L. sin
Ce logarithme est préparé comme il convient pour être cherché dans les tables : on trouve x = 24° iO' 7”.
Relations entre les côtés et les angles d’un triangle rectiligne.
62. Afin d’abréger, nous désignerons, dans tout ce qui va suivre, les angles des triangles par les lettres A, B, C, placées à leurs sommets; et les côtés opposés, respectivement par a, b, c. De plus, si le triangle est rectangle, A sera l’angle droit, et a l’hypoténuse. Cela posé, je vais démontrer les principes sur lesquels s’appuie la résolution des triangles rectilignes.
63. Théorème I. Dans un triangle rectangle, chaque côté de l’angle droit est égal à l’hypoténuse midtipliée par le sinus de l’angle opposé « ce côté.
Soit ABC (fig. 13) un triangle rectangle en A : du point B, comme centre et avec un rayon quelconque, décrivez l’arc DE, et abaissez la perpendiculaire EF. Le sinus de l’angle B est le rapport de EF au rayon BE (18) : or, les triangles semblables BCA, BEF,
donnent ^ donc -= sin B; donc
Uu JjLj cl
[!]• 4 = asinB.
C’est le théorème qu’il fallait démontrer.
L’angle B est le complément de C, donc sin B = cos C. Ainsi, on peut dire encore que dans un triangle rectangle, chaque côté de l’angle droit est égal à l’hypoténuse multipliée par le cosinus de l’angle adjacent « ce côté.
64. Théorème IL Dans un triangle rectangle, chaque côté de l’angle droit est égal à l’autre côté multiplié par la tangente de l’angle opposé au premier côté.
Soit encore le triangle ABC (fig. 13) : après avoir décrit l’arc DE, élevez DG perpendiculaire à AB. Le rapport de DG à BD est la
TRIGONOMÉTRIE
tangente de l’angle B (18) : or ^ donc - = tang B; donc
AB Bl) c
[2] b = c tang B.
Ce résultat peut aussi se déduire du théorème I. En effet , si on applique ce thorème à chacun des côtés 6 et c, et si on observe que sin C = cos B, on aura b = a sin B et c — a cos B; donc
b sin B , ,
; = ïSB=tangB °u 4=‘tasB-
65. Théorème III. Bans tout triangle rectiligne les sinus des angles sont entre eux comme les côtés opposés.
Soient A et B deux angles quelconques du triangle ABC (fig. 14), et soit CD la perpendiculaire abaissée du sommet C sur le côté AB. Si elle tombe au dedans du triangle ABC , les deux triangles rectangles ACD, BCD, donneront CD = b sin A et CD = a sin B ; donc b sin A = a sin B, ou bien
sin A a
sin B b *
Si la perpendiculaire tombe sur le prolongement de BA (fig. 15), le triangle ACD donne CD = 4 sin CAD. Mais l’angle CAD étant supplément de CAB, on a (9) sin CAD = sin CAB = sin A ; et par suite on a encore la proportion ci-dessus.
66. Théorème IV. Bans tout triangle rectiligne, le carré d’un côté est égal à la somme des carrés des deux autres , moins le double rectangle de ces deux côtés , multiplié par le cosinus de l’angle compris entre ces côtés. C’est-à-dire qu’on a
[4] a1 = b* + c* — 2 bc cos A.
Soit ABC (fig. 14) le triangle dont il s’agit, abaissez CD perpendiculaire sur AB. Quand l’angle A est aigu, on a, d’après un théorème connu, CB* = AC* + AB* — 2AB X AD, ou
a1 = 4* -{- c* — 2c X AD.
Or, le triangle rectangle ACD donne AD = b cos A (63) ; et en substituant cette valeur de AD, on trouve l’équation [4],
Quand l’angle A est obtus (fig. 15), on a
a* = b1 + c1 + 2 c X AD,
PREMIÈRE PAKTIE.
et le triangle ACD donne AD = é cos CAD. Mais CAD étant supplément de CAB ou A, on a cos CAD = — cos A (9); donc AD = — b cos A , et par suite , en mettant cette valeur dans celle de «% on trouve encore l’équation [4] .
67. Le théorème précédent peut suffire à lui seul pour résoudre un triangle rectiligne. 11 est clair, en effet, que si on l’applique successivement à chaque côté , on aura les trois équations
«* = -J- c2 — 2 bc cos A,
b1 =. ax -f- c* — 2 ac cos B,
> c! =«*-(- b1 — 2aôcosC,
par lesquelles on peut déterminer trois des six parties du triangle, quand les trois autres sont connues (sauf les cas où le triangle est impossible, et celui où l’on ne donne que les trois angles).
