CHAPITRE III

DE QUELQUES FORMULES QUI SERVENT DANS LES MATHÉMATIQUES ÉLEVÉES. DÉVELOPPEMENT DU SINUS ET DU COSINUS EN SÉRIES. RESOLUTION DE L’ÉQUATION BINOME ET DE L’ÉQUATION DU 3* DEGRÉ.

Formule de Moivbe. Sens multiple qu’on y doit remarquer.

124. Cette formule, à laquelle on attache le nom du géomètre français qui l’a découverte, est la suivante :

[Aj (cosœ -j- ^ — 1 sin<p)n = cosn<p4-v/ — i sinn<p.

Elle exprime que, pour élever le binôme cos<p-f-y/ — isin<p à une puissance quelconque, il suffit de multiplier l’arc <p par l’exposant de cette puissance. On peut y mettre indifféremment + ou — devant y : car cela revient à changer <p en — ©.

Le cas où l’exposant est entier positif est le seul dont j’aurai besoin dans la suite : c’est celui que je vais considérer d’abord. Par la multiplication on trouve

(cos <p -(- \J — 1 sin <p) (cos ^ + \/ — 1 sin <|<) = cos ta cos^ — sin© sin ^ -f- y/ — i (sin© cos -(- cos ©sin •]>).

Or, d'aptes les formules connues [28], la partie réelle de ce prodnit est égale à cos(© -f- ■}), et la partie imaginaire est égale à y— 1 sin (<? + <}'); donc

(cos © sin <j>) (cos ^ -f- y/ — 1 sin <j») =

cos (© -f- ty) -f- y/ — t sin (<p -j- <}'}•

C’est-à-dire qu’en multipliant entre elles deux expressions de la forme cos 'f -f- y’ — 1 sin ©, on obtient encore une expression semblable, dans laquelle les deux arcs sont ajoutés entre eux. Pour multiplier le produit par un nouveau facteur de même forme, il suffira donc d’ajouter encore le nouvel arc aux deux autres , et ainsi de suite, quel que soit le nombre des (facteurs. Donc', si l’on suppose qu’il y ait n facteurs, tous égaux à cos<? -}- \J — 1 sin©, il viendra

[I] (cos © -(- y/— 1 sin <j>)n = cosn-f -(- y/ — 1 sinn®.

Considérons le cas où l’exposant est fractionnaire. En remplaçant © par la formule [1] donne

Puis, en extrayant la racine n*”®, et mettant un exposant fractionnaire au lieu d’un radical , la formule [A] se trouvera démontrée

pour l’exposant ^ ; car on aura

[2] (cos© -f y/ — 1 sin©) =008^ + ^ — 4sin~.

THIOONOMUTIUE.

En général, l’expression An signifie qu’on doit faire la puissance m de A , et extraire ensuite la racine n*™ du résultat. En conséquence, si j’élève cos <p — f— y 1 — 1 sin «p à la puissance m par la formule [1], et si ensuite j’extrais la racine n1*"* par la formule [2], il viendra

[3] (cos f + sj — 1 sin <p) =cos — + s/— \ sin--. ,

C’est la formule [A] dans laquelle n est changé en une fraction positive quelconque — .

Enfin , quand l’exposant est négatif, on observe que

(cosn<p -\- \! — 4 sin n o) (cosmp — \] — 1 sin n?) = cos’n<p -j- sin*n<p = 1;

et de là on tire

F=r = c0SritP — ^ — 1 sinnç,

cosnç + y/ — Isinniy

ou , ce qui est la même chose ,

[4] (cos <p si — 1 sino)-B = cos( — ns) -)- \j — 1 sin( — na).

Ainsi la formule [A] est vraie , quand on prend pour n un nombre quelconque positif ou négatif.

J’ai laissé de côté les exposants irrationnels, attendu qu’ils n’offrent aucun sens, à moins qu’on ne les remplace par des nombres commensurables , qui d’ailleurs peuvent en différer aussi peu qu’on voudra. Et quant aux exposants imaginaires, ils ne sont en eux-mêmes susceptibles d’aucune interprétation.

