COS A
sin u sin c
puis , avec cette valeur, on en trouve d’autres mieux appropriées aux logarithmes , en cherchant sin \ A , cos J À, tang A , comme on l’a fait pour les triangles rectilignes. Prenons donc (31) la formule 2 sin’ J A = 1 — cos A , et inettons-y la valeur de cos A : on trouve
„ . . . . cos b cos c -4- sin b sin c — cosa cos(é — c) — cosa
2 sin* A = 4— = — — .
sin b sin c sniAsinc
Dans la formule connue cos q — cos/>=2sin,,(/)-f-ÿ)sinl(/> — y),
faisons /> = a et q — b — c : il vient cos (6 — c) — cos a —
2sin | (a.-)- b — c) sin ‘ [a — b-\-c)‘, donc
/sin ) (« b — c) sin J (a — b -f c)
sin i A
sin b sin c
En prenant (31) la formule 2 cos j A = 1 -f cos A , on trouverait par un calcul semblable la valeur de cos J A,
, k t /sin j-(a -(- b-\-c) sin) [b-\-c — n)#
COS "j A — \f
sin b sin c
puis, avec sin j A et cos J A , on obtiendra tang ‘ A.
Posons a-(-ô4-c = 2$, on aura a,-\-b — c = 2(< — c), a — 6 + c = 2 (s — b), b-\-c — a = 2 (s — a); et alors les trois formules s’écriront ainsi :
/sin (» — b) sin (s — c) sin b sin c
sin [
cos ■ A = \ /sinssin {s~a)
* V sin A sine ’
tang J A
sin s sin (s — à)
TRIGONOMÉTRIE
Au moyen d’un simple changement de lettres , on obtient des formules analogues pour J B et J C.
On démontre en géométrie que la somme des trois côtés d’un triangle sphérique est moindre qu’une circonférence de grand cercle. En nommant 8 la différence, on aura s = 180“ — J 3, s — « = 180° — (a -J- } 3), etc. ; et, comme le sinus d’un arc est le même que celui de son supplément , on pourra encore écrire les formules précédentes comme il suit :
sin \ A = cos * A = tang i A =
sin (b * ô) sin (c -j- | S) sin b sine sin { 8 sin [a + 1 8) sin b sin c
sin (6 -f- -J- 8) sin (c-f- £6) sin J 8 sin (« -f- } 8)
97. 2° Relation entre deux côtés et les deux angles ojij/osés. Pour avoir celle qui répond à la combinaison a, b , A, B, il faut éliminer c entre [1] et [2]. Le moyen qui se présente d’abord , c’est d’en tirer les valeurs de sine et cosc, puis de les substituer dans l’équation sin* c -f cos* c = t ; mais le calcul suivant, analogue à celui du n” 68, est plus simple.
L’équation [1] donne d’abord
cos A =
cos a — cos b cos t
Par suite, on a
sin’ A = 1 — cos* A = 1 —
sin b sin c
(cos a — cos b cos c)1
sin’ b sin* c
(1 — cos’ b) ( 1 — cos* c) — (cos a — cos b cos c)* sin! b sin* c
i — cos’ a — cos* b — cos* c -f- 2cos a cos b cos c sin’ b sin’ c
donc
sin A y'I — cos* a — cos’ b — cos* c + 2cos a cos b cos c
sin a
sin a sin b sin c
11 n’y ici aucune ambiguïté dans le signe du radical, attendu que les angles et les côtés étant moindres que 180“, leurs sinus sont positifs. Comme le second membre demeure constant quand
IMlEMlEltË l'AlîTIE.
on change A et a en B et b, et vice versa, ou bien en C et c, et vice versa, on en conclut
sinA sinB sinC
L i sin a sin b sin c5
donc, dans un triangle sphérique ,• les sinus des angles sont entre eux comme les sinus des côtés opposés.
98. 3° flelation entre deux côtés , l’angle qu'ils comprennent , et l’angle opposé à l’un d’eux. Considérons la combinaison a, b, A, C. Éliminons d’abord cos c entre [1] et [3] , il vient
cos a = cosa cos* b -f- cos b sin a sin b cos C -j- sin b sin c cos A.
En transposant cos a cos* b, observant que cos a — cos a cos* b =
cos a sin! b, et divisant tout par sin b sin a, on trouve
cos a sin b , , sin c cos A
: — cos b cos C -4 : .
sm a sm a
Mais par suite on a, pour la relation cherchée,
sma sin A
cot a sin b — cos b cos C -f sin C cot A.
On peut y faire différentes permutations entre les lettres, et on obtient en tout six équations, savoir :
cota
sin b =
cos b cos
sin
C cot A ,
coté
sin a =
cos a cos
sin
C cot B,
cota
sin e =
cos c cos
sin
B cot A,
cot c
sin a =
cos a cos
sin
B cote,
cot b
sine =
cos c cos
A cot B,
cote
sin b =
cos b cos
sin
A cotC.
