AB"’ + A 'B'1 + A"BS — AA'A" — 2BB'B" G

l’équation dont il s’agit sera

[X] x»lx* + MX — N = 0.

On sait (642) que ses racines ne sont jamais imaginaires, et qu’en les désignant par X', X", X'", les demi-axes de la surface sont

Vp Vf- Vf-

Puisque ces racines sont réelles, la règle de Bkscartks suffit pour connaître leurs signes. Si l’éq. [X] a trois variations, les racines X', X",X", sont positives, et la surface a ses trois axes réels ; donc elle est un ellipsoïde. S’il y a deux variations seulement, la surface n’a que deux axes réels; c’est un hyperboloïde à une nappe. S’il n’y a qu’une seule variation, la surface n’a qu’un axe réel; c’est un hyperboloïde à deux nappes. Mais quand l’éq. [X] n’a que des permanences , ses racines étant négatives, les trois axes deviennent imaginaires; et alors la surface elle-même est imaginaire; c’est-àdire qu’il n'existe aucun point dont les coordonnées puissent vérifier l’équation proposée.

Pour faire usage de l’éq. [X], il faut que les coordonnées soient rectangulaires ; c’est pourquoi j’indiquerai encore le procédé suivant, qui est indépendant de cette supposition.

On mène une droite quelconque par le centre , et on examine si, dans toutes ses positions, elle rencontre la surface, qui serait alors un ellipsoïde. Dans le cas contraire , ce serait un des hyperboloïdes, et pour distinguer lequel des deux, on fait passer un plan s par le centre, puis on cherche si, en variant les positions de ce

plan , il peut couper la surface suivant des ellipses , ce qui ferait reconnaître l'hyperboloïde à une nappe. On peut encore obtenir la même conclusion en examinant si un plan peut couper la surface suivant une droite. Souvent les sections faites par les plans coordonnés, ou par leurs parallèles, suffisent pour obtenir toutes les indications dont on a besoin.

Jusqu’ici on a supposé G ditférent de zéro; soit maintenant G = Ü : l’éq. [G] se réduit à

Axs + A y + AV + 2 tixy + 2B ’xz + 2B "yz = 0.

Elle est vérifiée par les valeurs x — Q, y = 0, r = 0, ainsi le centre fait partie de la surface : et, comme nous sommes toujours dans riiypothèse qu’il n’y a qu’un centre, l’équation doit représenter un cône ou un point unique. Pour décider entre les deux cas, on fera une section parallèle à un des plans coordonnés, et ou examinera si elle est réelle ou imaginaire.

*0-i. IIe cas. Quand on résout les trois équations qui déterminent le centre, il peut se faire qu’en tirant, de deux de ces équations, les valeurs de deux inconnues, et en les substituant dans la troisième équation, celle-ci sc vérifie d’elle-même sans aucune détermination de la dernière inconnue. On doit conclure de là que les plans représentés par les trois équations se coupent suivant la même droite, et que tous les points de cette droite peuvent être pris pour centres. Ce cas est celui dont nous nous occupons.

Alors l’équation proposée doit représenter ou un cylindre elliptique, ou un cylindre hyperbolique, ou deux plans qui se coupent, ou une droite unique, ou une surface imaginaire : or il est évident que toute indécision disparaîtra en coupant la surface par les plans coordonnés. Quelquefois la seclion faite par un seul de ces plans suffira. Par exemple, si celui de xy donne une ellipse, on peut affirmer que la surface est un cylindre elliptique; mais si elle donne deux droites pr.î allèlles, il faut recourir an plan de xz. Si ou trouve encore deux droites parallèles, on se sert du plan yz, et il ne pourra plus rester aucun doute. Voyez les exemples (708).

705. IIP cas. Ce cas a lieu lorsque la valeur d’une inconnue, tirée de l’une des trois équations qui doivent déterminer le centre, rend identique chacune des deux autres. Alors il existe une infinité de centres, dont le lieu est un plan, et l’équation proposée devra représenter deux plans parallèles, ou un plan unique, ou

deux plans imaginaires. Les sections faites par les plans coordonnés suffiront donc pour écarter toute indétermination.

7 Otî . IV" cas. On reconnaît ce cas à ce que, en cherchant les coordonnées du centre, on arrive dans le cours du calcul à une absurdité évidente, telle que 2 = 3, par exemple. Alors il n’existe pas de centre; et les sections parallèles aux trois plans coordonnés achèveront de résoudre la question. En effet, ou doit avoir ou un paraboloïde elliptique ou uu paraboloïde hyperbolique, ou un cylindre parabolique; et je vais montrer que ces sections donnent des résultats différents pour chacune de ces surfaces.

Dans le paroboloïde elliptique, les sections doivent être des paraboles ou des ellipses (673) : or, les plans qui donnent des paraboles sont parallèles à une même droite ; donc, sur les trois séries de sections, il y en a au moins une qui se compose d’ellipses. Un raisonnement semblable prouve que, dans le paraboloïde hyperbolique, il y aura au moins une de ces séries qui donnera des hyperboles. Enfin, quand la surface est un cylindre parabolique, les sections ne peuvent être que des paraboles ou des droites parallèles.

Exemples.