DISCUSSION DES ÉQUATIONS DU SECOND ORDRE A TROIS VARIABLES

Exposé de la méthode.

702. Les propriétés distinctives de chaque surface du 2* ordre étant connues, ainsi que celles des cas particuliers qui s’y rattachent, je vais exposer la marche à suivre pour déterminer à quelle surface ou à quel cas particulier se rapporte une équation du 2' degré, dont les coefficients sont des nombres donnés.

Après avoir ramené l'équation à la forme

[A] kx' + A y -f AV + 2B xu + 2B'xs + 2B"y=

+ 2Cx + 2C'y + 2C '"z + F = 0,

on égale à zéro les polynômes dérivés du premier membre, relatifs à x, à y et à z : on a ainsi trois équations du 1er degré, qui doivent donner pour valeurs de x, y, z, les coordonnées du ceutre (627). Or la résolution de ces équations conduit à distinguer quatre cas généraux (628).

1° Celui où il n’existe qu’un seul centre; 2" celui où il y a une infinité de centres, situés sur une ligne droite; 3° celui où il y a une infinité de centres, situés dans un plan; 4° celui où il n’existe pas de centre.

703. 1" cas. On transportera l’origine au centre, et il viendra une équation telle que

[G] Ay* + A'x* + AV + 2Bxy -f 2BV + 2B”yz + G = 0,

dans laquelle les coefficients sont les mêmes que dans [A] , à l'exception de G , dont la valeur est (627) G = C f-\- Cg -f C"A -f F.

Supposons G différent de zéro, divisons l’éq. [G] par — G, et formons celle qui fait connaître les axes de la surface (642). Pour cela, il faut remonter à l’éq. [3] du n° 637, et y remplacer A, A',... A A'

par — — — ,... En faisant pour abréger,

AA'-f AA" + A'A" — B*— B'1— B"s