68. Le théorème III, exprimant une relation entre deux côtés et les deux angles opposés , doit être une conséquence des trois équations ci-dessus. Voici comment elle s’en déduit :
La première équation donne cos A = — ; donc
sin* A = 1 — cos! A
2 as6! + 2a4 c4 -(- 2 ô2c* — a* — b' — c* —
et par conséquent
sin A v ’Zorb* -j- 2a4c! -{- 26V — a* — — c‘
a 2 abc
Les deux autres équations donnent de la même manière les rapports et niais on les obtient plus simplement en
changeant dans le second membre de l’égalité précédente, d’abord a en b et b en a, puis « en c et c en a. Or, remarquez que ce second membre est une fonction symétrique de a, b, c; c’est-à-dire qu’il demeure le même en y faisant un échange quelconque entre ces lettres ; donc on a, conformément au théorème III ,
sin A sin B sin C abc
TRIGONOMÉTRIE
hl
Résolution des triangles rectilignes rectangles.
09. Premier cas. Étant donnés l’hypoténuse a et un angle aigu B, trouver l’angle C et les deux côtés b et c.
On a d’abord C = 90° — B. Puis, on détermine b et c au moyen du théorème I , lequel donne
4 = asinB, c — acos B.
Il est bien entendu que les calculs se feront par logarithmes.
70. Second cas. Etant donnés le côté b de l'angle droit et l'angle aigu B, trouver C, a , c.
On a encore G = 90° — B. Le théorème I donne a par la relation
b = a sin B, d’où a = -— ;
sin B’
et le théorème II donne c au moyen de celle-ci , c — b tang C ou c = b cot B.
71. Troisième cas. Etant donnés l'hypoténuse a et un côté b, trouver l’autre côté c et les angles B et C.
Par la propriété du triangle rectangle , on a c- — a! — 4% d’où
c = \J{a-{-b) (a — b) , expression qui est très-facile à calculer par logarithmes.
On trouvera B par la relation b = a sin B (63) , d’où sin B = -j et enfin on aura C = 90° — B.
Si on commence par chercher les angles, on peut encore déterminer le côté c par la relation c — a sin G.
72. Quatrième cas. Étant donnés les deux côtés b et c de l’angle droit, trouver l’hypoténuse a et les angles B et C.
On calcule d’abord B par la relation b = c tang B (théor. II) , et on a ensuite G = 90° — B. L’hypoténuse a s’obtient par la relation b — a sin B (théor. I).
On pourrait trouver a directement par la formule a = y b* + c*. Mais comme le binôme b' + c* ne se décompose pas en facteurs , elle est peu commode pour le calcul logarithmique, et il vaut mieux déterminer d’abord l’angle B, et s’en servir ensuite pour avoir a.
Résolution des triangles rectilignes quelconques.
73. Premier cas. Etant donnés un côté a et deux angles d'un triangle , trouver les trois autres parties.
En retranchant de 180° la somme des deux angles connus, on a le troisième. Puis on trouve les deux côtés b et c par le théor. III, au moyen des proportions
b sin 13 c sin G
a sin A’ a sin A'
74. Deixikme cas. Etant donnés deux côtés a et b, avec l'angle A opposé à l’un d’eux, trouver le troisième côté c et les deux autres angles B et C.
Le plus simple est de chercher d’abord l’angle B, opposé au
, . . sin B b
côté b, par la proportion - — - = - .
r r sin A a
Les angles A et B étant connus , on a G = 180° — (A -|- B) ; et
c sin C
alors le côte c se trouve en posant - = - — - .
a sm A
75. Cette solution exige quelques développements. La première proportion détermine d’abord sin B, savoir :
sin B
b sin A
et les tables font ensuite trouver pour B un angle aigu. Mais le môme sinus répond aussi à l’angle supplémentaire, qui est obtus; donc, en nommant M l’angle des tables, on aura pour B les deux valeurs B = M, B =180° — M, ce qui semble indiquer deux triangles, et donne lieu aux remarques suivantes.
1° Quand l’angle connu A est obtus ou droit (fig. 16) , les deux autres angles doivent être aigus; donc on prendra seulement B = M. Et encore faut-il, pour que le triangle soit possible, qu’on ait a > b. Cette condition est d’ailleurs suffisante.
