L’équation du 3e degré se ramène à la forme

x*-\- 3 px -J- = 0,

et l’on démontre en algèbre que les trois valeurs de x sont renfermées dans la formule

x—\f—q + vV+f’ + \f—q— vV

Mais comme les valeurs multiples des radicaux cubiques feraient prendre neuf valeurs à cette expression, il faut en outre se rappeler qu’en désignant le premier radical cubique par a, et le second par b, on ne devra associer que les valeurs de a et de b pour lesquelles on a ab— — p. Par conséquent, on écartera toutes les valeurs étrangères en posant

a = \j — q-\- P5» et x— a — “•

137. Lorsque qi-j-pl est une quantité négative, les valeurs générales de x sont compliquées d’imaginaires, et comme d’un autre côté on démontre en algèbre que, dans l’hypothèse q* -J- p* < 0, les trois racines de l’équation sont réelles, il semble que le calcul doive fournir le moyen d’opérer la réduction des imaginaires. Cependant il n’en est pas ainsi, à moins qu’on n’emploie des séries infinies ; et cette difficulté, qui a beaucoup exercé les analystes, a fait donner le nom d 'irréductible au cas dont il s’agit.

La difficulté vient de ce que les deux racines cubiques qui entrent dans l’expression générale de x ne peuvent pas, si ce n’est dans des cas particuliers, s’extraire de manière que la partie réelle soit isolée de la partie imaginaire. Or, par la formule de Moivre, cette séparation s’obtient sur-le-champ dans les expressions de la

forme v/cosip-|- v/—ïsintp : c’est pourquoi je vais ramener les deux radicaux cubiques à cette forme.

TRIGONOMÉTRIE. 108

Puisqu’on a q'+p'<0, p doit être négatif. Je mettrai donc — p au lieu de p, et l’équation s’écrira ainsi

[f] x%— 3px + 25’ = 0.

Alors on aura ql— p3<0 ou q'<p\ les valeurs de a seront données par la formule

a-\j—q-\- s/q'—p*, et celles de x par la formule

dans laquelle il faudra mettre les différentes valeurs de a. Cela posé, l’expression générale de a donne

et puisqu on suppose ql <p*, on peut déterminer un arc «p au moyen de l’équation

H existe une infinité d’arcs qui répondent à un cosinus donné ; mais nous conviendrons ici de prendre celui qui est < 180°.

Par la formule de Moivre, on a évidemment

[2] (cosj-cp y/ — 1 sin^tp)* = costp \j — \ sin<p.

Donc aussi, réciproquement, on doit avoir

v/cos<p — 4 siù<p = cos£<p 1 sini<p;

et par suite il viendra

^ = V^cosy + sin f = cos*<p + sinj <p.

Vp

cos I f -j- f sinf <p

= cosf <p — s/ — 4 sinf f,

— + — = 2cos|«p.

VP a 8T

Remarquons que le second membre de la formule [2] ne change pas lorsque dans cette formule on ajoute à ? autant de circonfé-

FKËMIÉRE PARTI K.

rences qu’on veut. De là suit qu’en désignant 180e par H, et par k un nombre entier quelconque, on pourra prendre pour x toutes les valeurs comprises dans la formule

x = 2ÿpcosi (<p + 2àH).

Cependant il ne faut pas croire qu’il en résulte pour x plus de trois valeurs; car, après avoir fait k = 0, 1, 2, toutes les autres substitutions ramèneront aux mêmes résultats , et l’on n’aura pas d’autres valeurs que celles-ci :

x = 2 y'pcos^, x = Z\Jp cos !(<p + 2H), x =s 2 \Jp cos£(© + 4H).

138. C’est principalement pour vaincre la difficulté propre au cas irréductible qu’on a recours aux lignes trigonométriques; mais on peut aussi les employer dans les autres cas. Continuons de prendre p négatif, et en conséquence considérons encore l’équation

[3] x * — 3/Kr-J-2j = 0,

mais supposons q*> p*. Les transformations du numéro précédent sont alors impossibles, car cos <p , abstraction faite de son signe, serait > 1 . Voici comment ce cas doit être traité.

Un a toujours

Mais actuellement on mettra — sous la forme

\Jp

on déterminera l’arc <p par l’équation

et alors on aura

. „ VP

sin2»=?:— • j

JL — \ / -JL- 4-1 / ? \ - / A—1 co» *p,

\p V sinas y siu* V sin2<f

TRIGONOMÉTRIE. 105

En extrayant la racine carrée on peut prendre indifféremment — cos 2<p ou + cos 2<p : on en verra la raison tout à l’heure.

Remplaçons 1 — cos 2? par 2sin*tp et sin 2? par 2 sin <f cos «y, puis réduisons; il vient

SP

Posons encore

tang«i = V tango ,

et calculons par cette formule. Si on désigne par 6 et O1 les deux racines cubiques imaginaires de l’unité, lesquelles sont, comme on sait, le carré l’une de l’autre, les trois valeurs

de — seront \P

— =tang«l/, — =ôtang«J>, — = ôftang<V*