123. La formule [A], qui est si simple et si élégante, a un défaut bien grave, quand l’exposant est une fraction. En effet, le premier membre, étant alors équivalent à un radical, doit avoir plusieurs valeurs, etcependantle second membre n’en présente qu’une seule. Les explications qui suivent ont pour objet de corriger cette imperfection.

Revenons à la formule [2], dans laquelle n est un nombre entier positif. D’après les principes de l’algèbre, le premier membre, qui

équivaut à y cos «p -j- y-- \ sino, doit alors avoir n valeurs diffé»

rentes; et, pour que le second les donne toutes, je vais montrer qu’il suffit d’y remplacer <p par tous les arcs qui ont même sinus et même cosinus que » lui-même.

L’expression générale de ces arcs est cp + kC , G désignant la circonférence entière, et k un nombre entier quelconque positif ou négatif. En mettant <p + kG au lieu de <p , le second membre de la

formule [2] devient

loi ^ gin

et, dans cet état, je dis qu’il a précisément les mêmes valeurs que le premier membre.

D’abord, puisque n est entier, il est clair, en vertu de la formule [1], qu’en élevant ce second membre à la puissance n, on retombe sur cos«p + — t sin<p.

En second lieu, si on y fait successivement /t=0, k=\, k= 2,... k=n — 1, on obtient n valeurs différentes. En effet, soient deux quelconques de ces valeurs ,

,î±^+*/=ïsin?±^ et cosï±^+v/^Tsini±^,

dans lesquelles ? et p sont des nombres entiers < n. Pour qu’elles fussent égales, il faudrait qu’il y eût séparément égalité entre les parties réelles , et égalité entre les parties imaginaires ; donc la dif-

férence des deux arcs y et 2 devrait être égale à une ou

(ol — 8)C

plusieurs circonférences : or cette différence - — — est moindre

que G, attendu que a et p sont < n.

En troisième lieu , si on prend pour k d’autres nombres que 0, 1, 2, ... n — 1, on ne trouvera point de nouvelles valeurs. En effet, tous les autres nombres entiers, positifs ou négatifs, peuvent se représenter par la formule «y + n', y étant un nombre entier quelconque positif ou négatif, et n' un nombre entier positif < n : Or, en faisant A = ny + n', l’expression [5] devient

coS(,c+î±î£) +/=T<a^+î±üî),

ou bien, en supprimant les circonférences inutiles, cos î-i )/— 1 sm ;

TRIGONOMÉTRIE

et comme n' est un nombre positif < », cette valeur est comprise parmi celles qu’on a obtenues en posant k= Ô, 1, 2, . . . n — 1.

Ainsi, le second membre de la formule [2] acquerra toute la généralité qu’il doit avoir, si l’on a soin d’y prendre, pour l’arc <p, non-seulement cet arc <p lui-môme, mais encore les arcs f + C, <p -f- 2C, ? + (n — 1) G.

La formule [3] doit aussi être interprétée d’une manière analogue. On l’a trouvée en élevant cos<p-f- ^ — t sino à la puissance m, et en extrayant la racine néme du résultat. Or la formule [1], relative au cas de l’exposant entier positif, donne d’abord (coso -f- \/ — 1 sin<p)m = cosm<p -(-y/ — 1 siimtp; et ensuite pour la racine n*™*, la formule [2| donne

(cos y + v/ — 1 sin ©) " = cos — + J — 1 Sin ^ .

Mais pour que le second membre ait la même extension que le premier, il faut, d'après ce qu’on vient d’expliquer, y mettre wns -J- AG au lieu de witp, ou, ce qui est la même chose, y remplacer wu p successivement par wap, wap -f- C , wnp 2C,

wj^-j- (n — 1)C.

