X == SG -(- P

l’équation d’un plan quelconque parallèle aux y. 11 faut d’abord

GEOMETRIE ANALYTIQUE A TROIS DIMENSIONS. 485 éliminer x entre [Q'] et [3), ce qui donpe [4} Py=F'z>+2Q« + 2Qfi.

Ensuite il faut assujettir a et p à la condition nécessaire pour que cette équation représente deux droites; et on a ainsi

Q*«* = ÎP"QP, d’où

Par suite, les éq. [3] et [4] deviennent

et elles déterminent alors le premier ou le second système de droites suivant qu’on prend le signe ou le signe — .

693. Il existe entre l’hyperboloïde à une nappe et le paraboloïde hyperbolique une différence qu’il importe de remarquer. C’est que, dans la première surface, trois droites d’un même système ne sont point parallèles à un même plan (684), tandis que, dans la seconde, elles remplissent toutes cette condition. 11 est évident, en effet, par les résultats précédents, que toutes les droites d’un même système ont leurs projections , sur le plan de yz , parallèles entre elles, et que par conséquent ces droites sont parallèles à un même plan, qui lui-même est parallèle aux diamètres de la surface.

On doit donc regarder comme démontré que le paraboloïde hyperbolique peut être engendré par le mouvement d’une droite qui glisse sur trois droites fixes parallèles à un même plan, ou bien encore, par une droite qui glisse sur deux droites fixes, en restant toujours parallèle à un plan donné.

694. Réciproquement faisons voir que toute surface résultant de l’un de ces deux modes de génération est un paraboloïde hyperbolique.

Supposons d’abord (fig. 48) que la génératrice se meuve sur trois directrices AR, BS, CT, parallèles à un plan. Soit As une position particulière de la génératrice, et A, B, C, les points où elle coupe les trois directrices. Menons A.r et A y parallèles à BS et CT : les lignes AR, Ax, A y, seront dans le même plan, le plan zAx contiendra BS, et le plan zAy contiendra CT. Cela posé, prenons les lignes Ax, A?/, Az, pour axes des coordonnées : les équations des trois directrices seront

IZzO 1 P°urAR'> j PO^ BS; *ZI} pourCT.

Soient les équations de la génératrice x — ctz -j- a', y — $z -f P'. Pour qu’elle rencontre les trois directrices, on a les conditions au! — p' = 0, èp + P' = 0, b'a -(- a' = 0 ; et, pour avoir l’équation de la surface, il faut éliminer a, <*', p, P', entre ces équations et celles de la génératrice. On trouve, pour résultat,

oh’xz — byz — abb'x -f- bb'y = 0 ;

donc la surface est du 2e ordre. D’ailleurs, elle est engendrée par une droite qui glisse sur trois directrices parallèles à un plan; donc elle ne peut être qu'un paraboloïde hyperbolique.

Supposons maintenant (fig. 49) que la génératrice glisse sur deux droites A z et Bw, en demeurant constamment parallèle au même plan ykx. Soient A et B les points d’intersection de ce plan avec les deux directrices. Menons, par ces points, la droite Ay ; menons aussi, par la ligne Az, un plan parallèle à B u, lequel coupe le plan ykx suivant la ligne Ax; enfin, prenons Ax, A y, Az, pour axes de coordonnées.

La directrice Bu passant par l’axe des y, et étant parallèle au plan xAz, ses équations seront z = ax, y = b. La génératrice devant toujours rencontrer l’axe des z, en restant parallèle au plan de xy, ses équations seront de la forme x — uy, z = p. Comme elle doit aussi rencontrer Bu, on a la condition p = abu ; et, en éliminant « et p, entre cette équation et celles de la génératrice, il vient

yz = abx.

Cette équation doit représenter un paraboloïde hyperbolique ; car, dans le 2' ordre, il n’y a que cette surface sur laquelle on puisse tracer des droites qui soient rencontrées par d’autres droites parallèles à un même plan.

Sections circulaires.

