Z' = 2 (AV+ BY+ BY+ C
— V' = 2(Cx' + C'y' + G" s' + F ) ; par suite l’équation du plan tangent, n° 660, devient, après qu’on l’a divisée par 2 ,
[1] (Ax' + B// + BV + C)x + (A'-/ + BV + BV + CT,y + (AV + BV + B'V -f C")z + Cx'-f C'y' + CV + F = 0.
Quand la surface a un centre, on peut la représenter par l’équation Px* + P'i/* -f- P"z* = H : alors l’équation du plan tangent devient
[2] Px'x + P'î/y -f F'z'z = H.
Quand la surface n’a point de centre , on peut mettre son équation sous la forme F y1 + PV= 2Qx; et l’équation du plan tangent est simplement •
[3] Py.y + PVz = Q(x + x').
666. Afin de mieux fixer les idées dans ce qui va suivre, on ne considérera que l’ellipsoïde ; mais les conséquences seront énoncées en termes généraux , parce qu’il sera facile de voir qu’elles s’étendent aux hyperboloïdes, en prenant négativement les carrés des diamètres imaginaires; et aussi aux paraboloïdes, en regardant ces surfaces comme ayant un centre situé à l’infini.
Prenons pour l’ellipsoïde l'équation
dans laquelle a, b, c, sont trois demi-diamètres conjugués : celle du plan tangent sera
[4] ^ + Û. + ïi=i.
Menons un diamètre au point de contact : les équations de ce x' if
diamètre sont x = -z, y—^-z. Par suite celle du plan diamétral
conjugué devient (630)
donc le plan tangent à l'extrémité d’un diamètre est parallèle au plan diamétral conjugué de ce diamètre.
667. Cherchons la trace du plan tangent sur le plan xy, et pour
x'x XJ XJ
cela faisons z = 0 dans [41 : il vient — - 4- ~ = 1 . Or, il est évier o*
dent que cette équation ne change pas, si on donne à c et à z d’autres grandeurs, et même une autre direction, pourvu qu’on n’altère ni les longueurs ni les directions des lignes a, b , x!, ÿ. Donc,
Si plusieurs surfaces du 2e ordre sont coupées, par un plan diamétral commun, suivant la même courbe, et si, par un point quelconque de ce plan, on mène, dans choque surface, la corde conjuguée à ce plan, les plans tangents aux extrémités de ces différentes cordes iront tous rencontrer le plan diamétral suivant la même trace.
668. Faisons à la fois y = 0 et z = 0 dans l’éq. [4] : on a x = — .
Cette valeur ne contient que a et x' : ainsi les grandeurs et les directions de b, c, ÿ , z', peuvent varier sans que cette valeur change. Donc,
Si des surfaces du 2* ordre ont un diamètre commun, et si par un point de ce diamètre on mène , dans chaque surface, le plan conjugué qui la coupe suivant la courbe dont le centre est en ce point, les plans tangents aux surfaces, dans tous les points de ces courbes concentriques, iront rencontrer le diamètre commun au même point.
669. Actuellement je vais considérer le cas où il serait question de mener un plan tangent à une surface du 2' ordre par un point extérieur à la surface. Considérons toujours l’ellipsoïde représenté par l’éq. [p], désignons par x", y", z", les coordonnées du point donné, et par x', y', z', celles du point de contact : on aura, entre ces trois inconnues, les deux équations
Kl 4. ^ L ** — 1
rm x"x' i y"»' i zV i [6] -^- + -^ + ^--1.
En regardant x', ÿ, z', comme des variables, la 2a équation re* présente un plan ; et c’est l’intersection de ce plan avec la surface qui est le lieu des points de contact. Cette intersection peut aussi être considérée comme la base du cône qui serait circonscrit à la surface, et qui aurait son sommet au point donné (663).
Si on mène le diamètre qui passe au point donné, et qu’on prenne le plan diamétral conjugué de ce diamètre, on reconnaît sur-le-champ qu’il est parallèle au plan de l’équation [6].
xf'xf m'V
Dans l’éq. [6] faisons z' = 0, on trouve — j- -f-~ ■ -=4. Comme
cette équation ne contient pas z", on conclut qu’elle représente toujours la même droite, quelle que soit la position du point donné, pourvu qu’il reste sur une parallèle à l’axe des z; car x? et ÿ ne changent pas. Et remarquez qu’il est permis de supposer cet axe parallèle à une droite quelconque, et qu’alors le plan de xy serait le plan diamétral conjugué aux cordes parallèles à cette droite.
Si, dans la même éq. [6], on fait y' s= 0 et z' = 0, il vient a*
x? = —, valeur qui ne change point quand le point donné se
meut dans un plan parallèle à celui de yz. Remarquez encore que ce plan de yz peut être pris parallèle à un plan donné, et qu’alors la ligne des x doit être le diamètre conjugué à ce plan.