2° Quand on donne A aigu et «> b (fig. 17), on doit avoir A > B, et il faut encore rejeter la valeur B =180° — M. Alors le triangle est toujours possible.
3° Mais quand on donne A aigu et a < b, on prendra indifféremment B=M ou B=180° — M. Et en effet, soit (fig. 18) l’angle aigu BAC=A et AC— b : le cercle décrit du centre C avec le rayon
TRIGONOMETRIE.
u pourra dans certains cas couper AB en deux points B et B'; et alors on aura deux triangles ACB, ACB', qui seront construits avec les données, et dans lesquels les angles ABC, AB'C, sont supplémentaires. La condition pour qu’il y ait deux solutions est que le côté a, qui est supposé < b, soit plus grand que la perpendiculaire CD abaissée sur AB. Si le côté a est égal à CD, le cercle est tangent à AB, et les deux solutions se réduisent au seul triangle rectangle ACD. Enfin, si le côté a est moindre que CD, il n’y a plus de triangle possible; or, je vais faire voir que cette impossibilité est indiquée par la valeur même de sin B.
Le triangle rectangle ACD donne CD — b sin A. Mais par hypothèse a est moindre que CD; donc on a
... ,, , b sin A
a < b sin A d ou > 1.
Ainsi la valeur de sin B est plus grande que l’unité : or, il n’y a point de sinus plus grand que l’unité; donc le triangle est impossible.
76. Nous avons prescrit de chercher le côté c après l’angle B. Cependant on peut avoir c immédiatement au moyen des données a, b, A.: car, par le théorème IV, on a'
a1 = b* -f- c5 — 2ôccosA, ou c* — 2ôccosA.c = a* — b1,
équation du second degré, de laquelle on tire
c = b cos A ± y/a’ — ô* -f- ô* cos* A = 6 cos A ± ya* — b 1 sin* A.
Le côté d’un triangle devant toujours être une quantité réelle et positive, il y aurait à examiner quelles relations entre a, b, A, peuvent amener pour c une ou deux valeurs de celte espèce; mais je ne m’arrêterai pas à cette discussion.
Les valeurs précédentes de c étant peu commodes pour le calcul logarithmique ne sont d’aucun usage en trigonométrie. Néanmoins, comme on en rencontre souvent de semblables, je vais montrer l’espèce de transformation que les astronomes leur feraient subir pour en faciliter l’emploi.
Mettons d’abord ces valeurs sous la forme
c — b cos A
±a\JX
b* sin* A
Comme nous les supposons réelles, la quantité ^ S‘“ - est moindre
que 1 , et on peut la regarder comme le sinus d’un angle ? qu’on déterminera en posant
isin A
sin 9 —
.. / «sin? i /, b sin* A
Alors on a b = .■ V / 1 — — — ; — - = cos?, et par suite
smA V «*
a (sin ? cos A ± sin A cos ?) a sin (<p± A)
sin A sin A ’
valeurs faciles à calculer par logarithmes.
Cette solution, au reste, rentre exactement dans la première; car l’angle auxiliaire ? n’est autre que l’angle B.
77. Troisième cas. Etant donnés dans an triangle les deux côtés a et b avec l’angle compris C, trouvère , A, B.
cl sin A
Par le théorème III , on a - — - . Cette proportion renferme
b sm B * r
deux inconnues A et B ; mais on en tire d’abord
a -{- b sin A-}- sin B a — b sin A — sin B ’
et, d’un autre côté, on sait (40) que le 2' rapport ci-dessus est égal au rapport de tang \ (A + B) à tang ‘ (A — B) : donc on a m a + b tang \ (A + B)
^ a — b tang ^ (A — B) ’
Cette proportion mérite d’être remarquée : elle prouve que dans un triangle la somme de deux côtés est à leur différence comme la tangente de la demi-somme des angles opposés à ces côtés est à la tangente de leur demi-différence.
