Reprenons (12-1) la formule de Moivhe

(1] cos n® -f- y/ — 1 sinn<?=(cos<p-f y/ — 1 sin?)*,

dans laquelle je supposerai n entier et positif. Changeons -y 9 en — ? , il vient

(2] cosno — y/ — 1 sinno = (cos? — sj — 1 sin?)".

En ajoutant cette égalité à la précédente, et ensuite en la retranchant, on trouve ces valeurs.

(cos 9 + ^=1 sin ?)n -f (cos <p — v— ï sin ?)n

(3] cos n® = 1 — x y

[1] sinn?:

(cos? -f-y^ — 1 sin?)” — (cos? — v — 1 sin <?)n

2yCT

129. On peut effectuer les puissances par la formule du binôme;

l’ItËMIÈKE PARTIE.

et alors, on supprimant les termes qui se détruisent, on obtient 5] cosntp = (cos©)" — a (cos<f>)n"*(sin!p)i

[6] sinnœ==-(cos©)""1sin©

(cos «p)"4(sin «p)* — etc, (cos (sin©)*

(cosy)*‘ {sin<p)s — etc.

Ces formules expriment le sinus et le cosinus du multiple n?, en fonction de ceux de l’arc simple. La loi des termes y est évidente; et, comme la formule du binôme de laquelle elles dérivent, elles doivent se prolonger jusqu’à ce qu’on trouve un terme nul.

On peut encore parvenir à ces formules au moyen de la seule équation [I]. En effet, le développement du second membre contiendra une partie réelle et une partie affectée de l’imaginaire — 1 ; et, pour que l’équation subsiste, il faut que dans les deux membres, les parties réelles soient égales entre elles, et les parties imaginaires égales entre elles, ce qui ramène aux deux formules.

130. Dans les applications élevées des mathématiques, on a souvent besoin d’exprimer (siny)" et (cos<p)n en fonction du sinus et du cosinus des arcs multiples. Voici comment on y parvient lorsque n est entier positif, ce qui est le cas ordinaire. Posons

costp -f- \j — 1 sin<? = « , cos<? — \/ — isin<p = t>.

On aura 2cos(f = « + ui 2 \j — 1 sin? = m — »; donc

2n(cos<p)" = [u + «)“, ( 2/ — l)"(sin<p)" = (u — v)n, ou bien, en développant les puissances (a-|-t>)" et [u — u)",

[7] 2" (cos ©)" = u" + ^ tt-‘ v + n[U ~i- a-* + etc.

[8] (2 \[— - 1 )"(sin <$>)" = a" — ^ «n~1«+ n'n. a*”1 o* — etc.

Pour le moment, ne considérons que la formule [7], et supposons d’abord que n soit un nombre impair 2m-f-l. Par ce qui a été dit en algèbre, on sait que les termes également éloignés des exfre-

TRIGONOMÉTRIE

mes ont des coefficients égaux , et que le nombre des termes de la formule est 2 m -f- 2. A l’aide de ces remarques, il est facile d’apercevoir qu’en prenant la deuxième moitié des termes dans un ordre inverse, et, en l’écrivant au-dessous de la première, on aura

, , . n nln — i\n — 2)...(m+2) ,

2 (COSçY* = M -f- - U1 U...-) —r : — — - tt“-V

. n . . nin — 1)(» — 2)...fm + 2)

+ ü" + 7 MO ... + — 7-7-r -

1 \ • 2» • O •<■•••••• »Yïl

ou bien, ce qui est la même chose, 2n(cos<p)B=(tt,,+t;’,)-|- j uü(u"-*-(-t;n"!)4

Mais la formule de Moivre donne en général

m* + u‘ = (cos ç -j- y/^T sin <p)*-f (cos <f — y/ — 1 sin tf )‘

= cosA-tp -f- y/ — 1 siiU? -j-cosÀ*» — y/ — 1 sin fop = 2 cos ky ;

et, d’un autre côté, les puissances du produit uv sont égales à 1, car on a

uv = (cos c? + y — 1 sin <f ) (cos <p — y/ — 1 sin ») = cos’? + sinVp^: I .

