Exemple I (fig. 34). Réduire un angle à l’horizon

Soit BAC un angle situé dans un plan incliné, et AD la verticale qui passe au sommet A. Menez à volonté le plan horizontal MN qui rencontre les lignes AB, AC, AD, en E, F, G : l’angle EGF est la projection horizontale de l’angle BAC , ou , en d’autres termes, c’est l’angle BAC réduit à l’ horizon. C’est cet angle EGF qu’il s’agit de calculer, en supposant connus les angles BAC, BAD, CAD, qu’on mesure avec l’instrument.

La solution graphique serait aisée : car la ligne AG étant arbitraire, on aurait les données suffisantes pour construire d’abord les triangles rectangles EAG et FAG, puis le triangle EAF, puis enfin le triangle EGF.

Le calcul de l’angle EGF est également facile. Si l’on décrit une sphère du centre A avec un rayon quelconque, les droites AB, AC, AD, déterminent un triangle sphérique BCD, dont les côtés sont connus en degrés au moyen des angles donnés, et dont l’angle BDC n’est autre que l’angle cherché EGF. C’est donc par le premier cas des triangles sphériques quelconques que la question sera résolue (115), c’est-à-dire qu’on prendra la formule

sinJA:

sin (s — b) sin (s — c)

sin b sine ’

et qu’on y fera a — BAC , b — BAD, c = CAD, s = J [a -J- b -j- c).

Soient a = 47*45'39", é=69°49'19", c = 80u17'36r. On aura 2s = 197°52'34", s = 98° 36' 17", s — b =29“ 6' 58’, s — c — 18° 38' 41", et on fera le calcul suivant :