On a A + B = 180° — C, donc i (A -f- B) = 90° — JC; donc les trois premiers termes de la proportion ci-dessus sont connus, et on pourra en déduire la valeur de £ (A — B). Quand on connaît la demi-somme et la demi-différence des angles A et B, chacun d’eux est connu : car on a évidemment
A = Ml5 + ^ et B =
TRIGONOMÉTRIE
A et B étant trouvés, on peut obtenir le côté c par lu proportion
[2] £ — sinC
a sinA'
78. Cette proportion demande qu’on cherche trois nouveaux logarithmes, savoir : ceux de a, sin A, sinC. Dans le procédé suivant il y en a un de moins à calculer.
n . , sin A sin B sinC
Puisqu on a = — - — = on doit avoir aussi
sin A -f sin B a+b „ . (a 4- 4) sinC
SJ'1 G c smA + sinB
Par des formules connues (n”* 29 (et 39), on a sin A -(-sin B = 2 sin \ (A-(-B)cos \ (A — B), sin C= 2 sin J Ccos \ C; et, d’un autre côté , sin J (A -J- B) = sin (90° — | C) = cos à C. Substituons ces valeurs dans c, et il vient, réductions laites,
(31 c = + à) sin « C
J cos 1 (A — B) *
Cette formule contenant a + b dont le logarithme est déjà connu , il y a réellement un logarithme de moins à chercher que dans la proportion [2].
79. La détermination de c n’est venue qu’après celle de A et de B. Pour avoir c directement, on se sert du théor. IV, lequel donne
c — sja? -(- ôs — 2 ab cos C.
Mais comme les logarithmes ne peuvent s’appliquer à cette formule, il faut recourir à un angle auxiliaire. Parmi les différentes transformations que cette formule peut subir, je choisis la plus remarquable.
On a cosJ J C + sin’ J C = t et cos‘ J C — sin* £ C = cosC (31); par conséquent
c = v^(a4 + ^(cos1 ’ C -f sin* { C) — 2 ab (cos* -J- C — sin* \ C)
= 'J (a + 4)* sin* \ C + (a — ô)*c08*{ C
— (a + b) sin * C \ A + ~ cot* > C .
Puisque une tangente peut avoir tous les états de grandeur, on fera
(a — b) cot -i- C tang <p = - — -i 8 .
= (a -(- b) sin
tang <p =
Alors le dernier radical devient
V I + tang* <p =
sin* <p i cos’ç COS? ’
et par conséquent on a
(a + b) sin J- C
COS'f
Ainsi , on trouvera successivement l’angle auxiliaire ^ et le côté c au moyen de deux formules faciles à calculer par les tables.
Getle solution ne diffère de la précédente qu’en apparence : car tang i (A -|- B) étant égale à cot JC, la valeur de tang ? est identique à celle de tang J (A — B) déduite de l’équation [4], et par suite la dernière valeur de c se trouve aussi identique à la formule [3].
80. Dans les applications , il arrive souvent que les côtés sont connus par leurs logarithmes. Supposons qu'il en soit ainsi de a et b, que d’ailleurs C soit donné, et que A et B soient les seules quantités dont on ait besoin. Alors, pour déterminer |(A — B) au moyen de la proportion [1], il faudrait préalablement chercher a et b dans les tables : mais on peut éviter cette recherche par l’emploi d’un angle auxiliaire.
En effet, soit ^ un angle trouvé en posant tang <}/=-. Par la formule [2] du n° 34, on a
tang (45°—*) =
tang 45° — tang \ tang 45° tang
1 — tang +
1 + tang<V’
donc, en remplaçant tang ^ par sa valeur, on aura tang (43° — =
D’autre part, la proportion [1], déjà citée, donne
tang ’ (A — B) = tang J (A + B) ;
donc
tang J (A — B) = tang (43" — tang j (AfB),
et puisque est connu on trouvera facilement J (A — B). Par ce procédé on a deux logarithmes de moins à calculer que si l’on eut déterminé les côtés a et b.
TRIGONOMÉTRIE
81. Quatrième cas. Etant donnés les trois côtés a, b, c, trouver les angles A, B, C.
Par le théorème IV, on a a1 = b1 c’ — 2 bc cos A ; donc
cos A
Ibc
On détermine semblablement B et C. Mais il faut chercher une autre formule plus commode pour les logarithmes.
Le n° 31 donne la formule 2 sin2 J- A = 1 — cos A, et, en y substituant la valeur de cos A , il vient successivement
2 sin* l A = 1
donc
2 bc 2 bc
a2 — (A — cf [a -f- b — c) [a — b -f- c).
sin i A
2 bc
ibc
Pour simplifier cette formule, on fait le périmètre a -f- b-\- e=2s. Par suite , on a a -f b — c = 2s — 2c = 2 (s — c), et a — b -f- c — 2s — 2 b =2(s — b); donc
si„!A = V/li±£l.
