres conjugués quelconques de la première surface, divisés respectivement par les carrés des trois diamètres de la seconde surface compris sur les directions de ces trois diamètres conjugués, est constante.
I.e lecteur qui voudrait connaître les ingénieuses recherches de M. Chasles doit consulter la Correspondance sur V École Polytechnique de M. Hachette , les Annales de M. Gergonne, la Correspondance mathématique et physique de M. Quetelet.
Mais on peut trouver une infinité de plans diamétraux conjugués deux à deux, c’est-à-dire tels que les cordes divisées en parties égales par l’un d’eux soient parallèles à l’autre. En effet, d’après ce qui a été dit n°* 61 1 et 612, il existe une infinité de systèmes de coordonnées qui peuvent donner une équation de la forme Vyl PV = 2Qx; et alors il est évident que les plans de xy et de xz sont des plans diamétraux conjugués, et que la ligne des x est un diamètre.
