Exemples dans lesquels il n'y a point de centre

Exemple I. Soit proposé l’équation x1 -j- 3y5 -j- 2z* -(- 2xy -f- 4yz — 3x — 4 y — 3z = 0.

Les équations qui donneraient le centre, s’il y en avait un, sont 2x-f-2y=3, 3y -j- x -f- 2s = 2, 4z + 4y = 3. La 1" et la 3e donnent x = — ÿ + fj z — — y -f- * j et en mettant ces valeurs dans la 2' il vient 3 = 2, absurdité qui montre que la surface est dénuée de centre.

Pour la section faite par le plan xz, on trouve x’+ 2z* — 3x — 3z= 0: cette équation représente une ellipse; donc la surface est un paraboloîde elliptique.

Exemple II. Soit l’équation x!4-ys — 2z*+ 2 xy -f- 2xz + 2 yz — 4x— 2y + 2z=0.

Je forme d’abord les équations dérivées x -f- y -f- z = 2, jp -f -y-\-z = \, x-\-y — 2 2 = — J ; et comme les deux premières sont incompatibles, la surface n’a pas de centre.

En faisant z=0 dans l’équation donnée, il vient x'--\- rf-\-ixy — 4x — 2y = 0; et comme cette équation est celle d’une parabole, on n’en peut rien conclure. Mais en faisant y = 0, on a x1 — 22*-}- 2x2 — 4x-}-22 = 0, équation qui représente une hyperbole; donc la surface est un paraboloïde hyperbolique.

Exemple III. Soit encore l’équation xs4-ÿ’+9;* — 2 xy — 6 xx-f- 6 yz -f 2a: — 42 — 0.

Ici les équations dérivées sont x — y — 3z= — 1, y — x-{-3z=0, 9: — 3x -J- 3y = 2 ; et comme elles sont évidemment contradictoires, la surface n’a pas de centre.

En cherchant les intersections de la surface avec chacun des trois plans coordonnés, on trouve x' -f- y1 — 2xy-}-2x = 0, x’4-92’ — 6x2-}- 2 x — 4z=0, y’-}- 92* +6^2 — 42=0. Ces trois équations représentant des paraboles, on en conclut que la surface est un cylindre parabolique.