VIe cas. Étant donnés les trouver a , b, c
Les équations [/] et [e] donnent
cosa = cotB cote, cos A — -
sinC sinB
Ces valeurs ne laissent aucune ambiguïté ; et si le triangle est impossible , elles en avertiront.
114. Remarqce. Plusieurs cas se ramènent au triangle rectangle.
1° Si dans un triangle sphérique on donne trois parties , parmi
lesquelles il y ait un côté égal à 90°, l’angle correspondant, dans le triangle polaire, sera droit. De plus, on connaîtra deux des cinq autres éléments de ce triangle; donc on pourra le résoudre par ce qui a été dit plus haut; or il est évident que la résolution de ce triangle fera trouver le premier.
2” Quand un triangle est isoscèle, les deux côtés égaux ne sont comptés que pour un seul élément, les angles qui leur sont opposés, aussi pour un seul, et alors il suffît de deux éléments pour déterminer le triangle. Or, en menant un arc de grand cercle du sommet au milieu de la base , on le décompose en deux triangles rectangles, égaux dans toutes leurs parties, et dans chacun desquels on connaîtra deux éléments, outre l’angle droit; donc les triangles isoscèles peuvent se résoudre par les triangles rectangles.
deux angles obliques B et C,
cos B cosC
3° Soit un triangle sphérique ABC (fig. 30) dans lequel on a a -{- b — 180°. En prolongeant a et c jusqu’à leur intersection D, on aura a -j- CD = 180°; donc CD = b. Or chaque élément connu du triangle ABC en fait connaître un dans le triangle isoscèle ACD, et vice versa; donc la résolution d’un triangle dans lequel la somme de deux côtés est égale à 180° revient à celle d’un triangle isoscèle, et par suite à celle d’un triangle rectangle.
4" La même chose peut se dire d’un triangle sphérique dans lequel deux angles sont suppléments l’un de l’autre; car on ne peut pas avoir o+A=180° sans avoir en même temps A-f-B=180°, et vice versa. En effet, dans le triangle isoscèle ACD, l’angle CAD = D = B : or CAD -|- CAB = 180°; donc aussi, dans le triangle ABC, on doit avoir A -f B = 180°.
Résolution des triangles sphériques quelconques.
115. 1" cas. Étant donnés les trots côtés a, b, c, trouver les angles A, B, C.
L’équation [1] du n° 96 donne
co s A =
co s a — co s b co s c sin b sin c
mais comme le calcul logarithmique ne s’applique point à cette expression, on se sert des formules qui ont été données, dans le numéro cité, pour sin{A, cos{A, tangjA, et que nous rappelons ici , savoir :
sin JA
sin (s — b) sin (s — c)
sin b sine
cos
/sin s si 1 V sin!
sin (s — a
b sine
, /sin (s — 6) sin (s -
tangJA = \ / — L . , .
V sin s sin (s — a
11“ cas. Etant donnés deux côtés a, b, avec l’angle A opposé à l’un d’eux, trouver c, B, C.
On obtient d’abord l’angle B, opposé à b, par la proportion
sin B sin A
sin b sin a ’
d’où
. „ sinA sinô
sin B = • — :
sin a
TRIGONOMÉTRIE
Ensuite, le mieux sera de déterminer c et G par les analogies
de Neper (104), lesquelles donnent
. .. sin J (A + B)
tang£c= tangua — b)-
cot ’ C = tang t ( A — B)
sin}(A — B)’ sinJ(a + 6)
sin^(a — b)'
L’élément B étant déterminé par son sinus, cet angle peut être aigu ou obtus. Cependant, pour certaines valeurs des données a, b, A, il n’existe qu’un seul triangle. Nous reviendrons dans un article à part (1 1 7) sur cette discussion , analogue à celle qui a été faite sur le second cas des triangles rectilignes (75).
On peut aussi trouver C directement par l’équation [5] n° 98,
cot A sin C -(- cos b cot G = cot « sin 6.
