Exemples dans lesquels il y a un centre unique

Exemple 1. Soit x1 -j- liy't -j- 2:3 + Hxy — 2x — 4 y — 4; = 0.

Je forme d'abord les équations dérivées x -j- y — 1 — 0, 2 y -{- x— 2 = 0 ,3 — 1=0. On en tire * = 0,ÿ.= l,s = |; donc il y a un centre unique.

En comparant l’équation proposée avec [A J on voit que C= — 1 , C' = — 2, C" = — 2, F = 0. Par suite, la quantité G devient G = — 4; et en plaçant l’origine au centre, il vient, pour la surface, xs -J- 2 if -(- 2ss -J- 2 xy — 4 = 0.

Je cherche maintenant ce que devient l’éq. [X] (les coordonnées sont supposées rectangulaires). Il faut prendre A = 1 , A' = 2, A"=2, B = 1 , B' = ü, B" = 0, G = — 4. Pal' suite, L = î, M = f6 , N = : l’éq. [X] devient X1 — v X5 -j- X— = 0; et,

puisqu’il y a trois variations, on conclut que la surface est fin ellipsoïde.

C’est ce qu’on voit encore comme il suit. Une droite passant par le centre a pour équations x—az, y—bz ; et quand on cherche ses

intersections avec la surface, on trouve a = ±

(«-}-4}!-Hs-f2-

Ces valeurs, ainsi que celles de x et de y, sont réelles, quels que soient a et b ; par conséquent la surface est rencontrée par tous ses diamètres : donc elle est un ellipsoïde.

Sans faire aucune supposition sur la direction des coordonnées, on parvient à cette conséquence au moyen des sections parallèles au plan de yz. Soit fait x = a dans l'équation au centre, il vient 2 y' -f- 2 z* 2ay -j- a’ — 4 = 0, ou z* -f- (y + ?a),=:2 — {a*. En

prenant a < y‘8, quel que soit d’ailleurs le signe de a, on voit que les sections sont des ellipses; mais, en prenant *> y'8, elles sont imaginaires. Par là, l’ellipsoïde est clairement désigné.

Exemple II. Soit proposée l’équation x* -j-y* -j- 2s* — 2 xy — 2 xz + 4 yz -f- 2 y — 3 = 0.

Le centre sera donné par les équations x — y — z = 0, y — x + 2z-(-i=0, 2z — x + 2y = 0. On en déduit x — 0, y = 1, s = — 1; donc il y a un centre unique. On trouve G = — 2; donc la surface rapportée au centre a pour équation x1 -f- y* + 2z’ — 2 xy — 2 xz -f- 4 yz — 2 = 0.

On a ici L = 2, M = — N = — J-. Par suite on aura donc X5 — 2X* — AX + 1 = 0; et puisque cette équation a deux variations, la surface est un hyperboloide à une nappe.

On arrive immédiatement à cette conclusion, en remarquant que le plan actuel de xy rencontre la surface suivant des droites. En effet, si, dans l’équation au centre, on fait z = 0, il vient a^-j-y* — 2xy = 2 , d’où y=x± y 2.

Exemple III. Soit x* — 2y* + z’ -f 2xy — 4xz-j-4y-4-4z — 9=0.

On trouve le centre de la surface par les équations x + y — 2z =0, — 2y-f-x-}-2 = 0, z — 2x + 2=0:elles donnentx = 2, y =2, z = 2 , et par suite G = — 1 . Ainsi , la surface rapportée à son centre a pour équation x 3 — 2y,-j-z,+2xy — 4xz — 1= 0.

Les valeurs de L, M, N, sont L=0, M= — 8, N=5; et l’éq. [X] devient X3 — 8X — 5=0. Comme elle n’a qu’une variation, la surface doit être un hyperboloide à deux nappes.

Si les coordonnées étaient obliques, on ne pourrait plus se servir de l’éq. [X]. Alors, après avoir mis l’origine au centre, on cherchera les intersections de la surface avec les plans coordonnés ; et, comme on trouve trois hyperboles, on reconnaît bien que la surface est un hyperboloide, mais on ne voit pas qu’il est à deux nappes. On s’en assure en examinant si un plan mené par le centre peut la couper suivant une ellipse. Or, l’équation d’un tel plan est z = ax-\- by,

et, en éliminant z de l’équation au centre, il vient («* — 4a + 1 )x* + (6* — 2) y* + 2 (ab —24 + 1 )xy —1=0.