69b. Au commencement de ce chapitre, on a reconnu d’une manière générale les courbes qu’on obtient en coupant les différentes surfaces du second ordre par des plans; et, plus loin, on a fait voir que l’hyperbolotde à une nappe et le paraboloïde hyperbolique peuvent donner des lignes droites : nous nous proposons actuellement de rechercher s’il est possible de placer les plans coupants de manière que les sections soient des cercles.

Considérons d’abord un ellipsoïde, et soient (fig. 50) OA, OB,

OC, ses demi-axes. Supposons OA > OB, OB > OC, et menons, par le demi-axe moyen OB, un plan qui coupe l’ellipse AC au point D. L’intersection avec la surface est une ellipse qui a pour demi-axes OB et OD : or, en faisant tourner le plan autour de OB, la ligne OD prend toutes les grandeurs comprises entre OA et OC; donc il existe une position pour laquelle OD = OB. Alors la section est un cercle, ainsi que toutes les sections parallèles.

La symétrie de l’ellipsoïde, relativement à ses axes, prouve qu’en faisant l’angle COD' = COD, le plan D'OB coupera encore la surface suivant un cercle. Les deux plans DOB, D'OB, se confondent avec le plan COB quand OB = OC ,• et avec AOB, quand OB = OA. Dans ces deux cas, l’ellipsoïde est de révolution.

On a mené le plan DOB par l’axe moyen : il est clair que si on l’eût mené par l’un des deux autres, on n’eut pas obtenu de cercle. Par exemple, s’il passe par OA, la section sera une ellipse dont OA est un demi-axe, et dont l’autre demi-axe, qui est compris entre OB et OC, ne peut pas devenir égal à OA.

696. Voici une autre manière fort simple de trouver les cercles BD et BD'. Prenons l’équation de l’ellipsoïde rapportée à ses plans principaux,

[pj Px’-t-py +pv=h.

On peut l’écrire ainsi Px* -}- P'(x’ -f- y* -f- z*) -j- P";1 = H + P'x* -f- P z\ ou encore, de cette manière

F(ar* + y* + s*) = H + (P' - P)x* - (P" - F);’;

et alors, il est évident que cette équation est vérifiée en posant à la fois ces deux-ci :

La iN est celle d’une sphère qui a pour rayon le demi-axe OB. La 2“ représente deux plans passant par ce demi-axe : car elle donne

Par conséquent, les cercles résultant de l’intersection de la sphère avec ces deux plans sont situés sur l’ellipsoïde.

Mais , pour que ces valeurs de x déterminent réellement des plans, il faut que la quantité qui est sous le radical soit positive; et cela exige que P' soit compris entre P et P", c’est-à-dire que les plans doivent passer par l’axe moyen.

697. Los démonstrations précédentes peuvent être facilement modifiées pour les autres surfaces : elles sont simples et élégantes, mais elles ont le défaut de ne point apprendre si les sections circulaires quelles font connaître sont les seules qui existent. C’est pourquoi nous allons reprendre cette recherche par une analyse propre à donner une solution, h la fois générale et complète, de toutes les questions qui ont pour objet les intersections des surfaces par des plans.

Quelle que soit la surface dont il s’agit, supposons, (fig. 51) (jti’elle soit rapportée à trois axes rectangulaires Ox, 0 y, 0;, et qu’on veuille la couper par un plan quelconque. Je prends à volonté le point tf dans ce plan, et je mène O H, O'S, O'î, parallèles à Ox, Oy, 0:. Soit RO'x' = © l'angle que fait avec O'R la trace O'x' de ce plan sur le plan RO'S; et soit 0 l’inclinaison du premier plan sur le second. J’élève dans le plan sécant la ligne O'ÿ perpendiculaire à O'x'.

Désignons par f, g , h, les coordonnées du point 0' rapporté aux axes Ox, Oy, 0; ; par x, y , z, celles d’un point quelconque du plan coupant relativement aux mêmes axes; et par x', y', celles du même point relativement aux axes O'x', O’y. On a trouvé (603) les formules

!x = x' cos — y' sin f cos 9 -f f, y == x' sin <p -)- ]f cos® cos 6 -f- g, z — y' sin 0 -|- h ;

et en mettant ces valeurs dans l’équation de la surface proposée, on aura l’intersection de cette surface par le plan.