A cet effet, déterminons d’abord un angle auxiliaire o en posant cot A = cos b cot y , d'où
cote:
cotA
cosô5
puis, dans l’équation [5] substituons la valeur cot A = cos b cot<p = cos 6 costp
sin o
-. Cette équation devient cosô (sinCcos<B-f-cosCsin<p) =
cota sin b sin <?, et alors on en tire facilement
tangbsinif
sin (C + <?) = — -s
' T tanga
donc on connaîtra C + <?• Soit C + <? = m, on aura G = m — o.
Après avoir trouvé C, on obtient le côté c par la proportion des sinus. Mais si on veut calculer c directement , il faut recourir à l'équation [1] du n° 96,
cos b cos c -|- cos A sin b sin c = cos a.
On réduit, comme plus haut, le premier membre à un seul terme, au moyen d’un angle auxiliaire <s, en posant cosAsinô=cosôcottp, d’où
cot<? = cosAtangô.
Par suite, l’équation devient cos b (sin ocosc + cos<p sine) = cos a sin o , ou
cos a sin <p #
sin(c <j>) = •
cos b
donc , après avoir calculé a , on aura facilement c.
III* cas. Étant donnés deux côtés a et b , avec l’angle compris C, trouver A, B, c.
Les formules [5] et [6] du n° 98 donnent, pour A et B ,
cota si n b — cos 6 cosC cotA =
cotB =
sinC
cot b sin a — cos a cos C sinC
En employant des angles auxiliaires, il est facile de réduire chaque numérateur à un monôme. Mais il est plus simple de recourir aux analogies de Nefer (104).
tang 1 (A + B) = cot } C
cos-}- (a — b) cos} (a + b)’
tang } (A — B) cot} G
sin} (a — b) sin } (a -}- b) ’
Elles font connaître } (A + B) et } (A — B), et par suite A et B.
Une fois ces angles trouvés , on obtient c par la proportion des sinus. Mais si on veut avoir c directement, on prendra (96) la formule
cosc = cos a cos b -f- sin a sin b cosC ,
dans laquelle on fera sin b cos G = il viendra, sans aucune ambiguïté,
cos b cos tp sin ©
= cosôcot<p. Alors
, cos/>sin(a -4- o)
cot <p = tango cos C, cosc = .
116. IV' cas. Étant donnés deux angles A et B avec le côté adjacent c, trouver a, b, C.
On peut trouver a et b par les formules [7] et [9] du n° 98,
cota = cot b =
cot A sin B + cos B cosc sin c *
cot B sin A + cos A cos c sine
et mieux encore par les analogies de Neper,
cos} (A — B)
tang } (a + b) = tang } c
cos}(A + B)’
tang|,(a — 6) = tang }c
sin } (A — B) sin} (A -H B)*
TRIGONOMÉTRIE
Ensuite on a C par la proportion des sinus. Si on veut avoir G directement, on prendra (99) la formule [13]
cos C = sin A sin B cos c — cos A cos B , on posera sin B cosc = cos B cot <p , et il viendra
cosB sin (A — <?)
cot <p = tang B cos e, cos C :
sin<p
Ce cas est analogue au troisième, et n’offre aucune ambiguïté.
V® cas. Etant donnés deux angles A et B avec le côté a opposé à l’un d'eux, trouver b, c, C.
Ce cas est tout à fait analogue au second : il se traite de môme
et présente les mômes ambiguïtés.
. , sin b sin B
On déduit b de la proportion - — = - — -, et on trouve c et C
sin a sin A
par les formules déjà employées pour le II® cas,
t sinjf(A 4- B)
tangue = tang * ( a — b)
sin} (A — B) ’
„„ . „,sin}(a + i)
cot ] C = tang }(A— B - — =- — —r, .
Dsv ;sin’(a — b)
Le côté c s’obtient aussi par l’équation [7] n° 98,
cot a sin c — cos B cos c = cot A sin B ,
dans laquelle on fait cota = cos B cot <? ; et parla il vient
cota . , . tangBsin®
cot <p = — -, sine — <f ) = —? 2 — r-L.
cosB tangA
Enfin, on peut aussi connaître C par la proportion des sinus , ou bien (99) au moyen de l’équation
cos a sin B sinC — cos B cosC = cos A.