De là, en posant p = 2a* + 2«6 — 8a +36* — 46 + 3, on tire

(26 — ab — l)ÿ± v/pÿ* + «* — 4« + l X a* — 4a + 1

Au moyen de ces valeurs de x, on aperçoit facilement que si on prend a = 2 et 6 < y/J , la section est imaginaire. Ainsi , les plans menés par le centre ne donnent pas tous des sections réelles : cela suffit pour reconnaître l’hyperboloïde à deux nappes.

Exemple IV. Soit 3x* + ÿ* + z* — 2 xy — 3xz+yz+ÿ + 2 = 0.

Pour le centre, on trouve x= — { , y— — -* , z=0. En y plaçant l’origine, l’équation donnée se change en 3x* + y- + z' — 2xy — 3xz + j/z + ^ = 0.

L’éq. [X] devient X5 + X* + -}£±X + ; et, puisqu’il n’y a que des permanences, les trois racines sont négatives; donc la surface est imaginaire, ou, en d’autres ternies , l’équation donnée est impossible.

Soient x — az, y—bz, les équations d’une droite, menée par le centre; combinons-les avec l’équation au centre : il vient (3a* + 6*+ 1 — 2a6 — 3a + 6)z* + = 0, ou, sous une autre

forme, [(6-a + i)* + 2(a-*)*+il«*=^.

Quels que soient a et 6, les valeurs de z ne peuvent pas devenir réelles; et cela prouve encore que l’équation [1] est impossible.

Exemple V. Soit l’équation 3x*+2 y* — 2x;+4yz — 4x — 8z — 8=0.

Pour le centre, on trouvera x=0, y= 2, z= — 2 ; et, en prenant ce point pour origine, l’équation se change en celle-ci 3x* + 2ÿ* — 2xz + 4yz=0, laquelle peut donner ou un cône ou un point unique.

Une section faite par un plan qui ne passe point à l’origine fait disparaître toute incertitude. Par exemple, faisons x = l : il vient 2y* + \yz — 2; + 3 = 0, et il est clair que cette équation représente une courbe réelle. Donc, l’équation proposée est celle d’un cône.

Exemple VI. Si on a 3x!+2ÿ*+2z!+2ÿz+6x+G//+6z+9=0 , et qu’on traite cette équation comme celle de l’exemple precedent, on apprend qu’elle représente uu point unique.

C’est ce qu’on peut rendre évident sur l'équation même. En effet, on peut l’écrire ainsi 3(x-f-l)*+î(y-j-{s-t-î),-|--*-(*+l),==0; et alors, on voit qu’on ne peut y satisfaire qu’en posant à la fois x+l=0, ÿ + + z+f=0, d’où x= — 1, y ==■ — 1 ,

Remarque. Il ne faut pas croire que le changement fait à l’équation pour lui donner la forme précédente soit un artifice de calcul que la sagacité puisse seule découvrir. Le procédé qu’il faut suivre est, au contraire, naturellement indiqué par les théories de l’algèbre ; et voici en quoi il consiste.

Soit, en x, y, z, un polynôme quelconque du 2’ degré, X = Ax* -(- A"z* + 2Bxÿ + etc. Si on pose l’équation X=0, on en

tire, pour x, des valeurs de la forme x=X,± y Y, X, étant une fonction du 1er degré en y et z, et Y une fonction du 2e degré. En vertu du théorème connu sur la composition des équations, on aura X = A(x — X, — y Y)(x — X, -f y Y) = A(x — X,)* — AY.

Supposons qu’on ait Y = ay* -}- a'z ’ + 2 byz-\- etc., et traitons ce polynôme de la même manière que X. On posera l’équation Y=0, et on en tirera ÿ = Y1dry Z, en désignant par Y, une quantité du f*r degré en z, et par Z une quantité du 2* degré. Alors on a Y =a[y — Y, — y Z) [y — Y, -f y Z) = a(y- Y,)* - aZ.