Ne considérons d’abord que les surfaces, du 2e ordre qui ont un centre. Sans que les axes cessent d’être rectangulaires, ces surfaces sont comprises dans l’équation

[E] Px’-fPy-t-PV==H.

Substituons-y les valeurs [i]; on trouve une équation de la forme W + + Cx'* + Dy' + Ex' + F = 0,

dans laquelle on a

A = P sin** cos’6 -f- F cos2® cos*6 -f- P" sin*8 ,

B = 2(P' — P) sin ? cos © cos 6 ,

C = P cos2® -f P1 S'H*? ;

et, pour obtenir un cercle, il faut poser B = 0 et A = C, c’està-dire

[2] (P' — P) sin ©cos ©cos 0 = 0,

[3] P sin’tp cos’ô -f- P' cos*«p cos*© F'sin!0=Pcos!©-j-P'sin,w.

En général, P' étant différent de P, l’éq. [2] ne peut être vérifiée qu’en prenant ou cos 0 = 0 , ou sin © = 0, ou cos © = O.

La première hypothèse, cos 0 = 0, change l’éq. [3] en celle-ci : P cos’<p F sin*<p = P". On peut mettre P" (cos’<p + sin1©) au lieu

de F', et alors on a successivement

P cos*tj> -j- P' sin!<p = P” cos*© + P" sin’tp,

(F— P") sin’<? = (P"— P) cos’<p,

tang©=^ y p,,.

La seconde hypothèse, sin ©=0, réduit l’équation [3] à celle-ci : P' cos*0 -j- P" sin*0 = P, et par suite on a

F cos*ô 4- F' sin’O = P cos’O 4- P sin*0 ,

(F'— P ) sin’O = (P — F) cos’O ,

tang ô = ± y/p.

Enfm, dans la troisième hypothèse, cos<p =0, on a P cos’ô 4- P" sin’O = F,

P cos’ô 4- P" sin’O = F cos’O -j- F sin’O ,

(P" P') sin’O = (P— P) cos’O ,

tangô = rfc

Quels que soient les signes de l’éq. [E], tant que la surface n’est pas de révolution, il y a toujours une des quantités P, P', F', comprise entre les deux autres. Supposons que ce soit F : les deux premiers radicaux seront imaginaires , le troisième seul sera réel. C’est-à-dire que, pour avoir des sections circulaires, il faut prendre

cos<p = 0, tangO = ±y— — — . Ces valeurs indiquent deux

Séries de plans parallèles à l’axe des y.

Quand la surface est de révolution, deux des quantités P, P', P",

sont égales. Soit P"= P' : les solutions des éq. [2] et (3] deviennent cos 0 = 0, tango = oo ou coso = 0; cos'f=0, tan g 6 = ± \f — 4; cost» = 0, tangô = oo ou cos0 = 0.

Les deux solutions réelles se composent des mêmes valeurs, cos6 = 0, cos<p = 0; et elles montrent que les sections circulaires doivent être perpendiculaires à l’axe des x, qui est ici l’axe de révolution.

SoitP"=P'=P, les éq. [2] et [3] sont vérifiées d’elles-mêmes, quels que soient 9 et 6, ce qui revient à dire que l’intersection d’une sphère par un plan est toujours un cercle.

Modifions l’analyse précédente pour le cas des paraboloïdes. Pour ces surfaces, on peut prendre, en coordonnées rectangulaires, l’équation

[F] Py+P"s*=2Qx;

et la substitution des valeurs [4 J donne encore un résultat de la

forme Aÿ'* -j- Bxy+ Car'1 + etc. =0. Mais alors, pour A, B, C, on a

A = P'cos,if>cos,0-l-P"sin’0, B=2P'sin<pcosif cos6, C=P’sin*9; et, pour que la section soit un cercle, il faut poser

sin 9 cos 9 cosO = 0 , P' cos’tp cos*0 -j- P* sin’0 = P'sin1?.

