Formules de Deiambre. Elles gardent le nom du savant
TRIGONOMÉTRIE
astronome qui a les a publiées le premier : ces formules sont
cosJ(a — b)
sin J (A -{- B) = cos J C sinJ(A — B) = cos JC cosJ(A-fB) = sin JC cos J(A — B) = sin JC
cos Je
sin J (a — b) sinje ’ cosJ(«-j-6) cosjc 3 sin J(a + b) sin Je
On les trouve facilement en cherchant à exprimer, en fonction des côtés a, b, c, les sin et les cos des angles J (A + B), J (A — B).
Par exemple, cherchons sin J (A -f B). On a d’abord sin J (A -f- B) = sin J A cos J B -f- sin JB cos J A, Remplaçons dans le 2e membre les sin et les cos par leurs valeurs en fonction des côtés : il vient
sin J (A -f B) =
sin« sine sin (s — é) + (sin(ssine
■c) ^/sinssin(s — b)
V sin b sine ■a) t /sin s sin (s — c)
sin (s — b ) sin (s ■
sin b sine V sin a sine sin (s — a) sin (s — c) t /sin s sin (s — a)
sin a sin b
Le dernier radical est égal à cos J C. Le numérateur sin (s — b) + sin (s — a) est une somme qui peut être remplacée par un produit (39), et le dénominateur sine est égal à 2 sin je cosjc. En conséquence on aura
. . , . . , 2sin j- cos — ■ —
sin (s — 6) -f- sin (s — a) 2 2
sine 2sin Je cosjc
sinj(2s — a — 6)cosJ(a — b) sin J e cos -J e
Rappelons que 2s = a -{- b -f- c; par suite 2s — a — b—c, et la
fraction précédente se réduit à S 8 . Donc enfin
cos Je
sin J (A -j- IJ) = cos J C
cos J(a — b) cos Je
C’est la lre des quatre formules de Rklambrk : les trois autres se trouvent par des calculs semblables.
On pourrait croire qu’en appliquant ces formules au triangle polaire on arriverait à des formules nouvelles; mais il n’en est point ainsi. Par exemple, dans la 4'% remplaçons A, B, G par les suppléments des côtés et vice versa, elle devient sin \(a -f- b)
= sin -l e ?°S : et celle-ci, sous une forme un peu dif- 1 sin|C ’ ’ p
férente, n’est autre que la 4e. Réciproquement, la 4e ramènerait
à la 4re. Quant à la 2*, elle ne fera que se reproduire elle-même,
avec un léger changement de forme ; et il en sera de même de
la 3'.
104. Analogies de Nf.per. Ces analogies ou proportions reviennent aux formules suivantes :
tang J ( A -j- B) = cotJC tang J (A — B) = cot l G tang J (a + b) = tang l c tang J (a — b) = tang J c
cos [(a — b) cosJ(a-(- b)* sin J (a — b) sin £ (a + 0)’ cos J (A — B) cos’(A-f-B)’ sin \ (A— B) sinJ(A-fB)*
Pour les démontrer directement , on ferait reparaître les calculs qui ont été faits pour les formules de Delambre. Il sera donc plus simple de les en déduire immédiatement.
Si on remonte à ces formules et qu’on divise sin J (A + B) par cos J (A-J-B), et sin$(A — B) par cos J (A — B), on obtient sur-lechamp les deux premières analogies. De même aussi, en divisant la 4' formule de Delambre par la 3', et la 2e par la 1'*, on obtient les deux dernières analogies, lesquelles d’ailleurs peuvent se conclure des deux premières au moyen du triangle polaire.
Les analogies de Néper servent à simplifier quelques cas de la résolution des triangles sphériques. On emploie les deux premières quand on connaît deux côtés et l’angle compris; les deux dernières , quand on connaît un côté avec les deux angles qui lui sont adjacents.
105. Relations entre les parties d’un triangle sphérique rectangle. Pour avoir les formules qui conviennent au cas particulier du triangle rectangle, il suffira de faire A = 90° dans celles des
TKlGONOMÉTltlE. t)U
relations, trouvées précédemment, qui contiennent cet angle. De cette manière , on trouve :
cos« = cos A cose,
sin b — sin a sin B,
sine
= sin a sin C,
tang A = tanga cos C,
tange
= tanga cos B,
[rf]
tang A = sine tangB,
tange
= sin A tangC,
ibid.
cosB= sinC cos A,
cosC
= sinB cose.
cosa = cotBcotC,
ibid.