On réduit d’abord le premier membre à un monôme, en posant cos a sin B = cos B cot tp ; et il en résulte
. . cos A sin®
cot<p = cosatangB, sin(C — cp)= — — .
Ces valeurs déterminent <p, C — Par su*^e l’angle C.
VI® cas. Étant donnés les trois angles A , B, C, trouver les trois côtés a, b, c.
Ce cas se résout par des calculs semblables à ceux du premier.
IMUiMlEUE i’AKTlK.
Par exemple, pour avoir a, on se servira des formules placées à la fin du n" 99 ,
sin \ a = co s J a — tang’«=
sJ
sin J s sin (A — J e) sin li sin C ’ sin(B — ie)sin(G — J sin B sin C sin |e sin (A — Je) sin(B — J E)sin(C — J
Il est à remarquer que les trois derniers cas ont une grande analogie avec les trois premiers : c’est qu’en effet ils peuvent s’y ramener par les propriétés du triangle polaire (100).
Sur les cas douteux des triangles sphériques.
117. Les seuls cas dans lesquels il y ait incertitude sur l’espèce des éléments inconnus sont le II' et le V*. Je me propose, dans cet article, de rechercher à quels symptômes on peut reconnaître qu’il doit y avoir deux solutions ou une seule , ou même que le triangle est impossible : c’est ce qu’on appelle la discussion des cas douteux. Dans cette vue, je vais établir d’abord plusieurs propositions sur lesquelles je m’appuierai.
Considérons sur une sphère un demi -cercle DCD' (fig. 31) perpendiculaire à un cercle entier DIID', prenons CD < 90°, et menons des arcs de grand cercle CB, CB', CH,... du point C aux différents points de la circonférence DHD'. Prolongeons CD d’une quantité égale CD, et joignons C'B. Les triangles CDB, C'DB ont un angle droit compris entre côtés égaux; donc CB = C'B. Or on a CDC' < CB BC' ; donc CD < CB. Donc 1° l’arc CD est le plus petit qu’on puisse mener du point C à la circonférence DHD'; ef par suite CD' est le plus grand.
Soit DB' = DB : les triangles CDB, CDB' ont aussi un angle droit compris entre côtés égaux; donc CB' = CB. Donc 2° les arcs obliques également éloignés de CD ou de CD', sont égaux.
Enfin soit DH > DB : menons CH et prolongeons CB jusqu’à sa rencontre I avec C'H. Puisque l’arc CC' est moindre qu’un demicercle, il doit être rencontré par le prolongement de CB, au delà du point C', ce qui exige que l’intersection I se fasse en H et C. On a donc C'B<.CI-}-IB, et par suite C'B-f-BCcCI-j-lC. Mais on
TRIGONOMÉTRIE
a IC < IH-f HC , et par suite C'I -{- IC < C'H -f- HC; donc à plus forte raison , C'B ~f BC < C'H + HC. Or C'B = BC et C'H = HC ; donc on a BC < HC. Donc 3° les arcs obliques sont d’autant plus grands qu’ils s’écartent davantage de CD, ou qu’ils se rapprochent davantage de CD'.
1 1 8. Maintenant supposons qu’on veuille construire un triangle sphérique avec deux côtés donnés a, b, et l’angle A opposé à a.
D’abord je remarquerai que certains cas d’impossibilité sont indiqués par le calcul mémo. Faites (fig. 32 et 33) l’angle CAB = A et AC = 6, prolongez AC et AB jusqu’à leur intersection E, puis abaissez CD perpendiculaire sur AE.
L’arc CD doit être de même espèce que A (106); donc , si A est aigu, CD est la plus courte distance du point C à la demi-circonférence AE; et c’est la plus grande si A est obtus (117).