On tire de là trois systèmes de valeurs, savoir :

ï sin9=0.

cos9=0,

| tangO =± ^

/— pïïî

sin0=±y

/ jp |

cos 0 = 0 , S'n?=±Y/£r.

Quand le paraboloïde est elliptique , P' et P" sont de même signe : si alors P' est plus grand que P”, les valeurs de © et de 0 ne sont réelles que dans le troisième système ; mais si P' est moindre que P ", elles ne sont réelles que-dans le second. On a ainsi deux séries de plans perpendiculaires au plan de xy ou à celui de xz. Si P"=P', on n’a plus qu’une seule série de plans, lesquels sont perpendiculaires à l’axe du paraboloïde.

Quand le paraboloïde est hyperbolique, P" et P7 ont des signes différents; et il n’y a que le premier système qui donne 9 et 0 réels. Mais alors les coefficients A et C sont zéro, en même temps que Bj et l’équation Ay“ -j- etc. = 0, se réduisant au 4er degré, ne représente plus que des lignes droites.

Ainsi, il est démontré que les surfaces du 2' ordre, le paraboloïde hyperbolique excepté, peuvent être coupées selon des cercles, par des plans parallèles conduits suivant deux directions différentes.

Et encore pourrait-on écarter toute exception, en regardant les droites, qu’on peut tracer sur le paraboloïde hyper bolique, comme des cercles dont les rayons sont infinis.

On remarquera sans doute que les centres des cercles de chaque série sont sur un diamètre de la surface : car il en est ainsi de toutes les sections parallèles (634). On doit remarquer aussi que la propriété de la section antiparallèle du cône oblique est un cas particulier du théorème précédent.

Démonstrations de quelques théorèmes.

698. Théorème. Supposons que des cônes aient pour bases les sections planes d’une surface du second ordre, et pour sommet commun un point de cette surface; puis imaginons, par ce point, un plan tangent « la surface : les sections faites dans les cônes et dans la surface, par un plan parallèle au plan tangent, seront des courbes semblables et semblablement situées.

Quel que soit le point de la surface qui serve de sommet à ces cônes, prenons pour ligne des x le diamètre qui passe par ce point, et le plan tangent pour plan de yz. En dirigeant convenablement les y et les z, on pourra donner à l’équation de la surface la forme [{] P^-f Py + P"z* = 2Qx.

Prenons pour la base d’un des cônes l’intersection de la surface par un plan quelconque; et soit

[2] x = ay + pz + y

l’équation de ce plan. Si l’on désigne par x', y z', les coordonnées d’un point pris à volonté sur cette intersection, on doit avoir

[3] Pa" -f Py * + PV’ = 2Qx', a^ay' + pz' + y.

D’un autre côté, si on mène une droite par ce point et par l’origine , ses équations sont

Or, cette droite est une génératrice quelconque du cône dont il s’agit -, donc en éliminant x', \j, z', entre [3] et [41, on aura l’équation de ce cône.

, vx zx

Des éq. [4] on tire y z' = — par suite les éq. [3] de-

viennent (Px* 4" P '// 4 PV)x' = 2Qx', xx' = (ay -f- |Jz) x* 4 yx. Il n’y a plus qu’à éliminer x', et on trouvera, pour le cône ,

[5] Pas* -f P’y* + P "z* =r^- (x — ay — ps).

Maintenant coupons ce cône et la surface proposée, par un plan parallèle à ys. Pour cela, faisons x = X dans [1] et [5] : il vient

Py + P''s* = 2QX — PX»,

py + P' 3* =Æ (X ay f5z) - PX» .

En changeant le plan de la base du cône, les quantités a, p, y, varient ; mais dans ces équations les termes du second degré demeurent les mêmes, et par conséquent elles représentent toujours des courbes semblables et semblablement situées. C’est cette propriété qu’il fallait démontrer. Toutefois, il peut se faire que ces courbes soient des hyperboles différemment tournées.

Le théorème qui vient d’être démontré est l’extension d’une propriété connue dans la sphère (n" h 24, I), et sur laquelle Ptolémée a fondé la construction des mappemondes telles qu’elles sont encore en usage aujourd’hui.

