Reprenons l’équation qui représente les hyperboloïdes

[P,] Px* + Py — PV = ±H;

et supposons que la surface soit coupée par le plan dont l’équation est

[4] x = ay -(- $z + p.

En changeant P" en — P" dans l’éq. [2] du n° 672, on a, pour la projection de cette intersection ,

[2] (P«* + P’)ÿ* + (Pp* — P")z* + 2Pa{b/z + etc. = 0.

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. â75

Concevons qu’on ait mené, par le centre, des parallèles aux asymptotes de cette projection , il est facile de voir, en général , que ces parallèles ne dépendent que des trois termes du 2* degré : je veux dire qu’elles sont données par l’équation

[3] (P«* + P')y* + (PfP - P>‘ + 2P «ftyz = 0.

Or, quand le plan coupant se meut parallèlement à lui-méme , il est évident que ces droites ne changent pas ; et cela prouve que les asymptotes des projections , et par conséquent aussi celles des sections, restent parallèles à elles-mêmes.

Transportons le plan coupant à l’origine, son équation devient

et en prenant ensemble les équations [3] et [4] , elles déterminent deux droites, passant au centre, qui sont parallèles aux asymptotes des sections.

L’éq. [3] peut s’écrire ainsi P(ay -f- (3z)’ + P 'yt — PV = 0; et, au moyen de l’éq. [4], elle devient Px* -f- P'ys — P "z* = 0.

Cette équation , indépendante de a et J5, représente un cône qui est le lieu des parallèles menées, par le centre, aux asymptotes de toutes les hyperboles qu’on peut tracer sur la surface : ou bien, ce qui est la même chose, il est le lieu des asymptotes à toutes les sections hyperboliques faites par le centre. De là lui vient le nom de cône asymptote.

676. On peut encore justifier autrement cette dénomination. Par un point quelconque P (fig. 44) du plan de xy, je mène, audessus de ce plan, une parallèle à l’axe des z, je désigne par

x, y, z, et par x, y, Z, les coordonnées des points M et N, où elle

> PxM-PVzpH

rencontre l’hyperboloïde et le cône; on aura z1 ==

Px* + Py

pr* J

et par suite

Supposons que le point P s’éloigne du centre O, sans sortir de la droite OR. Il est clair que x5 et y*, et par suite Z et z, augmenteront indéfiniment; donc la différence Z — z ira en diminuant, et pourra devenir aussi petite qu’on voudra.

Comme cette différence est positive quand Phyperboloïde a une nappe, et négative quand il en a deux, il s’ensuit que le cône asymptote est tout entier entre ces deux surfaces.

677. Le cône asymptote se remarque encore lorsqu’on cherche les intersections des hypcrboioïdes avec les droites, qui passent par le centre. Les équations d'une telle droite sont x=8 z, y=Zz;

et , en les combinant avec [P,] , il vient z = ±

11 est évident qu’on peut donner à 8 et 8' des valeurs telles que le dénominateur P8*-f-P'8'! — P" soit, à volonté positif, négatif ou nul; donc il existe, dans chaque hyperboloïde, des diamètres réels et Unis, des diamètres imaginaires, et des diamètres infinis.

Selon que l’hyperboloïde a une ou deux nappes, il faut prendre H avec des signes différents; et de là il suit que les diamètres imaginaires de l’une des surfaces sont les diamètres réels de l’autre. Les diamètres infinis sont les mêmes pour toutes deux.

Pour ces derniers diamètres, on a PS* + P'S'* — P"= 0; et, en éliminant 8 et 8' au moyen des équations x = 82 et y — 8 ’z, on trouvera, pour le lieu géométrique des diamètres infinis, Pir’-j-P'y’ — Iv'z!:= 0. C’est l’équation du cône asymptote (”).

678. Un paraboloïde hyperbolique peut aussi être coupé suivant des hyperboles. Il a pour équation P 'y' — P''z* — 2Qx ; et, en changeant P" en — P" dans l’équation [4] du n° 673, on reconnaît sur-le-champ que les parallèles menées par l’origine aux asymp-

totes de ces hyperboles ont pour équations y = ±z

Ces valeurs sont indépendantes de a et de fl, et montrent que les parallèles aux asymptotes des sections hyperboliques ont pour lieu géométrique deux plans parallèles aux diamètres de la surface.

679. Je ferai remarquer ici certaines formes d’équations, sous lesquelles peuvent se présenter les hyperboloides et les paraboloïdes hyperboliques.

1° On peut rapporter chacun des hyperboloïdes à trois quelconques de ses diamètres infinis. Alors, il faut que les intersections de la surface par les plans coordonnés soient des hyperboles entre leurs asymptôtes : or, cela exige que l’équation de la surface ne contienne ni les termes du 1er degré ni les carrés des variables;

(*) Quand un hyperboloïde est Tapporlé à trois diamètres quelconques, son équation est de la forme Pi,+P'y*4-l,"x*-(-Sit/-fS'xi-fS"yï=G. Si alors on lui applique les calculs précédents, on trouvera qu’il suffit d’y remplacer G par zéro pour avoir le cône asymptote.

donc on peut comprendre les deux byperboloïdes dans une équation telle que Sxy + S ’xz -f- S "yz = G.

2° Si les y et les s seulement sont pris sur deux diamètres infinis, et si on laisse l’origine au centre, et les x sur le diamètre conjugué des sections parallèles au plan des deux premiers diamètres, la nouvelle équation devra donner des hyperboles entre leurs asymptotes, quand on coupera la surface par des plans parallèles à celui de yz; et comme d’ailleurs l’origine est encore au centre, on conclut facilement que les hyperboioïdes ont aussi une équation de la forme Rx* -f- S yz — G.

