SP SP SP
Substituons ces valeurs dans x : en observant que tang 4 cot = 1
et que 6® = i , il vient
x= p (tang4 -f- cot 4),
x = fp (0 tang 4 + 6* cot 4) ,
x— y//?(0!tang4 + 8cot4).
Si on eût mis dans le calcul +cos2? au lieu de — cos2<y, tang 4* serait devenue cot 4 et vice versa, mais il n’en serait résulté aucune nouvelle valeur pour x.
A présent remplaçons 0 et 0* par leurs valeurs , et isolons dans chaque valeur de x la partie réelle de la partie imaginaire. Par l’algèbre, on a 0 = 4 ( — 1 + s/ — 3), 01 = y ( — I — \J — 3) ; si en outre on observe que cot 4 + tang 4 = 2 coséc 24 , et que cot 4* — tang 4 — 2 cot 24 , il viendra, toute réduction faite,
x= 2 fp coséc 24, x — — \fp (coséc 24- + 3 cot 24) j
x= — fp (coséc 24- — \! — 3 cot 24')-
139. Nous devons aussi considérer le cas où le coefficient p serait positif. Reprenons l’équation du 3* degré telle qu’elle était d’abord,
|4] x* -f- 3 px -f- 2<7 = 0.
y 2sm<?cos<p *
lOtt PREMIERE PARTIE.
Alors , à cause de ab = — p, on aura
et d’ailleurs on a
La tangente et la cotangente peuvent passer par tous les états de grandeur ; et comme le terme — \ peut avoir une grandeur quel-
conque, je le remplacerai par une de ces lignes. Soit posé cot2<p = —
il viendra
— = \ / cot2<? -j- ^cot*2«p + 1 = 4 / 'Ü5°s®^
YP V sir
sin2<p
= 7 2co£i=^r V 2sm<pcosf T
Soit encore posé
cot 4* = \J cotf :
les angles <p et <J» seront faciles à connaître par les tables, et l’on aura ces trois valeurs
~=coU/, ^ = Scot+,
par conséquent, les valeurs de a: seront, après toutes réductions faites
x= 2y/pcot24»,
x = — \/]»(cot2«p — ^—3 coséc 24»), x = — ^ — 3 coséc 2+)-
Antre moyen de résondré le 3* degré par la trigonométrie.
440. Quand on connaît une ligne trigonométrique correspondant à un arc quelconque , si l’on veut trouver une ligne trigonométrique correspondant à un arc qui soit la moitié, le tiers, etc,, du premier arc, on arrive à des équations dont la comparaison avec
TRIGONOMÉTRIE
certaines équations données peut servir à découvrir directement les racines de ces dernières. C’est ce qu’on va voir pour l’équation du 3e degré.
Reprenons l’équation sans second terme
[1] x* + 3px + 2? = 0.
Soit <p un arc quelconque, si on regarde cos<p comme donné et qu’on fasse cos | tp = s , on a trouvé (n° 33), pour déterminer z, l’équation
[2] • z* — |z — |cos«p = 0;
et si on suppose que 9 soit l’arc positif moindre que H correspondant au cosinus donné, il est démontré que les trois racines de l’éq. [2] sont
[3] z = cosi<p, z = cosi(21I + <p), z = cosf(2H — <?)•
Pour rendre l’éq. [2] identique avec [1], il faut poser deux conditions : il faudrait donc qu’il y eût deux indéterminées dans l’éq. [2], et il n’y en a qu’une seule, <p. On en introduira une se-
conde p en faisant x = pz, d’où z = - . Par cette transformation , l’éq. [2] devient
[4] x' — |p’x — ^p*cos<p = 0j
et en multipliant par p les valeurs [3], on aurait les racines de cette dernière équation.
On la rendra identique avec l’éq. {1|, en posant — ’ p* = 3 p, — -[ ps cos <p = 29, d’où
s p = 2 \j — p , cos <p = — -
psf^p-
Pour que l’arc «p soit réel, il faut d’abord que cos<p le soit, ce qui exige que p soit négatif dans l’éq. [1]. En conséquence, j'y change p en — p , par-là elle devient
[SJ x* — 3jpx-j-2j’ = 0;
et les valeurs de p et coss> sont
P = 2 sfp, eos<?=^
VP*
Mais, pour que <p soit réel, il faut de plus que cos<p, abstraction faite du signe, soit < I : c’est-à-dire qu’on doit avoir 9* <p * ou 9* — pi < 0. Alors on pourra calculer <p par les tables, et en
multipliant les valeurs [3] par p, ou 2 >Jp , on aura les racines de l’équation [5], savoir :
ar = 2 v'Fcosif, x = 2 s/p cos J (2H -f <p) , x = 2 \fjp cos J (2H — <p) ,
lesquelles sont elles-mêmes faciles à calculer par les tables. On ramènera sans peine celles du n° 137 à celles-ci.