99. 4“ Relation entre un côté et les trois angles. C’est la dernière qui reste à chercher. Éliminons b et c entre les équations [1], [2}, [3]. A cet effet, mettons d’abord dans la l” valeur le cos c , tirée de la 3* : il vient , comme ci-dessus ,
cos «sin b . „ , sine cos A
: = cos b cos C -4- - — : ;
sin a sin a
et cette relation, au moyen des égalités
sin b sin B sin c sin C
sin a sin A sinu sin A’
se change facilement en celle-ci :
cos a sin B = cos b sin A cos C -f- cos A sin C.
TRIGONOMÉTRIE
En effectuant les mômes calculs sur l’éq. [2], ou mieux, en changeant, dans la dernière, a et A en b et B, et vice versa , on a
cosé sin A = cosa sinB cosC -f- cosB sinC.
Il n’y a donc plus qu’à éliminer cos b entre les deux équations précédentes. On trouve ainsi , après toutes réductions , la relation cherchée entre A, B, C et a, laquelle, étant appliquée aux trois angles successivement, donne les trois équations
fil] cosA= — cos B cos C + sin B sin C cos a,
[12] cosB = — cosA cosC -f sinA sinCcosô,
[13] cosC = — cosAcosB -f- sinA sinB cosc.
Il sera facile d’exprimer sin] a, cosja, tang [ a en fonction des angles A, B, C. De la formule [11], on tire d’abord
cos A 4- cos B cos C
co s a = 4-=- .-7, ;
sin B sin C
puis, avec cette valeur, par des calculs semblables à ceux du n° 96, on trouvera les formules cherchées. En posant A -f- B -f C = 180° -j- e, ces formules sont
sin] a =
cos^a = tang] a =
sin Je sin (A — Je) sin B sin G ’
sin (B — Je) sin (C — J e) sin B sin C
sin Je sin (A — Je) sin (B — Je) sin (G — Je)
La quantité s est ce qu’on nomme en géométrie l’excès sphérique.
100. L’analogie des équations [11], [12], [13] avec la formule fondamentale [I] est frappante et conduit à une conséquence remarquable. Imaginons un triangle sphérique A' B' G' dont les côtés a', b', c', soient les suppléments des angles A, B, C : en vertu de la formule [1], on aura
cos a' = cos b' cos d -[- sin b' sin d cos A' ; or sin a' = sin A, cosa' = — cos A, sin b' — sin B, etc.; donc
— cos A = cos B cos C + sinB sinC cos A'.
On tirerait de là, pour cos A', une valeur égale et de signe contraire à celle que donne [11] pour cos a; donc a = 180° — A'.
Semblablement, b = 180" — B' et e — 180° — C'. Donc, un triangle sphérique étant donné , si l’on en forme un second dont les côtés soient suppléments des angles du [premier, réciproquement les côtés du premier seront les suppléments des angles du second.
Par cette raison, les deux triangles sont dits supplémentaires. On a vu en géométrie que chacun d’eux peut être décrit en prenant pour pôles les trois sommets de l’autre; et c’est d’après cette propriété que chacun des deux triangles est dit le polaire de l’autre.
Par le triangle polaire les formules trouvées plus haut pour }a peuvent sur-le-champ se déduire de celles qui sont connues pour { A (96). En effet, on peut appliquer ces formules au triangle polaire lui-même, et pour cela il faudra y remplacer les angles par les suppléments des côtés, et les côtés par les suppléments des angles. On retombe ainsi sur les valeurs de sinja, cos {a, tang J a.
101. Proportion des quatre tangentes. Je vais encore démontrer quelques formules dont les astronomes font un fréquent usage.
La proportion des sinus établie au n° 97 donne
smB sina
On en tire d’abord
sin A + sin B sin a -f- sin b
sinA — sin B sina — sin 6'
Dans celle-ci , on peut remplacer chaque rapport par un rapport de tangentes (40), et il vient
tang^(A-fB) tang; (a + 6) ; tang|(A — B) tangua — b)’
telle est la proportion dites des quatre tangentes.
102. Proportion des quatre cosinus. (Le lecteur est prié de faire lui-même la figure.) Du sommet G d’un triangle quelconque, abaissez un arc de grand cercle perpendiculaire au côté AB ; désignez par p cet arc, et par a et $ les segments adjacents aux côtés a et b. Les deux triangles rectangles donneront (94) cos a = cos p cos a, cos b — cos p cos p; et de là on tire la proportion des quatre cosinus , savoir : -
cos a cos a
cos b cos ^ ‘