Enfin, supposons qu’on ait Z = az1-f-2(3z-{-Y, et qu’en posant Z = 0, on trouve z=Z1± y U, Z, et U étant des quantités constantes, il est clair qu’on a aussi Z =a(z — Z, — VU) (s — Z,-(- v'U)= a(Z — Z,)’ — ctU.

Maintenant, mettons dans Y cette valeur de Z; et ensuite, dans X, celle de Y, on obtient

X = A(x — XJ* — A a{y — Y,)’ -f Aaa(z — Z,)*— AoaU.

Telle est la transformation qu’on peut faire subir au polynôme X, et qu’on voulait faire connaître.

708. Exemples dam lesquels il y a une infinité de rentres situés en ligne droite.

Exemple I. Soit l’équation x* -f- y* -f- 2z’ -f 2 xy -f 2 xz -f- 2 yz — 2x — 2y-j- 2z =0.

S’il y a un centre, il est donné par les équations x y -f- z = 1 ,

y -\-x-\- z — i, 2 z + x y =z — f. Les deux premières sont

identiques, et les deux dernières flonnent z = — 2, y= — x-j-3;

donc il y a une infinité de centres situés sur la droite représentée par ces deux équations.

En cherchant la section faite par le plan de yr, il vient y,-f2z*-f-2yz — 2ÿ-f-2z=0, d’où y— — z-J-lrty — zs— 4z+l. Si on égale à zéro la quantité qui est placée sous le radical, on trouve z = — 2 d= y 5. Puisque ces valeurs sont réelles et inégales, et que z’, sous le radical, est précédé du signe — , la section est une ellipse (235), et par conséquent 1 équation proposée appartient à un cylindre elliptique.

Exemple II. Soit x * — y* — 2z* -f- 2xy — 4yz -f- 2 y -f- 2z = 0.

Les équations dérivées sont x -f- y = 0, y — x -f- 2z — 1=0, 2z -f 2 y — 1 = 0.'La tr* et la 3' donnent x = — y, z= — y + et ces valeurs rendent la seconde équation identique, ce qui prouve qu’il existe une infinité de centres, dont le lieu est la droite représentée par les deux équations ci-dessus.

En faisant : = 0 dans l’éq. donnée, il vient x* — y*-f2xy-|-2y=0, d’où x = — y de y/2ys — 2y; et on peut affirmer présentement que l’équation proposée représente un cylindre hyperbolique.

Exf.mplr III. Soit x1 -| -y* — z1 — 2xy-f-x — y — z = 0.

Pour déterminer le centre, on a les équations 2x — 2y-(-l = 0, 2 y — 2x — 1=0, — 2z — 1=0. La lr* est la même que

la 2'; ainsi, le lieu des centres est encore une droite. Mais, en posant x = 0, l’équation proposée donne y = z -f- 1 et y = — z ; c’est-à-dire qu’on a deux droites non parallèles. Dès lors il est clair que cette équation appartient à un système de deux plans qui se coupent.

Si on la résout par rapport à l’une des variables, on obtiendra, séparément, les équations des deux plans, savoir : x = y-(- z et x = y — z — 1.

Exemple IV. Soit x* + y* -f- J z* — 3xz — yz — x + y-f-z-(-{=0.

On reconnaît encore qu’il y a une infinité de centres situés sur la droite, qui a pour équations x = ? z + i , y — — {• Mais

quand on cherche la section de la surface par le plan de xy, il vient x* + y! — x y \ = 0, d’où y = — ^ — £) \/ — * ?

et, pour que y soit réel, il faut faire x= J.

Dans ce cas, la surface se réduit à une droite unique qui doit être la même que celle des centres. Ce résultat se déduit aussi de l’équation proposée pii lui donnant la forme (x — * z — {)* +

Exemple V. Dans l’exemple précédent mettons, pour dernier terme, -j- 1 au lieu de -j- J, on aura cette équation xs + .V* + a — 3xz — yz — x + ÿ + 2-)-4=0.

Elle représente un cylindre imaginaire : on le reconnaît sur-lechamp en l’écrivant ainsi : (x — f z — J )’ -f- (y — \z à = 0.