On a supposé tacitement que la valeur p = 2 \Jp était positive. On peut aussi prendre la valeur négative p = — 2 \[p. Alors au
lieu de cos <f = — ^ , on aurait cos «p = -— ; donc il faudrait, dans
sip' \fp*
les valeurs précédentes, changer \fp en — y /T, et <p en H — <p. Mais comme une équation du 3e degré n’a que trois racines, on ne trouvera point de nouvelle valeur pour x, et c’est d’ailleurs ce qu’il sera aisé de vérifier.
Lorsqu’on suppose p -négatif et q * < p*, l’équation [l] tombe dans le cas irréductible : ainsi ce cas est résolu par ce qui précède.
141. Continuons de prendre p négatif, mais supposons qu’on ait q* — p3 > 0 , le signe > n’excluant pas l’égalité.
Dans cette hypothèse, les valeurs de x trouvées plus haut ne sont imaginaires que parce que la condition qui détermine <p exige' qu’on ait cos^ > 1 ; il est donc naturel de chercher pour x une valeur > 2 \fp, et pour cela je posera^ x = 2 y/p coséc^ , ou mieux, afin d’éviter les fractions, x == 2 \!p coséc2'}<. Il faut donc composer à priori une équation du 3e degré qni admette une racine réelle de cette forme, dont les deux autres racines soient imaginaires, et qui puisse facilement se résoudre par les tables. Sans rien supposer sur le multiplicateur de coséc2<V, posons
x = 2p coséc 2<î<.
P et étant deux indéterminées. Si on observe que 2coséc2<|i
2 sin* -f- cos' <J/
— sin 2^ sin ^ cos «]<
= tang^ -f- cot'}', on aura
x = p(tang^ -j- cot 4*).
Donc x * = p*(tang* 4 cot5 4) -f- 3p*(tang 4 + cot 4), ou bien, en
remettant a? à la place de p(tang4 -)- cot 4) et transposant,
[6] xs — 3p*æ — p'(tang* ij > -j- cot* 4) = 0.
TRIGONOMÉTRIE
Les deux racines cubiques imaginaires de l’unité étant 0 et 8’, il est facile de voir qu’on arrive à la même éq. [6], en prenant l’une quelconque des trois valeurs
z = p(tang4 + cot4), x — p(8tang4 -f- 8*cot<J>), x = p(8*tang4 -}- 8cot4);
par conséquent, ces valeurs sont les racines de l’équation [6].
Maintenant il faut rendre cette équation identique avec la proposée, z* — 3 px -j- 2ÿ = 0, ce qui donne
p = Vp et tang*4 + cot*4 = —
Pour trouver 4 , posons
tang 4 = y tango :
on aura tang? = tang* 4, cot<p = cot*4; et par suite
tang<p + cot<p = —
VP*
sin <p cosç
COS o
sin tp
sm*!? + cos’tp 2» . J p*
— -L2 1 — X sin2ts = lX
sm©cos<j> Jpi q
Ainsi les tables donneront <?; au moyen de <p on aura 4s puis enfin on aura les valeurs de x. En remplaçant tp, 6, 6*, par leurs valeurs, et effectuant les réductions, ils vient, comme au n° 138,
x — 2 \Jp coséc24 , x = — \fp (coséc24 + sj — 3 cot 24-), x = — y/T(coséc24 — sj — 3 cot 24).
142. Ces formules ne conviennent qu’aux seuls cas de l’équation x3 -f- 3 px -(- 2ÿ = 0, dans lesquels on a p négatif et qt>pi: car autrement la valeur de sin 2<p serait ou imaginaire ou > 1 . Il faut donc changer de moyen quand p est positif.
Alors soit fait x = 2p cot 24 ; on aura aussi
. /cos*4— sin*4\ ,
= fl ^col*-Un*+i>
et l’élévation au cube conduit, comme plus haut, à l’équation [7] x* -f- 3p*z — p‘ (cot* 4 — tang’ 4) = 0,
dont les trois racines sont
x — p (cot ^ — tangij-), a? = p(0 cot'}' — ôHang'}'), x = P (e’cot'J' — 6 tang^).
On rendra cette équation identique avec la proposée en faisant
p = \jp, cot‘<}' — tang3<}< s= e* P01® déterminer <\> à l’aide des tables, on pose
cot'l' = y/cot<p.
Donc cot-f — tang <p = cot’i}/ — tang^, et par suite
cot? — tang<p = -^, ou cot2ç:=-^;.
L’arc <p étant connu, on trouvera <V, et ensuite les trois valeurs de x, savoir :
x = 2y/pcot2'4,
x = — sfp (cot 24» — y/— 3 coséc2'f) > x— — y/p(cot24' + y/— 3coséc24').
Les transformations précédentes ne doivent point s’appliquer au cas où p est négatif, parce qu’alors cot2<p est imaginaire.