3°L’équationdu paraboloïde hyperbolique étant Fy* — P"s*=2Q.r, on a vu (624) que le plan de yz coupe la surface suivant deux lignes droites, et que les sections parallèles sont des hyperboles qui ont leurs centres par le diamètre des x, et leurs asymptotes parallèles à ces droites. Changeons les axes actuels des y et des z, et remplaçons-les par ces deux droites, on reconnaîtra aisément qu’après la transformation, l’équation du paraboloïde doit se réduire à la forme S yz + Rx = 0.

Sections rectilignes de l’hyperboloïde à une nappe.

680. Quel que soit le point que l’on considère sur l’hyperboloïde à une nappe, on peut toujours mener un diamètre à ce point, et rapporter la surface à trois diamètres conjugués dont celui-ci fasse partie. Alors, son équation est

r ii „s

Supposons que le premier diamètre soit celui des y, et faisons y = b : il viendra

De là on conclut qu’on peut mener deux droites sur /’ hyperholoïde à une nappe , par chacun de ses points.

Le plan de ces droites est tangent à l’hyperboloïde, puisqu’il est parallèle au plan diamétral conjugué du diamètre qui aboutit au point que l’on considère sur la surface (666). H est évident d’ailleurs que cela doit être ; car ces droites sont elles-mêmes leurs tangentes, et à ce titre elles doivent être dans le plan tangent.

68f. Considérons sur la surface une ellipse quelconque ABC (fi". 43), située dans un plan qui passe par le eentre O, et qui aOZ pour diamètre conjugué. Par tous les points de cette ellipse, menons les droites AG, BH,... tangentes à cette courbe, et les droites AD, BE,... parallèles à OZ. D’après ce qui précède, les deux droites de l’hyperboloïde, qui passent au point A, sont situées dans le plan tangent DAG: et l’éq. [1] prouve qu’elles sont de côtés différents par rapport à la ligne AD.

Pour fixer les idées, imaginons qu’on tourne autour de l’hyperboloïde dans le sens ABC... Alors on distinguera sur cette surface deux systèmes de droites; l'un composé des lignes AP, BQ.... qui ont leur partie supérieure à droite des parallèles AD, BE...; et l’autre, des lignes AF, BQ',... qui ont leur partie supérieure à gauche do ces mêmes parallèles. Quand l’hyperboloïde est de révolution, les droites du premier système font avec l’axe le même angle que celles du second, et la surface peut alors être engendrée de deux manières différentes par la rotation d’une droite.

682. La disposition précédente étant bien comprise, considérons deux droites quelconques AF’, BQ, appartenant au même système, et menons parallèlement à OZ, par le point de concours des tangentes AG et BH , la ligne SG S’ qui rencontre l’hyperboloïde en S et S'. La ligne SG'S est l’intersection des plans tangents DAG, EBH ; et il est clair que si les deux droites AP et BQ, qui sont respectivement dans ces plans, se rencontrent, ce ne peut être que sur la ligne SS'. Mais, d’un autre côté, il est évident que AP doit passer au point S, et BQ au point S' ; donc ces droites ne se rencontrent pas. Le môme raisonnement montre, au contraire, que deux droites de systèmes différents, telles que AP et BQ', iront couper SS' au même point S. Donc, en général, deux droites prises dans un même système ne se rencontrent pas, et deux droites de systèmes différents se rencontrent toujours.

683. L’éq. [1] montre que les droites qu’on peut tracer sur l’hyperboloïdq à une nappe , par chacun de ses points, sont parallèles aux asymptotes des sections parallèles au plan de ces droites. De là on conclut que toutes les droites situées sur l’hyperboloide étant transportées au centre, parallèlement à elles-mêmes , s’appliquent exactement sur le cône asymptote .*

684. Considérons encore trois droites d’un même système, telles que AP, BQ, CR ; et supposons pour un moment qu’elles soient

parallèles à un même plan. En les transportant au point O, parallèlement à elles-mêmes , elles se placeraient dans un même plan ; par conséquent, il y aurait sur le cône asymptote trois génératrices situées dans un même plan. Si cela était, la section de ce cône, par un plan parallèle à l’ellipse ABC , aurait trois points en ligne droite, ce qui est impossible, puisque cette section est une ellipse. Donc trois droites d un même système ne sont jamais parallèles à un même plan.

685. Prenons à volonté trois droites dans un système, et regardons-les comme fixes dans l’espace. On peut mener, par chaque point de la première, une droite qui rencontre les deux autres : car en faisant passer par ce point deux plans , dont l'un contienne la seconde ligne, et l’autre la troisième, l’intersection de ces plans remplit les conditions dont il s’agit. On pourra donc faire glisser une droite de manière qu’elle s’appuie constamment sur les trois lignes fixes ; et il est évident que, dans ses diverses positions, elle viendra coïncider successivement avec toutes les droites de l’autre système. Ainsi , Fhyperboloïde à une nappe peut être engendrée par une droite qui se meut le long de trois droites fixes , non parallèles v. tin même plan.

Il est d’ailleurs assez clair qu’on peut choisir les trois directrices d’une infinité de manières dans tel système qu’on voudra, pourvu qu’elles appartiennent toutes trois au même.

G86. Un hyperboloïde à une nappe étant donné par son équation