En conséquence de ces remarques, l’expression de 2"(cos<p)B se simplifiera; et, en divisant tous les termes par 2, il viendra

fl T) ' Tl 1 ]

[9] 2B~,(cos <?)"== cosncp -f- - cos(n — 2)<p + ■ ' ■ cos(n — 4)<p

\ J • jL

Supposons en second lieu que n soit un nombre pair 2m. La formule [7] aura 2m -f- 1 termes; et si l’on décompose le terme du milieu en deux autres, chacun égal à la moitié de ce terme, on trouvera, par des réductions semblables aux précédentes,

fl Ti[ïl — 1 )

[10] 2B 1(cos«p)B = cosn<p + - cos(n — 2)<p -| — ; } cos(« — 4)<?

PUEMIEBK PARTIE.

Maintenant considérons la formule [8]. Les termes sont affectés alternativement des signes -f- et — , de sorte que si n est un nombre impair 2m-f- 1 , les termes également éloignés des extrêmes auront des coefficients égaux, mais des signes contraires. Par suite, en raisonnant comme pour la formule [7], il est facile de voir qu'on aura

(Sy' — l)!m+,(sintf),”H'1 *=(«" — v ") — ^ uv[un i — un~,} +

— «¥«*■* — un‘ ± — — ! — u"vm(u — n).

Pour opérer les réductions, on observera encore que uv = 1 , et qu’en général w‘ — 1>‘ = 2 \j — 1 sinfop. En conséquence les deux membres seront divisibles par 2 y — 1 , et il restera

[Il l(2 y/ — l)!’"(sincp)îra'1=sinn<p — ^sin(n — 2)<p-f —7-^ — sin(n — 4)<p

SIM (p.

Lorsque n est un nombre pair 2m, les termes également éloignés des extrémités, dans la formule [8], ont des coefficients égaux et de même signe; et en raisonnant ici comme dans le cas analogue de la formule [7], on trouve facilement

[12] [(2 y/ — 1 ),m(sin 's)!m=cos n<p — j cos (n — 2)^+ 7-~ — cos(n — 4)<p

n(n— lXw— 2)...(m-H)

Les formules [9], [10] , [11], [12], sont celles que je voulais établir : elles servent à convertir les puissances d’un cosinus ou d’un sinus en une suite de termes dont chacun contient , au premier degré seulement, le sinus ou le cosinus d’un arc multiple.

On ne peut pas manquer d’observer que dans les deux dernières formules l’imaginaire \J — 1 étant élevé à une puissance paire, devra donner un facteur réel égal à -j- 1 ou — 1 , selon que m sera pair ou impair. On doit remarquer aussi , pour la commodité du calcul, qu’en suivant la loi indiquée par les premiers termes, on doit s’arrêter dès qu’en en trouve un qui renferme un arc négatif, en ayant soin de ne prendre que la moitié du dernier quand il renferme l'arc zéro.

TRIGONOMÉTRIE

Développement du sinus et du cosinus des séries.

131. Voici comment Euler déduit, des formules [5] et [fi] du n* 128, les séries qui expriment le sinus et le cosinus en fonction de l’arç. On peut , sans que n cesse d’être entier, disposer de © de manière que n<f soit égal à un arc quelconque x. Posons

donc n© = x, on aura n = -, et par suite les formules pourront s’écrire ainsi :

x(x — <p) ,n-,/sin©\*

4x- ?)(j-2<p)(s — 3?) (coS(?)n t |sin©\ » x , .n l/sintf\ x(x — <p)(x — 2©)

[1] COSX = (cos©)" —

[2] sinx= - (cos (p)"-1 j

? / (cos©)

etc.

. . „/sin©\!

(costp)"-5 J

-etc.

Concevons que <p diminue jusqu’à zéro, le nombre n devra augmenter jusqu’à l’infini : alors les formules ci-dessus ne conserveront aucune trace de © et de n, et elles ne contiendront plus que le seul arc x. C’est en effet ce qui doit arriver à des formules dont l’objet est d’exprimer le sinus et le cosinus d'un arc en fonction de cet arc. Quand <p devient zéro, on a cos© = l, et aussi

1 (31). Admettons que les puissances de cos© et de — —

soient aussi alors toutes égales à l’unité, quelque grands que soient les exposants : les formules ci-dessus deviennent

cosx=l- — +

sinx = x- — +

XV Xe

+ etc.