En résumant ce qui précède, on a ce théorème : La courbe de contact d’un cône avec une surface du 2' ordre est une des sections conjuguées au diamètre gui passe par le sommet du cône. Si on fait
mouvoir le sommet du cône sur une droite donnée, le plan de cette bourbe passera constamment par une même droite, située dam le plan diamétral conjugué des cordes parallèles à la droite donnée. Enfin, si on fait parcourir au sommet du cône Un plan donné, le plan de la courbe de contact ira toujours couper au même point le diamètre conjugué des sections parallèles au plan donné.
Théorème de Monge.
670. Théorème. Le sommet d'un angle solide tri-rectangle, dont les faces restent constamment tangentes « une surface du 2° ordre douée de centre, décrit une sphère concentrique à cette surface.
Ce théorème, qui a son analogue dans les courbes du 2' ordre, a été énoncé par Monge, et démontré par Poisson de la manière suivante.
Soit l’équation de l’ellipsoïde, rapportée à ses diamètres principaux,
En nommant af, »/, z’, sf, y", z", x"‘, »/", z", les coordonnées des trois points de contact, les équations des plans tangents sont
Xmx y"’ y z‘"z
Puisque les points de contact sont sur l’ellipsoïde, on a
+ 7* + 7» “ l* ~ + "ât + TT — a1 b' ' c*
et puisque les plans tangents sont perpendiculaires entre eux, on doit avoir aussi (588).
Vr' »/./' *'«?
ofxa
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. A7i
Pour obtenir la surface décrite par le point d’intersection des trois plans, il faut éliminer les neuf coordonnées x\ >/,... des points de contact, entre [I], [2], [3]. Quoique le nombre de ces équations paraisse insuffisant, l’élimination est cependant possible. Pour l’effectuer de la manière la plus simple, on pose d’abord
a* b" c" ~ Rs ’ a1 b' ^ c* — R'*’
üîÜ 4. yZ a. î2 — JL
R, R', R", étant des quantités auxiliaires qu’on devra éliminer aussi. On remarque ensuite que les éq. [4] et [3] ne sont autres que les éq. [a] et [6] du n° 600, dans lesquelles on aurait remplacé
Rr" Ry' Rs' R'x” R'y" R'z" R"xm Ry RV
donc , en opérant les mêmes changements dans les éq. [c] et [tf] du n° cité , on aura aussi
IR’x'*+R'V',+R"’arWÎ=a*, l RVy,+R,,x,y'+R"*x"'jr=0, r Y» +R'y * -f R " Y'*=é‘, [6] J RVz' +R' V's" +R",x",z"' =0. R*s'* +R' V* +R,”s"’* =c‘, ( R Yf +Rry s" +R"îÿ'"z'" =0.
Gela posé, élevons les éq. [1] au carré, multiplions-les par R*, R'1, R'”, et ajoutons-les ensuite : il vient, en ayant égard aux relations [a] et [6] , x* + y* + s* = R! + R'* + R"*.
Mais, en ajoutant! les éq. [2] après les avoir multipliées par R’, R'*, R"*, et en réduisant au moyen des éq. [5], on trouve a*-f- ô*+ c* = R* -j- R” R''* ; donc on a, entre x, y, z ,
Pour appliquer ce résultat à l’hyperboloïde à une nappe, on change c* en — c*; et, s’il s’agit de l’hyperboloïde à deux nappes, on remplace a* et 6* par — a* et — b*. Dans aucun cas, l’éq. [7] ne représente une autre surface que la sphère; donc le sommet d’un angle solide , etc.
67t. Il serait facile de modifier les calculs précédents pour les paraboloïdes; mais il est plus simple de considérer ces surfaces comme ayant un centre situé à l’infini. Alors la sphère décrite par le sommet de l’arigle solide tri-rectangle se change en un
plan perpendiculaire à l’axe, et il faut en déterminer la position.
A cet effet, reprenons l’équation — ± — = 1, qui repré-
sente l’ellipsoïde ou l’hyperboloïde à une nappe, selon le signe qui précède z*.
Pour la sphère qui est décrite par le sommet de l’angle solide, on a x* -f- y1 -f- z* = a1 + ± C.
Mais , afin de placer l'origine à l’une des extrémités de l’axe 2 a, changeons x en x — a; faisons ensuite b* = aq, c* = aq'; puis supposons a = œ>. Les deux équations précédentes deviennent celles-ci : #
q'y* ± qz * = 2 qq’x, x — — .
La lre donne les deux paraboloïdes; et la 2' fait voir que le sommet de l’angle solide tri-rectangle décrit un plan.