C’est pour plus de concision et d’élégance qu’on laisse — dans

le 2* membre de la formule [3] : car l’exactitude exigerait qu’on y

mit m * — . Par là on voit qu’il faut bien se garder de réduire —

à sa plus simple expression. D’ailleurs cette réduction n’est pas plus permise dans le t" membre; car on ne doit point y considérer l’exposant comme une fraction , mais bien comme une notation dans laquelle le numérateur m désigne une puissance qu’on doit former d’abord , et le dénominateur n, une racine qu’on doit extraire ensuite.

Quelques explications sont encore nécessaires quand on veut employer la formule [3] pour extraire la racine nim‘ de l’expression cos <p + \J — t sin © , et élever ensuite cette racine à la puissance m.

lïi

Si la fraction — est irréductible , on peut se servir immédiaten

ment de la formule [3] : car, lorsque les nombres ni et n sont pre-

r n/— \m ni ™

miers entre eux , l’algèbre démontre que (, y / = V A* = A* •

Mais si la fraction — est réductible, et que sa plus simple expression soit - , on démontre que ( \/Â ) = \J Ap = A’ ; donc pour faire usage de la formule [3] , il faut préalablement y réduire la

fraction — à ses moindres termes , et l’écrire ainsi n

(cos tp -f- \J — 1 sin cf)’ = cos ^ -f- \J — 1 sin — .

ïïl

Si on laissait subsister — dans la formule, le premier membre

serait équivalent à un radical du degré n, lequel aurait n valeurs différentes, tandis qu’il ne doit y en avoir qu’un nombre égal à q. Il est d’ailleurs inutile d’avertir qu’on doit, ainsi qu’il a été dit plus haut, sous-entendre le terme + AC à la suite de p®.

126. Quand les nombres m et n sont premiers entre eux, j’ai dit

qu’on avait ( y A ) =\J A" : cela revient à dire que l’extraction de la racine et l’élévation à la puissance peuvent s’effectueur dans l’ordre qu’on voudra. Extrayons d’abord la racine n*"* de cos <p + s/— -T sin <p par la formule [2] ; puis faisons la puissance m par la formule [1] : il vient

I » . \m • mis m®

iycos'f-fv — isinpj — cos — — - j- y — lsin— ;

et alors il faut concevoir que <p est remplacé dans le second membre par p + AC. Si, au contraire, on commence par faire la puissance m au moyen de la formule [1], et qu’ensuite on applique la formule (2J pour extraire la racine n*"®, il viendra

\/ (cosca -f- ^ — 1 sin o)m = cos — -f- v/-l sin — ;

et alors c’est mtp qu’il faut remplacer par m® -j- AC. De là il résulte comme conséquence nécessaire que les deux expressions

»i(<p+AC) , — - . m(tp-j-AC)

m® 4- AC , / . m® 4- AC

OOS— — \- v — 1 sin— J— ! ,

TKIUONOMETIUE.

dans lesquelles k est un nombre entier quelconque , doivent être parfaitement équivalentes, toutes les fois que m et n seront des nombres premiers entre eux. C'est au reste ce qu'on reconnaîtrait

directement en posant successivement k= t, 2, 3, (n — 1,

et en montrant que si on divise m, 2 m, 3 m, (n — l)wi par n,

tous les restes sont différents entre eux.

127. Ce qui précède montre quelles précautions on doit prendre en employant la formule de Moivrk. Ordinairement , quand l’exposant y est un nombre fractionnaire—, on suppose, pour plus

de simplicité , m et n premiers entre eux ; mais dans ce cas même il ne faut jamais négliger d'y regarder ® ou wz® comme devant être augmentés des différents multiples de la circonférence. Cette attention est surtout nécessaire dans la théorie connue sous le nom de sections angulaires. «Pour y avoir manqué, dit M. Poiksot, quelques auteurs n’ont pas prévenu certaines difficultés qu’on a trouvées dans cette branche d’analyse, et ceux qui les ont rencontrées ne les ont pas toujours résolues. »

Formules pour exprimer sinn? et cos no, (sin?)n et (cos?)".