-f etc.

Comme le nombre n est devenu infini, il s’ensuit que ces séries ne doivent point s’arrêter. Mais elles n’en sont pas moins propres à donner des valeurs très-approchées du sinus et du cosinus , surtout quand l’arc x est nne petite fraction ; et ce cas est le seul dans lequel les géomètres en fassent usage '.

’ Ces deux séries sont de la nature de celles qu’on nomme, convergentes. Pour

9/j PREMIÈRE PARTIE.

432. Au premier coup d’œil, il semble évident, ainsi que je l’ai

admis, que toutes les puissances de costp et doivent donner

l’unité, quand on fait décroître o jusqu’à zéro. Mais en y regardant de plus près , on aperçoit une difliculté qu’il faut résoudre. Pour être mieux compris , je reprends les choses de plus loin.

Soit l'expression u* dans laquelle « et r sont des variables tout à fait indépendantes l’une de l’autre. Si l’on prend pour v un nombre positif constant, et qu’on fasse augmenter u de 0 à 1, la quantité «r augmentera elle-même depuis 0 jusqu’à 1. Si c’est u qui demeure constant, mais <4, et qu’on donne à u de trèsgrandes valeurs , la quantité uT sera très-petite , et sa limite , correspondante à v = -}-oo, sera zéro. Or, maintenant concevons que u croisse de 0 à 1 en même temps que v augmente jusqu’à -j- c*>. Tant qu’il n’existe aucune relation entre w et v, on peut toujours imaginer entre ces variables une liaison telle que la limite de uv, correspondante aux valeurs u = 4 et v = 4- , soit ou 0,

ou 1, ou toute autre grandeur comprise entre 0 et 4 : c’est-à-dire qu’il y a alors une véritable indétermination.

Mais il en est autrement lorsque les variables « et u ne sont point indépendantes. Imaginons , par exemple , qu’elles soient des fonctions d’une même variable t, et que ce soit la variation de t qui fasse croître u jusqu’à et v jusqu’à -|- co. Il faut alors examiner comment se balance l’augmentation que tend à produire, dans l’expression u", l’accroissement de u, avec la diminution que tend à produire l’accroissement de u; ou au moins fautil reconnaître , d’après la composition de u et v en fonction de t , vers quelle limite tend l’expression u*. C’est précisément une difficulté de ce genre qui se présente dans le passage des formules [4] et [2] aux séries [3] et [4].

Ici les deux variables sont <p et n; elles sont liées entre elles par

passer d'un terme au suivant, on mnltlplic constamment ce terme par x*, tandis qu’on le divise par deux nombres entiers qui vont toujours en augmentant (je fais en ce moment abstraction du signe) : on est donc assuré qu’il y aura dans chaque suite un terme à partir duquel tous les autres seront indéfiniment décroissants. D'un autre côté, les termes étant alternativement positifs et négatifs, il est facile de voir qu’en arrêtant les séries à l’un quelconque des termes décroissants, l’erreur que l’on commettra sera moindre que le terme suivant ; par conséquent cette erreur peut être rendue aussi petite qu’on voudra. De plus amples détails sur ce sujet appartiennent à l’algèbre.

TRIGONOMÉTRIE

la relation >if = x, laquelle exige que le produit n<p reste constamment égal à un arc donné x, qui peut être quelconque. Or, les formules [t] et [2] contiennent les expressions (cos<p)", (cos dans lesquelles on doit faire en même temps © = 0etn = -)-cio; donc il n'est pas évident que les limites de ces expressions soient l’unité. D’un autre côté, les mêmes séries contiennent aussi les puissances croissantes du rapport de sin <p à <p, et, lorsque n est infini, les séries ont une infinité de termes; par conséquent les exposants de ce rapport, dans les termes des deux séries, peuvent augmenter jusqu’à l’infini , et la même difficulté se reproduit encore. Les explications suivantes me paraissent à l’abri de toute objection.