Dans la première hypothèse le triangle sera impossible si l’on a n<CD,ce qui donne sina<sinCD; et dans la seconde il sera impossible si l’on a a>CD, ce qui donne encore sin a < sinCD. Or, dans le triangle rectangle ACD, on a sin CD = sin b sin A; donc dans les deux hypothèses, on aurait sin a < sin b sin A. D’un autre côté, quand on cherche l’angle B du triangle ACB, on a
sinB siné „ . . sinisinA
- — - = - — d où sin B = — : ;
sin A sma sin a
donc cette valeur de sin B serait > 1 , ce qui indique une impossibilité évidente.
Si l’on donnait a = CD ; il n’y aurait que le seul triangle rectangle ACD qui fût possible; et c’est ce qu’indique encore la valeur de sin B, laquelle devient sinB = l. Il est sous-entendu que l’angle A n’est pas égal à 90°.
i 19. Laissant donc ces cas de côté, examinons les différentes relations de grandeur que peuvent présenter les données a, b, A.
Soit A < 90° et b < 90° (fig. 32). Puisque A et b sont < 90°, AD est aussi <90° (106); donc AD <DE. Cela posé, si l’on a en outre a < b, il est clair qu’on peut placer entre CA et CD un • arc CB = a, et que de l’autre côté, entre CD et CE, on peut en placer un autre CB' = CB = a : c’est-à-dire qu’il existe deux triangles ACB et ACB', construits avec les mêmes données a, b, A. Lorsque a = b, le triangle ACB disparaît, et il ne reste que ACB'. Quand on a a + b = 180° ou a -f b > 180% le point B' vient en E ou passe au delà, et alors il n’y a plus de triangle.
On discute de la même manière les autres hypothèses. Les résultats sont tous compris dans le tableau suivant. Le signe > veut dire égal à ou plus grand que ; <£ signifie égal à ou moindre que.
|a<è deux solutions.
a 5* b une solution, a-\-b ^>180° aucune.
< 180° deux solutions.
a-\-b 3> 180° une solution, a > b aucune,
f a<6 deux solutions.
(, a>i aucune.
à moins qu’on n'ait a+6>l80“-
à moins qu'on n’ait n>6.
a-j-é> 180" deux solutions.
b < 90" ' a-\-b <£ 180° une solution ,
à moine qu’on n’ait
( a<è aucune.
°<fc b.
r a>b deux solutions.
b >90"' «-<6 une solution,
à moins qu’on n'ait
(a+^<t 180° aucune.
^ «>é deux solutions.
\ «<£ b aucune.
1 a>b une solution ,
à moins qu'on n’ait
b < 90° < « <L b aucune.
(rt-j-é 5-180° aucune.
i a <6 une solution,
à moins qu’on n’ait
b > 90° l aucune.
180° aucune.
( a — 90° infinité de solutions.
^ ( a< ou > 90° aucune.
120. La propriété du triangle polaire permet d’appliquer ces résultats au triangle dans lequel on connaît les éléments A, B, a, ce qui est le Ve cas. Seulement il faut avoir soinde changer partout a, b, A en A, B, a, le signe > en < et le signe <en >.
Lorsque les données tombent dans l’un des cas où l’on ne doit avoir qu’une seule solution , le calcul ne laisse pas que d’en indiquer deux. Mais, pour discerner celle qui doit être conservée, il suffira d’observer que les plus grands angles doivent être opposés aux plus grands côtés, et réciproquement.
Supposons que les données soient A=112°, «=102°, è=106’. Dans le tableau précédent, parmi les cas qui correspondent à
TRIGONOMÉTRIE
A > 90°, je considère ceux où l’on a b > 90% et parmi ceux-ci je remarque celui où l’on a a<S. J’observe en outre qu’on a a-j-ô = 208°; donc a-\-b> 180°. Alors je conclus, d'après le tableau, qu’il n’y a qu’une solution : et, puisque b est > a , l’angle B est > A, donc B est obtus.
Surface du triangle sphérique.
121. La surface d’un triangle sphérique est égale à l’excès de la somme de ses trois angles sur deux angles droits. Cet excès qu’on nomme aussi excès sphériqae , peut se trouver, au moyen des côtés, par des formules très-simples que je vais faire connaître. Je désignerai, comme au n° 99, cet excès par s. On aura
sin je = sin [\ (A + B + C) — 90°] = — cos J (A + B + C) :
c’est donc cos j)(A + B C) qu’il faut chercher.
