DU PLAN TANGENT ET DE LA NORMALE

Du plan tangent et de la normale à une surrace algébrique quelconque,

658. Soit MS (fig. 39) une droite qui rencontre une surface en deux points M et M'; si on la fait tourner autour du premier jusqu’à ce que M et M' coïncident, la droite deviendra tangente à la surface. Comme il y a entre M et M' une infinité de courbes différentes sur la surface, on peut réunir le point M' au point M en lui faisant parcourir chacune de ces courbes; et il est clair que les tangentes à la surface ne sont autres que les tangentes à ces différentes courbes. Proposons-nous de chercher le lieu de ces tangentes pour une surface algébrique quelconque.

Supposons qu’on ait F (x, y, 2) = \xpyqzr -f A'x^fz'’ -f- etc. , et que l’équation de la surface soit

p, g,... étant des exposants entiers positifs, qui cependant peuvent être nuis. Représentons par x', f , z', les coordonnées du point M; par x'-f f, y -\- g, ~ + h , celles de M'; et posons f=*h, g=ph. Les équations de la sécante qui passe par ces points seront

Puisque les deux points M et M' appartiennent à la surface , on a

Ax^y'^z'-I- etc. = 0,

A(x' + fY[y' -f g)"(z' 4- h)r 4- etc. = 0.

Développons la 2“ équation de manière que les premières puissances de f, , g, A, soient en évidence, et retranchons-en la 1" équation : on trouve

(pAx'p-'if<dr-\-e\c.)f-\~ (qAx'py'q-i z’T etc.)ÿ -f- [rAx'p y'11 -}- etc.) A -|- u> = 0.

On désigne ici par w une suite de termes qui contiennent des puissances et des produits de f , g, A.

Représentons en général par X, Y, Z, les polynômes dérivés de F(x, y, z), relatifs à x, y, z, et par X', Y', Z', ce qu’ils deviennent pour les valeurs x~x', y — y', z = z'; divisons l’équation précédente par h , et observons qu’on a f=ah,g=$fi: il viendra

X'a-fY'P + Z'-fü>' = 0.

<i)’ contient encore le facteur A dans tous ses termes*

Cette équation doit avoir lieu, quelque rapprochés que soient les points M et M'; donc elle subsiste encore quand ils se confondent. Mais alors A = 0; par conséquent m' = 0, et l’équation devient [3] X'a + Y'p + Z' = 0.

Telle est la relation qui doit lier entre elles les quantités a et p , pour que les éq. [2] soient celles d’une tangente à la surface, au point dont les coordonnées sont x\ ÿ , z'. Pour avoir le lieu de toutes les tangentes en ce point, il faut éliminer a et [J entre les éq. [2] et [3]. De cette manière on obtient l’équation d’un plan, savoir •

C’est le plan tangent à la surface, au point donné.

659. Un parvient encore à cette équation d’une manière simple, en regardant les surfaces courbes comme composées de faces planes infiniment petites : mais reprenons les choses de plus haut.

Soit ADD (fig. 40) une courbe, dans laquelle on a inscrit un polygone ; et supposons qu’on augmente de plus en plus le nombre de ses côtés en plaçant de nouveaux sommets entre les premiers. On aura ainsi une suite de polygones inscrits dont la courbe est la limite , et c’est ce qu’on exprime en disant qu’elle peut être considérée comme un polygone d'une infinité de côtés, dont chacun est infiniment petit. Alors aussi ces côtés infiniment petits sont nommés les éléments de la courbe.

Soit BCL un côté indéfiniment prolongé du polygone ABCD. A

mesure que les côtés diminuent, le point C se rapproche du point B; et, à la limite il est clair que la droite BL devient tangente à la courbe au point B. C’est ce qui fait dire que la tangente à une courbe est le prolongement indéfini d’un élément de cette courbe.

Les considérations précédentes s’appliquent naturellement aux surfaces courbes, c’est-à-dire qu’on peut les regarder comme des polyèdres d’une infinité de faces infiniment petites; et alors le plan tangent est le plan d’une face , ftrolongé indéfiniment .

De cette manière de présenter le plan tangent, il résulte comme conséquence qu’il doit contenir toutes les tangentes menées à la surface par le point de contact. En effet, si on prend sur la surface, autour de ce point, un espace aussi resserré qu’on voudra, on peut le considérer comme un élément plan dont le prolongement indéfini détermine le plan tangent. Concevons ensuite différentes courbes tracées sur la surface par le point de contact : il est évident que chacune d’elles aura un élément situé dans le plan tangent, et que par conséquent la tangente, qui est le prolongement de cet élément, sera tout entière dans ce plan.

Il suit de là que, pour avoir le plan tangent en un point donné, il suffit de mener par ce point les tangentes à deux lignes de la surface, et de conduire un plan par ces tangentes. Ce procédé, dont on fait usage dans la géométrie descriptive, conduit aussi avec facilité à l’équation du plan tangent. Pour plus de simplicité, on mènera les tangentes aux deux sections faites dans la surface parallèlement aux plans de xz et de yz.

Soit comme plus haut,

l’équation de la surfaee , et soient x', y', z', les coordonnées du point de contact : je fais y = y', et il vient, pour la section parallèle au plan de xz,

F (x,tf, z) = 0.

Or, suivant ce qui a été exposé (471), je prendrai les polynômes dérivés du premier membre de cette équation, relatifs à x et à z, puis j’y remplacerai x et z par ad et s'; et en les désignant, après ces substitutions , par X' et Z', on aura , pour les équations de la tangente à la section,

y— il, z— X =—§(*—*')•

Maintenant, pour avoir une section parallèle à yz, je fais x=x' dans l’éq. [1], ce qui donne

11 est clair qu’en prenant les polynômes dérivés relatifs à y et à s, du polynôme F(x', y, z), et en mettant y' et z' au lieu de y et z, le second ne sera autre que la quantité Z' déjà trouvée. Désignons le premier par Y'; et on aura, pour la tangente à la nouvelle section, les équations

L’équation du plan tangent doit être de la forme A(* - x') + B(y - y') + C(z - z') = 0.

Pour que ce plan contienne la première tangente, on doit avoir CX'

A = — ; et pour qu’il contienne la seconde, on doit avoir