CY

B = — . Par suite, l'équation du plan tangent sera, comme plus

haut (638),

660. En posant, pour abréger, V' = XV + Y'ÿ* + ZV, cette équation du plan tangent peut s’écrire sous la forme X'x + Y'y -f- Z'z = V' ;

et je vais faire voir que V' peu toujours se réduire à une fonction de x', y', z', de degré moindre que F(x, y, z). Pour y parvenir, il faut démontrer d’abord le théorème suivant.

Théorème. Si on a un polynôme homogène en x, y, z, et qu’on ajoute ses polynômes dérivés, après les avoir multipliés respectivement par x, y, z, on reproduira le polynôme primitif, multiplié par le degré de l’homogénéité.

On dit qu’un polynôme est homogène en x, y, z, quand la somme des exposants de ces lettres est la même dans chaque terme; et cette somme se nomme le degré de l’homogénéité.

Soit donc un polynôme homogène

u = kx^zT + Mxr'yq'zT' + etc.,

dans lequel les sommes p + q -f r, p' -f q' -(- r', etc. sont égales à m. En désignant les polynômes dérivés par X, (i, v, on a X= pAxp etc. , jjl— qA.xvyq''z'-{- etc,, v = rAa^yV-'-j-etc.

De tà il est facile de conclure la propriété énoncée : car on a évidemment

ii-)-|iy + w = (p + ? + r)Axry*zT + etc. = mu.

Maintenant supposons que, dans F (x, y, z), la somme des termes de degré m soit u, que celle des termes de degré m — 1 soit u, ainsi de suite ; de sorte qu’on ait

F(x, y, z) = u + u' -f m" -f etc.

Appelons X, Y, Z; X, p, v; X', p', v';„. les polynômes dérivés de F, w, on a évidemment

X = X -|- X' -|~ etc., Y = [j. -f- p' -f- etc., Z = v -f- v'-)-- elc. ; donc, si on pose V = Xx -f- Yy -j- Zs, on aura

V = (Xx + py + vz) + (X'x + n'y + v'z) + etc., ou bien, en vertu du théorème sur les polynômes homogènes,

V = mu -(- (m — 4)u' — 2 )u" -f- etc.

L’équation proposée F(x, y, z) = 0 donne ü == mu -(- mu' -Jmu" -f etc.; et, en retranchant cette égalité de la précédente, il vient

V = — m' — 2a" — 3a'" — etc.

Il est évident que cette dernière fonction est, au plus, du degré m — 4 en x, y, z; donc la fonction V', qui n’est autre que la précédente dans laquelle on a remplacé x, y, z, par x*, y', z', sera au plus du degré m — 1 en x', ÿ , z\

661. Occupons-nous du cas où le plan tangent doit être mené par un point donné hors de la surface. Nommons x", y", z" , les coordonnées de ce point, et x', y', z', celles du point de contact : on n’a, pour déterminer ces trois inconnues, que les deux équations

dont l’une exprime que le point cherché est sur la surface ; et l’autre, que le plan tangent passe au point donné. Ainsi, en général, le problème est indéterminé.

662. Cependant il faut remarquer qu’il y a une condition tacite, qui ne peut pas être exprimée par une équation, et à laquelle il faut avoir égard : c’est que les valeurs de x', y', z', doivent être réelles. Aussi trouve-t-on, dans certains cas, que le problème

est déterminé, et même impossible. Par exemple, supposons qu’il s’agisse de la surface qui a pour équation ÿ3 -}- a:* -j- s* -j- a: -J- z + | = 0, et que le plan tangent doive passer par l’origine.

Dans ce cas il est facile de voir que l’équation [7] devient a?'s+ z'* + 2x' + 2z' + 2 = 0, ou bien (x' + l)1 -}- (*' + 1)* = 0. Elle ne peut être satisfaite avec des valeurs réelles qu’en posant a? = — 1, z' = — 1. Par suite l’équation de la surface donne y' — — \'l- Ainsi, on n’a qu’un seul plan tangent.

Si on voulait mener un plan tangent à la sphère par un point intérieur, on trouverait que les éq. [6] et [7] ne peuvent pas avoir de solution en valeurs réelles.

663. D’après l’observation faite sur V' (660), il est clair que l’éq. [7] est, en x ', i/, z’, de degré moindre que l’éq. [6]; par conséquent on peut dire que le lieu de tous les points de contact est l’intersection de la surface proposée avec une surface d’ordre inférieur. Mais cette propriété, présentée sous un autre aspect, paraîtra plus remarquable.

Soit H (fig, 41) le point donné hors de la surface, et MA la ligne d’intersection dont il s’agit ; considérons le cône formé par les droites menées du point R à cette ligne ; et démontrons qu’il est circonscrit à la surface, c’est-à-dire qu’en chaque point de la courbe MA, il a même plan tangent que la surface.

Ayant pris le point M à volonté sur MA , je mène la droite RM, ' qui est une génératrice du cône, et qui est évidemment dans le plan tangent au point M. Sur le cône , je trace une courbe quelconque MA' passant par ce point , et une droite RN aussi voisine qu’on voudra de RM; par les points N, N', où la droite rencontre les courbes MA et MA', je tire les sécantes Ma, Ma'; puis je fais mouvoir la droite RN autour du point R, de manière que le point N se rapproche de M, sans cesser d’être sur la courbe MA. Pendant ce mouvement, la droite reste toujours sur le cône, le point N', où elle coupe la courbe MA', s’approche aussi de plus en plus du point M, et les deux sécantes ne cessent pas d’être contenues dans un même plan avec RM; donc les lignes Ma, Ma, deviennent en même temps respectivement tangentes aux courbes MA et MA', et elles sont encore alors dans un même plan avec RM. Or, d’un côté, ce plan est tangent à la surface donnée, puisqu’il contient la tangente à la courbe MA et la droite RM qui appartient à ce plan tangent; et, d’un autre côté, il est aussi tangent au cône; car il ren-

ferme les tangentes menées, en M, à toutes les courbes qu’on peut tracer sur le cône par ce point.

Ainsi, on doit regarder comme démontré que la courbe de contact d'une surface donnée avec un cône, qui lui est circonscrit, est toujours située sur une surface d’ordre inférieur à celui de la proposée.

Donc, la ligne de contact d'un cône circonscrit à une surface du second oi'dre doit être plane.

664. La normale à une surface est la perpendiculaire menée au plan tangent, par le point de contact. Le plan tangent a été trouvé sans faire aucune hypothèse sur les angles des coordonnées; mais, afin de rendre les équations de la normale plus simples, on suppose les axes rectangulaires. Alors on trouve facilement (576) que les équations de la normale sont

Plan tangent aux surfaces du second ordre.

665. Appliquons au second ordre les résultats précédents. Prenons d’abord l’équation générale

[A] Ax1 + A'y* + AV + 2Bx.y + 2B ’xz + 2B "yz

+ 2Cx + 2C'y -f 2G"z + F = 0.

, Dans ce cas, on a

X' = 2(Ax' + Bi/ -f BV + C ),

Y' = 2(Ay + Bx' + B'V + ff),