On a d’abord cos J (A + B) = cos J A cos JB — sin JA sin J B; puis, en changeant B en B -j- G , on trouve facilement
cos ^ ( A -f- B + C) = cos | A cos -) B cos J- C — cos J A sin J B sin J C — cos J B sin -J A sinfC — cos 1 C sin !, A sin JB.
Maintenant je vais remplacer les sin et cos par leurs valeurs en fonction des côtés (96).
En considérant d’abord le 1er terme, qui contient trois cosinus, on aura
cos à A cos J B cos J C =
sin s sin(s — a) sin s sin(s — b) sin s sin (s — c) sin b sine sin a sine sin a sin b
sinsysins sin(s — a) sin(s — b) sin (s — c) sin a sinô sine
Le radical qui se trouve dans ce dernier membre va encore se produire : je le désignerai par R, et j’écrirai simplement
cos J A cos J B cos J C :
Rsins
sin a sin b sine' En considérant le 2* terme, on trouve cos J A sin J B sin J G =
sin s sin (s — a) sin (s — a ) sin (s — c) sin (s — a) sin (s — b) sinôsinc sinasine sinasinô
ou, en simplifiant,
cos J A sin JB sin JC
R sin (s — a) sin a sin b sin c ’
Par un simple changement de lettres , on trouvera des valeurs analogues pour les deux autres termes , savoir :
cos J B sin J A sin J C =
cos JC sin {A sin JB
R sin (s — b) sin a sin b sin c ’ R sin (s — c) sin a sin b sin c '
Au moyen de ces transformations , il viendra
cosJ(A + B-f-C)
R [sin s — sin (s — a) — sin (s — b) — sin (s — c)] sin a sin b sine
Dans cette valeur le multiplicateur de R peut se réduire à un terme unique, et voici comment.
Les deux premiers termes étant une différence du sinus, on se servira de la formule sin/i — sin q = 2 sin J [p — q) cos J [p + ÿ), et l'on aura sins — sin(s — a) = 2sin JacosJ(ô-f-c).
Pour les deux autres, on emploie la formule sin p + sin q = 2sinJ(p-|-ç)cosJ(/? — ?)> et il vient sin (s — ô) + sin(s — c) = 2 sin J o cos J {b — c).
Par suite, on voit que le multiplicateur de R sera égal à 2 sin Ja [(cos J (ô + c) — cos J [b — c)] , et d’ailleurs il est facile de voir que cette dernière expression elle-même se réduit à — 4sin J a sin J b sin Je.
Quant au dénominateur, on remarquera que sin a sin b sin c — 8 sin J a cos J a sin J b cos J b sin J c cos J c.
En conséquence, après toutes réductions, et en rétablissant le radical désigné par R , on aura cos J (A -f- B C) ; puis , en changeant le signe du résultat, on aura la formule cherchée,
. , s sin(s — a) sin (s — b) sin (s — e)
s 2cos Jacos [b cos Je
Si, au lieu de sin Je, on cherche cos Je, on obtiendra la formule suivante
, \ 4- cos a + cos b cos e
cos Je = — ! ! 1
4 cos Jacos J b cos Je
laquelle est peu commode pour les calculs logarithmiques. Les
TRIGONOMÉTRIE
transformations qui y conduisent sont assez compliquées, et je crois inutile de m’y arrêter.
Enfin, je placerai encore ici, sans développer les calculs, des formules très-élégantes dues à Simon Lhuiluer. Au moyen de cos Je, on cherche sin J, cos Js, tang Je, et l’on obtient les formules dont il s’agit :
in’E = \/:
osJs = y^
sin j s sin j (s — a) sin J (s — b) sin {(s — c)
cos J a cos j b cos J c
cos | s cos J (s — a) cos J- (s — b) cos j [s — c)
cos Ja cos Jô cos Je
tangje =y/tang J s tang J (s — a) tang J (s — 6) tang J (s — e) .
Application de la trigonométrie sphérique.