Revenons aux formules [1] et [2], et , pour abréger, posons

le terme général de chacune de ces formules pourra s’écrire ainsi

-H- ? __ ïWï /x [m — 4)y\

m étant un nombre pair pour la formule [I], et un nombre impair pour la formule [2]. Faisons ? = 0, et nommons M ce que devient alors F : ce terme générai deviendra

Ma;"

Ainsi c’est M qu’il faut déterminer. Or, en supposant moindre que le quadrant, ce qui est permis puisqu’on doit faire <p = 0, on aura ? < tang <p, et par conséquent

ou , en réduisant ,

F > (cos <p)\

Mais cos-f = y't — sin’tp; donc cos<p > y/l — <pl, et par1 suite

F>v/(1 — «pT-

En développant la puissance 2n, et en se rappelant que m ( = x, il vient

ÏT2T3

tp6 -f- etc.

='-t»+t(t-‘2)î -Tb -y +clc'

Pour arriver à l’hypothèse © = 0, on peut commencer par supposer <p extrêmement petit. Alors il est clair que les termes de cette suite iront en décroissant; et comme ils sont alternativement positifs et négatifs, si on se borne aux deux premiers, on aura un résultat trop faible; donc (1 — <p’),n> 1 — 2<px, et à fortiori

Si on fait <p = 0, ce radical se réduit à 1 , et F devient la limite M ; donc M ne peut pas être < 1 . D’ailleurs, la fonction F étant le produit de deux facteurs qui ne peuvent pas être > 1, la limite M ne peut pas non plus devenir > 1 ; donc M = 1 . Donc enfin le terme général [5], des séries qui expriment cosx et sinx, sera

En faisant m = 0, 2, 4 , ou bien m = l,3, 5 et ayant

soin d’alterner les signes, on obtient tous les termes des séries |3| et [4], lesquelles se trouvent ainsi rigoureusement démontrées.

Résolution des équations binômes par les tables. Théorème de Côtes.

133. Soit une équation binôme y* = ± A : si on nomme a l’une quelconque des racines niimt* de A, et qu’on fasse y = nx , l’équation binôme devient xn = ± 1 .

Considérons d’abord le premier cas

En posant x* = cos© + y' — 1 sin <p , la formule de Moivre donne x" = cos no — Isinncp; par conséquent toutes les valeurs de tp déterminées par l’égalité

cosnip -(- \j — 1 sin «tp = -f- 1 ,

donneront des valeurs de x qui seront racines de l’équation [1], Dans l’usage qu’on fait ici de la formule de Moivre , il suffit qu’elle ait été démontrée pour les exposants entiers positifs.

Pour satisfaire à cette dernière égalité, il faut que la partie imaginaire y — 1 sinn© s’évanouisse; d’oii l’on conclut que n<p doit être un multiple de la demi-circonférence. Ensuite il faut qu’on ait cos n© = 1 , et cela exige que no soit un multiple pair de In

TRIGONOMÉTRIE

demi-circonférence ; donc en désignant par H la demi-circonférence, et par 2 k un nombre pair quelconque, on devra avoir

ai u » • 2/cH

n<p = 2AH , d ou ? = ,

et par suite

2AH - X = COS 1“ y-

1 sin .

En mettant partout — devant y/ — 1 le raisonnement eût été le même : ainsi on aura des racines de l’équation x* = 1 en prenant toutes les valeurs de x comprises dans l’expression

x — cos

sin

L’équation [1] a n racines, et l’on sait que toutes ces racines sont inégales. Or, dans la formule ci-dessus, on peut donner à k toutes les valeurs entières possibles, positives et négatives; et je vais montrer que de cette manière on obtient n valeurs différentes pour x, et qu’on n’en obtient pas davantage : ces n valeurs seront donc les n racines de l’équation [1],

D’abord il est mutile de donner à k des valeurs négatives : car, en mettant — k au lieu de k, les deux valeurs de la formule [a] ne font que se changer l’une dans l’autre.