C99. Théorème. Si deux surfaces du 2* ordre se rencontrent suivant une première ligne plane , elles se couperont encore suivant utie autre ligne plane.

Prenons le plan de la ligne commune pour celui de xy, et supposons que les équations des deux surfaces soient

[4] Ax’ + A 'y» -f AV + Bxy + B'xz -f B''yz

-f Cx -f C'y + C"z -f F = 0.

[2] nx» -(- n'y* 4 a"z' 4 àxy 4 ^'xz 4 b"yx

4 cx 4 c'y + c“z-\-f=o.

En faisant z = 0, les équations résultantes doivent représenter la même ligne ; et, pour cela, il faut que les coefficients de ces équations soient proportionnels. Ainsi, p étant le rapport de A à a, on aura A = up. A' = a'p, B = bp, G = cp, G = c'p, F — fp.

Maintenant, multiplions l’éq. [2] par p, et alors retranchons- la de l’éq. [1] : les termes qui ne contiennent pas z se détruisent, et il viendra(A" — a"p) z*4(B' — ô'p)xz4(B" — ê”p)yz4(C" — c'p)z=rO.

Les coordonnées de tous les points communs aux deux surfaces doivent satisfaire à cette équation : or, elle se partage en deux autres, z= 0 et (A" — a*p)z-f-(B' — 6'p)x-f(B'' — b"p)y-\~C — lesquelles représentent deux plans; donc l’intersection des deux surfaces se compose de deux lignes planes. Dans certains cas, la seconde ligne peut se confondre avec la première; elle peut aussi se réduire à une simple ligne droite, ou à un point unique, ou même devenir imaginaire.

700. Théorème. Dans une surface du 2° ordre , deux cercles quelconques appartenant à deux séries différentes sont toujours situés sur une même sphère.

Cette propriété est une extension de celle qui a été donnée n° 470 pour les sections sous-contraires du cône oblique; et voici comment on peut la démontrer.

Soit (fig. 52) MNPQ le plan principal d’une surface du second ordre, sur lequel sont perpendiculaires les deux séries de plans qui coupent la surface suivant des cercles; et soient MN, PQ, les diamètres de deux de ces cercles pris dans les deux séries. Concevons qu’une sphère soit décrite du même centre et du même rayon que le cercle qui passe par les trois points M, N, P. Il est clair que le cercle MN est contenu sur cette sphère, et qu’ainsi il est une intersection de la sphère avec la surface donnée. Donc, l’autre courbe d’intersection est plane, et par conséquent c’est un cercle : car, sur la sphère , toutes les courbes planes sont des cercles.

Ce cercle devant se trouver sur la surface donnée et passer au point P, est compris dans l’une des deux séries de sections circulaires. 11 ne peut pas être le cercle PR parallèle au cercle MN; car s’il en était ainsi, ces deux cercles, appartenant à une même sphère, devraient avoir leurs centres sur un diamètre perpendiculaire à leurs plans, et dès lors les cordes MN et PR devraient être perpendiculaires à leur diamètre conjugué. Or cela est impossible, à moins que la surface ne soit de révolution; et, dans ce cas , les cercles PQ et PR coïncideraient. De là il suit que la seconde courbe d’intersection doit être le cercle PQ, ce qui démontre le théorème.

70t. Théorème. Quand deux surfaces du 2” ordre ont un plan principal commun , l' intersection des surfaces se projette sur ce plan suivant une ligne du 2e ordre.

Prenons le plan principal commun pour celui de xy, et choisi -

sons les 2 perpendiculaires à ce plan. Les équations des deux surfaces ne devront contenir aucune puissance impaire de z, et seront de la forme

Ax' -f A'y* + A V -f ftry -f Cx +C'y +F = 0. ax' -f a'y * -f- a"z* -f- bxy ex + c'y -f- f = 0.

Or si, pour éliminer z, on les retranche l’une de l’autre, après les avoir multipliées respectivement par a" et A", le résultat sera une équation du second degré en x et y; donc , etc.