De là on tire cette règle : Du demi-péi'im'etre retranchez alternativement chacun des côtés qui comprennent l’angle cherché ; divisez le produit des deux restes par celui des deux côtés ; puis extrayez la racine carrée du quotient : vous aurez ainsi le sinus de la moitié de l’angle cherché.
Quoique l’angle ‘ A soit déterminé par son sinus, il n’en résulte aucune ambiguïté, parce que A étant un angle d’un triangle on doit avoir A < 180° et 1 A < 90".
82. On peut se procurer avec une égale facilité des formules qui déterminent cos} A et tang * A. En remarquant (31) que 2 cos* -J A = 1 cos A, des transformations toutes semblables aux précédentes conduisent à
Puis, en divisant sin } A par cos} A, on a cette autre formule
tang
Chacune des trois formules exigeant qu’on cherche quatre logarithmes , aucune d’elles ne mérite d'être préférée aux deux autres quand on ne veut déterminer qu’un seul angle du triangle. Mais quand on doit en calculer deux, il vaut mieux faire usage de la dernière : car il suffira de chercher les logarithmes des quatre quantités s, s — a, s — 4, s — c, tandis qu’il en faudrait chercher deux de plus en se servant des deux premières formules.
83. On sait qu’il n’est pas toujours possible de former un triangle avec trois côtés pris à volonté : or, je vais montrer que cette impossibilité est indiquée par le calcul même. Supposons qu’on fasse usage de la formule
sinu = v/£^î).
Quand le triangle est possible, elle doit donner pour sin { A une valeur réelle moindre que 1 : mais, s’il est impossible, je dis qu’on aura une valeur ou imaginaire ou plus grande que 1 . Pour que l’impossibilité ait lieu, il faut qu’un côté soit plus grand que la somme des deux autres : voyons quels résultats donne alors la formule.
1 ° Soit b > a 4- c : on aura 24 > a +4 c: donc 24 > 2s ; donc x — 4<0. Mais d’ailleurs on a évidemment « + 4>c; donc n-\-b-\-c ou 2s > 2c; donc s — c > 0. Ainsi la valeur de sin J- A est imaginaire.
2* Soit c > a + 4 ; on conclura s — c < 0 et s — 4 > 0, c’est-àdire que sin ’ A est imaginaire.
3° Soit a > 4 -|- c : on aura a -j- 4 -j- c ou 2s > 24 -)- 2c : donc s > 4 -j- c, donc s — 4 > c, s — c > 4, et (s — 4) (s — c) > 4c; par conséquent la valeur de sin 1 A serait plus grande que 1 , ce qui ne peut convenir à aucun angle.
Application à des exemples.
M. Les grandes opérations trigonométriqucs exigent l’emploi de divers instruments qu’il n’entre pas dans mon sujet de décrire. Les indications suivantes suffiront pour comprendre les exemples que je proposerai.
Pour tracer une ligne droite sur le terrain, on emploie des piquets ou jalons que l’on plante de distance en distance, de manière que, l’œil étant placé au-dessus du premier, tous les autres paraissent confondus en un seul.
TRIGONOMÉTRIE. 55
On trace un angle sur le papier au moyen du rapporteur; c’est un demi-cercle divisé en degrés.
Il existe un grand nombre d’instruments employés pour mesurer les angles, soit sur le terrain , soit dans l’espace : le graphomèlre, la boussole, le cercle répétiteur, etc. En général, ils sont formés d’un cercle, ou secteur de cercle, sur lequel on marque un rayon fixe qui sert d’origine aux subdivisions, tandis qu’un second rayon, mobile autour de son centre, peut prendre la direction qu’on veut. Le plan du cercle peut lui-même tourner autour de son centre. Quand on a besoin de connaître l’angle compris par les droites qui vont d'un point donné à deux autres, il n’y a qu’à placer le centre de l’instrument au premier point et à diriger les deux rayons vers les deux autres points : alors on lira sur la circonférence le nombre de degrés interceptés entre les rayons, et ce sera l’angle cherché.
Je vais maintenant passer aux exemples. Tous les calculs sont effectués par le procédé que j’ai développé n° 61.
85. Exemple I (fig. 19). bans un triangle ABC, rectangle en A, on donne a = 1780”, 395, B = 59° 37’ 42"; et l'on pi'opose de trouver G, b, c (69).
En retranchant B de 90°, on a l’angle G = 90° — 59° 37’ 42” = 30° 22’ 18". Il reste à trouver b et c.
Calcul du côté b.
Calcul du côté c.
b=a sin B.
e = a cos B.