En second lieu, il est inutile aussi de prendre i = «ou>n, car on peut ôter de k le plus grand multiple de n qui y soit con-

2/tH

tenu : cela revient à retrancher de l’arc une ou plusieurs circonférences , ce qui ne change ni le cosinus ni le sinus.

Enfin, si on considère, entre 0 et n, des nombres k' et — k' également éloignés de ces deux extrêmes , les valeurs correspondantes de x seront les mêmes. En effet, soit k = n — k', il vient

X — co s — —

= cos

: \J—i sin

y — 1 sin ;

et ces valeurs sont les mêmes que celles qui répondent h k-=k. Il est donc inutile de donner à k des valeurs > J n ; et par consé-

PREM1&RB PARTIE.

quent, soit qu’on suppose n égal à un nombre pair 2p ou à un nombre impair 2/> 4* 4, on pourra se borner à prendre pour A les valeurs A = 0, 1 , 2, p.

Il reste à prouver que de cette manière la formule [a] donne toutes les racines que comporte l’équation [I]; et c’est ce que je vais faire.

Si l’équation est de la forme x1* — 1, la formule [a] devient

x = cos — ± v — 1 sin — .

Pour les nombres extrêmes A = 0 et k — p, on trouve x = -f-4,

et x = — I. Pour les nombres intermédiaires I, 2, 3, p — 1,

l’arc est compris entre 0 et 180°, donc le sinus qui multiplie sl=ï ne devient pas nul ; donc les valeurs de x sont imaginaires. De plus , parmi ces dernières , il n’y en a aucune qui se répète : car, dans les deux racines conjuguées qui font partie d’un même couple, c’est-à-dire qui résultent d’une même valeur de A, l’imaginaire \J — l a des signes contraires ; et , dans les couples provenant de valeurs différentes de h, les parties réelles sont différentes, attendu qu’elles sont les cosinus d’arcs qui vont en croissant de 0 à 480°. En réunissant à ces valeurs imaginaires, dont le nombre est 2 p — 2, les deux valeurs réelles + 4 et — 4, on a en tout 2 p racines pour l’équation xtp — 4, ainsi que cela doit être.

Si l’équation [1] a la forme xtp+l — 4, la formule [a] devient

Dans ce cas , il n’y aura qu’une seule racine réelle x = -f- 4 , laquelle répond à A = 0; toutes les autres sont imaginaires, et d’ailleurs il est clair que le nombre total des racines est égal à l’exposant -f- 1 .

Maintenant considérons l’équation

[2] xn — — 4 .

Si on pose

x = cos<?± \!—i sin<p,

on aura x* = cos ntp ± \J — t sinn-p. Ainsi on obtiendra pour x des racines de l’équation en déterminant f par la condition

cosnçrfc — 4 sûn 4 :

TRIGONOMÉTRIE

donc on doit avoir séparément sin n<p = 0 et cos n<? = — 4 . De là on conclut que l'arc doit être un multiple impair de H. C'est pourquoi je fais

«<P=(2i + l)H, d’où T = — t-— >

et on aura

X = cos

On ne prendra point de multiples négatifs de H, car il en résulterait les mêmes valeurs de x que si ces multiples étaient positifs. On ne prendra pas non plus k > n , ni même k — n: car en ôtant de k le multiple de n qu’il renferme, on diminue l’arc

d une ou plusieurs circonférences entières , ce qui ne

change pas les valeurs [p]. Le nombre k = n — 4 donne (2« — 4)H ± y/— sin (gi — ijg

x = cos •

= cos zt. y — 1 sin

— = cos — zç. y — 4 sin — .

Ces valeurs sont les mêmes qu’on obtient par 1’liypothèse A-=0; et, en général, les valeurs de k également éloignées de 0 et de n — 4 donnent les mêmes valeurs de x. En effet, si on pose k—n — 4 — k', il vient

x = cos 5 — ± v — 4 sm —

= cos — — =p sf— 4 sin - — — ,

résultat qui est le même que si on eût fait k = U. De là il suit qu’on obtient toutes les valeurs de x en donnant à k des valeurs qui ne surpassent pas J-(n — 4). Donc si n est un nombre pair ip, il faudra faire k = 0, 4,2 , ...p — 4 ; et si n est un nombre impair 2/> -f- 4 , on fera k = 0, 4 , 2, p.

