Exemples dans lesquels le lieu des centres est un plan

Exemple I. Soit proposé l’équation x! + y* + 9zs — 2 xy

iixz — 6 yz — x -f- y — 3z = 0

Dans ce cas, les trois équations dérivées se réduisent à une seule, x — y + 3; — | = 0. Par conséquent, tous les points du plan que cette équation détermine peuvent être également pris pour centres.

En coupant la surface par le plan de xy, il vient x* + y* — 2 xy — x-{-y = 0, d’où y = xety = x — 1. Puisqu’on a pour section deux droites parallèles, l’équation proposée représente deux plans parallèles. Et en effet, si on la résout par rapport à x, on en tire x = y — 3z et x = y — 3z -f- 1 .

Exemple II. Si on a l’équation x* + y1 -f- 4z* — 2xy -)- 4xz — 4 yz — 2x -f 2 y — 4z -J- 1 = 0, et qu’on la traite comme la précédente, on trouvera un plan unique dont l’équation est x — y + 2z — 1=0. En élevant cette équation au carré, on reproduit la proposée.

Exemple III. Si l’équation donnée est x* -j-y* -j-z* — 2 xy — 2xz + 2 yz — 2x -|- 2y -f- 2s -f- b = 0, on reconnaîtra facilement qu’elle représente deux plans imaginaires, ce qui d’ailleurs, devient évident en l’écrivant ainsi : (x — y — : — 1 )* -f- 4 = 0.