En tout sis formules distinctes également commodes pour le calcul logarithmique. La première donne une relation entre l'hypoténuse et les deux côtés de l'angle droit ; la deuxième , entre l’hypoténuse , un côté et l'angle opposé ; la troisième, entre l'hypoténuse, un côté et l’angle adjacent; la quatrième, entre les deux côtés et à l'angle opposé à l’un deux; la cinquième, entre un côté et les deux angles obliques ; enfin , la sixième , entre l’hypoténuse et les angles obliques. Ainsi , deux quelconques des cinq parties étant connues, on a une formule pour déterminer telle autre partie qu’on voudra.
106. Certaines propriétés des triangles rectangles doivent être remarquées ici.
1° La formule [a] exige que cos a ait le signe du produit cos A cos c : or, pour cela, il faut que les trois cosinus soient positifs, ou qu’un seul le soit. Donc, dans un triangle sphérique rectangle, les trois côtés sont moindres que 90°; ou bien deux des côtés sont plus grands que 90°, et le troisième est moindre.
2* Les formules [d] montrent que tang b a le même signe que tangB, et tang c le même signe que tangC. Donc chaque côté de l’angle droit est de même espèce que l’angle opposé : c’est-à-dire que l’angle et le côté sont tous deux moindres que 90° ou tous deux plus grands.
Résolution des triangles sphériques rectangles.
107. Un triangle sphérique peut être bi-rectangle et même trirectangle, c’est-à-dire que deux de ses angles peuvent être droits, et même tous les trois. Dans le dernier cas , les trois côtés sont des quadrants. Dans l’autre, les côtés opposés aux deux angles droits sont aussi des quadrants ; et le troisième angle , ayant pour
mesure le troisième côté , doit être exprimé par le même nombre de degrés que ce côté. Ainsi , ces deux cas ne donnant lieu à aucune question, je parlerai seulement du triangle sphérique qui ne renferme qu’un angle droit. Pour le déterminer, il sutlit de connaître deux des cinq autres parties, ce qui fera six cas à considérer.
108. Ier cas. Etant donnés l’hypoténuse a et un côté b, trouver c, B, C.
Il faut recourir aux relations [a], [4], [c], lesquelles donnent
co s c —
cos a cos b’
sinB =
s in h sina ’
cos G =
tang 4 tanga *
Comme il s’agit ici d’arcs et d’angles qui ne peuvent surpasser 180°, et comme dans cette limite, il n’y a qu’un seul arc qui réponde à un cosinus donné , il s’ensuit que c et C sont déterminés sans aucune ambiguïté. Quand à l’angle B, comme il est connu par son sinus , il semble qu’on puisse le prendre indifféremment aigu ou obtus; mais, d’après les remarques du n“ 106, il doit être de même espèce que le côté donné b.
109. IIe cas. Étant donnés les deux côtés b et c de F angle droit , trouver l’hypoténuse a et les angles B, C.
Par les relations [a] et [rf] on a
, . tang 4 . „ tange
cosa = cos4 cosc, tang B = ■ . ■ - , tang G = - . ,
sine sm4
et il est clair qu’il n’y a ici aucune ambiguïté.
110. III* cas. Étant donnés l’hypoténuse a et un angle oblique B, trouver b, c, C.
Des relations [6], [c], [/], tirez
sin4 = sina sinB, tang c = tanga cos B, cote = cosa tang B.
c et G seront déterminés sans ambiguïté, et le côté b devra être de même espèce que B [106].
111. IVe cas. Étant donnés le côté b de l’angle droit, ainsi que l’angle opposé B, trouver a, c , G.
Au moyen des relations [4], [</], [e], on a
sina =
sinB’
sine =
tang 4 tangB’
sinC
co s B cos 4‘
U y a ici ambiguïté à cause des sinus, et il est facile de voir qu’elle doit véritablement exister. En effet, si le triangle BAG (fig. 29),
TlUGONOMÉTKIE.
rectangle en A, satisfait à la question, prolongez CA et BC jusqu’à leur intersection D, puis prenez DA' — B A et DC’ = BC, les triangles BAC, DA'C', seront égaux dans toutes leurs parties; donc l’angle A' est droit, et C'A' = CA = b. Ainsi le triangle BA'C' est rectangle et contient aussi les deux parties données B et b. On peut donc prendre à volonté a < 90° ou a > 90° ; mais quand le choix sera fait, l’espèce de c sera donnée par la relation cosu = cos A cosc, et cette espèce sera aussi celle de C.
Il n’y a plus qu’un seul triangle , lequel est bi-rectangle, quand b = B. Il n’y en a plus si l’on a sinô > sinB.
112. Ve cas. Etant donnés un côté b de l’angle droit avec l’angle adjacent C, trouver a, c, B.
Des relations [c], [</], [e], on tire
tang a — ~~^c , tangc = sinAtangC, cosB = cosAsinC.
Par là on connaîtra a, c. B, sans aucune ambiguïté.