Dans le cas où n = 2 p, l’équation à résoudre est .r"' = — 4 , et les nombres k = 0, 4, 2, ... p — 4 donnent dans la formule [pj les arcs croissants

PREMIÈRE PAHT1E.

lesquels sont tous renfermés entre 0 et H ; par conséquent le sinus d’aucun d’eux n’est égal à zéro, et leurs cosinus sont tous inégaux. Chaque arc donnera donc deux valeurs imaginaires de x, qui différeront l’une de l’autre par le signe de \J — \, et qui ne pourront point se répéter. Ainsi x aura 2p valeurs différentes.

Dans le cas où n = 2/j -j- 1 , l’équation est x1**' = — 1, et les nombres k — 0,\,‘2.,...p, amèneront dans la formule (fl] les arcs H 3H (8/> + l)H 2/> + î’ 2/> + l’ + i '

Le dernier étant égal à H donne x = — 1 . Pour chacun des autres arcs , x a deux valeurs imaginaires ; et il est facile de voir que , parmi toutes ces valeurs il n’y en aucune qui se répète. Donc x aura %p 1 valeurs.

134. Quand on connaît les racines des équations x* = -f-t et x" = — 1 , il est facile de former les diviseurs réels du 2* degré des binômes x* — 1 et x* + 1 .

D'abord la formule [a] donne pour facteurs du 1" degré du binôme xn — 1, les deux expressions

2ÀH - . 2AH

x — cos v — 1 sin ,

x — cos k ù — 1 sm ;

et, en les multipliant entre elles, il vient

x* — 2x co s (~ 1 .

Cette formule renferme tous les diviseurs réels du 2e degré du binôme x" — 1 : pour les en déduire, il suffit d’y mettre au lieu de k les nombres positifs à partir de 0 jusqu’à \n.

On trouve semblablement, pour les diviseurs du 2e degré du binôme xn-f- 1, la formule

x* — 2xcos

dans laquelle il faudra remplacer k par les nombres entiers positifs, à partir de k = 0 jusqu’au nombre J (n — 1).

Comme les formules [a] et [fi] comprennent les racines réelles des éq. x" = 1 etxn = — il s’ensuit que les deux dernières formules [a'] et [fT] doivent aussi comprendre les facteurs réels du

TRIGONOMÉTRIE

1er degré des binômes x' — 1 et x"+ 1 • Mais il faut remarquer qu'ils s’y présentent élevés au carré. Par exemple, si on suppose k—0 dans la formule [a], elle devient x* — 2x -f i ou (x — 1)*; mais on ne prendra que x — t.

135. Théorème de cotes. Pour établir ce théorème, je remarquerai que si on donne à k dans la formule [a'], toutes les valeurs k — 0, 1, 2,... jusqu’à n — 1, et qu’on multiplie entre eux tous les trinômes qui résultent de ces valeurs , il est clair qu’on aura un produit dans lequel tous les facteurs de x" — 1 seront élevés au carré; et par conséquent ce produit sera égal à (xn — d)1. Pareillement, si on donne à k, dans la formule [(!'] , toutes les valeurs À: =0, 1, 2,... jusqu’à n — d, le produit de tous trinômes résultants sera égal à (x*-f- d)*.

Cela posé, divisez une circonférence quelconque en 2n parties égales , et désignez les points de division par les n°* 0, 1, 2, 3, etc.; menez à la division 0, prise pour origine, un rayon que vous prolongerez au delà de cette division, si cela est nécessaire; sur ce rayon , du côté de la division 0, marquez un point à une distance quelconque x du centre; puis de ce point tirez des droites à toutes les divisions de la circonférence.

Alors prenez le rayon du cercle pour unité, nommez u une quelconque de ces droites, et considérez le triangle qu’elle forme avec celles qui joignent ses deux extrémités au centre. Si elle aboutit à une division de rang pair désignée par 2i , l’arc compris