DES SECTIONS FAITES PAR LES PLANS DANS LES SURFACES DU SECOND ORDRE

Différentes courbes que donnent les sections planes.

672. Dans le chapitre V, on a coupé les surfaces de 2' ordre seulement par des plans parallèles à ceux des coordonnées, parce que ces sections suffisaient pour donner des différences caractéristiques propres à chaque genre de surfaces. Mais, pour mieux connaître ces surfaces , il est bon d’examiner toutes les sortes de sections qu’il est possible d’obtenir.

Considérons d’abord les surfaces douées de centre, dont l’équation est

[E] Px1 Fy* -f- P"zs = H ;

et, pour le plan coupant, prenons . ^

[1] X = ay-|-ps + p.

L’élimination de x donne, pour la projection de l’intersection sur le plan de yz , l’équation

[2] (Pa«+P')y + (P?‘+P'')z,+lïPa^-f2Pap//+2P?pz + Pp5— H=0, et, selon qu’elle représente une ellipse , une hyperbole ou une parabole, l’intersection elle-même sera une ellipse, une hyperbole ou une parabole; car elle doit être une ligne du 2e ordre (607), et il est clair qu’une de ces courbes ne peut pas avoir pour projection une des deux autres. Comparons donc l’éq. [2] avec l’équation A xî -f- Bzx -|- Cz* -f- etc. = 0 , et formons la quantité B’ — 4AC : on trouve

B* — 4AC = — 4 (P'P" + PP"a> + PP'p») .

En donnant à a et p toutes les valeurs possibles, cette quantité reste négative quand la surface est un ellipsoïde : car alors P, P', P", sont positifs. Mais, pour les hyperboloïdes, P" étant négatif, cette quantité peut être positive, négative, ou nulle. Donc l’ellipsoïde , coupé par des plans, ne donne que des ellipses, tandis que les hyperboloïdes peuvent donner aussi des hyperboles et des paraboles.

L’éq. [1] ne renfermant pas les plans parallèles à l’axe des x, ceux-ci doivent être considérés à part. Or ils sont compris dans l’équation y = ~(z-\- p; et en mettant cette valeur dans [E], on trouve l’équation

[3] Px* + (P'f* + P")*1 + 2P'ypz + P'p* — H = 0, qui conduit aux mêmes conséquences que l’éq. [2] .

673. Passons au cas des paraboloïdes. Si on veut les couper par des plans non parallèles à l’axe des x , on élimine x entre les équations

P'y + PV = 2Qx, x = ay-t-ps + p;

et il vient

[4] P'y* -f PV — 2Qay — 2Q?z — 2Qp = 0.

Donc la section est une ellipse ou une hyperbole, selon que P" est positif ou négatif, c’est-à-dire selon que le paraboloïde est elliptique ou hyperbolique.

Quand le plan coupant est parallèle à l’axe des x, il faut prendre, pour son équation, y = YZ-(-p; et alors, pour la projection de la section , on a

(py -f P")z* + 2P'-fpz -I- P'p* = 2Qx, équation qui donne des paraboles, quel que soit le signe de P".

674. Examinons maintenant les sections faites par des plans parallèles entre eux. Il faudra supposer, dans les calculs précédents, que a, p, y, conservent les mêmes valeurs, et que p varie seul. Les coefficients des termes du 2e degré, dans les équations des projections, ne changeront pas; donc ils auront entre eux toujours les mêmes rapports ; donc (483) les projections des sections sont des courbes semblables et semblablement placées (sauf le cas où l’on aurait des hyperboles tournées en sens oppdSé, comme dans la fig. 42). De là il est facile de conclure que les sections ellesmêmes jouissent de cette propriété.

Soient (fig. 43) AC, A'C', des courbes situées dans des plans parallèles, et ac, «V, leurs projections sur un plan donné; supposons ces projections semblables et semblablement situées ; et soient o et o' les centres de similitude. En menant les rayons vecteurs oa,ob, oc,... et leurs parallèles o'a', o'b', o’c',... on devra avoir

cette suite de rapports égaux (479) = ~ = etc.

oa. ou oc

Cela posé, soient OA, OB, OC, ... les rayons vecteurs projetés sur oa, ob, oc, ...; et O'A', O'B', O'C', ... les rayons vecteurs projetés sur o'a', o'b', oc', ... Les rayons OA et O'A' seront parallèles entre eux, comme intersections de plans parallèles; et de plus il est facile de voir qu’ils sont entre eux dans le repport de leurs projections. On peut dire la même chose de OB et O'B', etc.; donc

^ etc. ; donc les courbes ÀC, A'C', sont sem-

blables et semblablement situées.

Ainsi, les sections parallèles d’une surface du 2* ordre sont des lignes du 2® ordre semblables et semblablement situées.

Cas particuliers où les sections sont des hyperboles. — Cône asymptote.