H (H= (;+DH

On voit qu’elle se vérifie, soit en posant

soit en posant

a et p étant deux indéterminées, qu’on peut faire passer par toutes les valeurs possibles. Les éq. [2] donnent les génératrices de la surface qui appartiennent à un système ; et les éq. [3], celles qui appartiennent à l’autre.

687. On peut encore présenter cette recherche d’une autre manière. Prenons l’équation d’un plan quelconque parallèle aux z ,

et éliminons y entre [/>'] et [4], 11 vient

[5] ~~ = ( b ' + aV)x* + + a*p* - a'b* ;

et cette équation représente , en projection sur le plan de xz, l’intersection de l’hyperboloïde et du plan. Pour que cette intersection se réduise à deux lignes droites, il faut que les valeurs de z soient du 4” degré en x : le second membre doit donc être un carré , ce qui exige la condition

a*<**p* — ( b * + aV) (a*p* — a!6*).

De là on tire (3 = \Jb* aV , le radical portant avec lui le double signe db. Par cette détermination , l’éq. [5] donne en effet deux valeurs du 1" degré; et en les associant, chacune à son tour, à l’éq. [4], on aura

Îy = ox-|- y/ô'+aV » ( y = ax -j- y/i* -j- n* a* ,

Ces deux systèmes d’équations , dans lesquels a est indéterminé , correspondent aux deux systèmes de droites contenues sur la surface. 11 est évident qu’on reproduirait l’équation de l’hyperboloïde en éliminant a entre les deux équations de l’un quelconque des deux systèmes.

Si on change c en c y/ — 1 , les résultats précédents, conviendront à l’ellipsoïde ; et si en outre on change a en a y/ — 1 , et b en b y/ — 4 , ils s’appliqueront à l’hyperboloïde à deux nappes. Mais alors ces résultats sont imaginaires ; donc ces deux surfaces ne peuvent pas être engendrées par une ligue droite, ce qui d’ailleurs est évident.

688. Il reste encore à démontrer que toutes les surfaces engendrées par une ligne droite qui glisse sur trois droites fixes , non parallèles à un même plan , sont des hyperboloïdes à une nappe.

Je remarque d’abord qu’on peut mener par chacune de ces droites deux plans respectivement parallèles aux deux autres droites, et qu’on détermine ainsi un parallélépipède dont ces droites sont trois arêtes. Supposons (fig. 46) que FF'GH soit ce parallélipipède, et que FF, GG', HH', soient les trois directrices. Par le centre O de ce parallélépipède, menons trois parallèles, Ox, 0 y, 0 z, à ces lignes, et choisissons-les pour axes des coordonnées x, y, z; enfin, faisons FF' = If, GG' = 2y, HH' =24.

Gela posé, les équations des trois directions sont

IZ-k ! P°Ur FF> iZ-fl p0Ur GG'> y Z-g | P0UrHH'- Pour la génératrice, prenons les équations

X=az-fa’, ÿ = Pz + P':

les quantités a, a', P, devront être assujetties aux équations qui expriment que cette ligne rencontre les trois directrices; et on trouve facilement que ces équations sont

y = + — f =. ah a, t=L=î+ï.

Alors il n’y a plus qu’à éliminer a, a', fl, p', entre ces équations et celles de la génératrice , pour avoir une relation entre les coordonnées x, y, z, d’un point quelconque de la surface engendrée par le mouvement de cette ligne le long des trois droites fixes. Or, des quatre premières équations, on tire

x+f ,—fz — hx

gz hy z + h ’

et, en mettant ces valeurs dans la cinquième équation, il vient, toutes réductions faites,

hxy -t- gxz -f fyz + fgh = 0.

Donc la surface est du second ordre, et elle a l’origine pour centre. D’ailleurs, sa génération même montre qu’elle est continue et illimitée, et qu’elle n’est ni un cylindre ni un cône; donc elle ne petit être qu’un hyperboloïde à une nappe.

Sections rectilignes du paraboloïde hyperbolique.

689. On peut aussi tracer sur la surface du paraboloïde hyperbolique deux droites par chacun de ses points.

En effet, en prenant pour origine un point quelconque de cette surface, on peut donner à son équation la forme [Q'] Fy* — P"z* = 2U.r,

laquelle fait voir que le plan de yz coupe la surface suivant deux droites, qui ont pour équations

ÿV'P' = ±zv'P"-

690. Aucune des droites de la surface n’est parallèle à un plan diamétral : car tous les plans diamétraux sont parallèles à la ligne des x (636), et de tels plans coupent la surface suivant des paraboles (673). On est donc sûr que ces paraboles sont rencontrées par toutes les droites de la surface.

Soit ABC (fig. 47) une de ces paraboles : menons, par tous ses points, des tangentes AG , B1I,... et des droites AD, BE,... parallèles aux cordes conjuguées au plan diamétral ABC. Les deux droites du paraboloïde , qui passent en A , sont dans le plan tangent DAG , et situées de côtés différents par rapport à AD ; et les droites de la surface qui passent en chacun des autres points de la courbe ABC donnent lieu à une remarque analogue.

De là résulte la distinction de ces droites en deux systèmes; et on démontre, comme on l’a fait pour l’hyperboloïde à une nappe (683), que deux droites du meme système ne se rencontrent pas, mais que deux droites de systèmes différents se rencontrent toujours.

691. Pour avoir les équations des droites situées sur le paraboloïde, mettons l’équation [Q'] sous cette forme

(yv'P'-zvP") (yy/P'-MVP') = 2Q* :

on voit qu’elle est vérifiée en posant

(1) yyF— zyP"=a et yy/P + zy/F'=^x;

Ot

et encore en posant

(3] yv F+*VP"=P et VVP'— *vP"=y*.

Ces équations donnent les deux systèmes de droites, en faisant passer les indéterminées a et p par toutes les grandeurs possibles.

692. On arrive encore à ces droites par les calculs du n° 687. Soit