DES PROBLÈMES DÉTERMINÉS

Règles pour mettre un problème en équation.

143. On appelle Géométrie analytique, ou, en d’autres ternies, Application de l’Algèbre a la Géométrie, cette branche importante des mathématiques qui apprend à faire usage de l’algèbre dans les recherches géométriques. Sous ce point de vue elle doit comprendre la trigonométrie , qui forme la première partie de ce traité.

Viète, géomètre français, qui donna à l’algèbre de si remarquables accroissements, est le premier qui l’ait employée pour trouver les parties inconnues d’une figure, en exprimant par des équations les relations qui lient entre elles toutes les parties de cette figure. Descartes non-seulement perfectionna les travaux de Viète, mais encore il inventa des méthodes générales, tout à la fois simples et fécondes, pour ramener la théorie des courbes au calcul algébrique j et ces méthodes sont aux yeux de la postérité le plus beau titre de gloire de ce célèbre philosophe. Elles n’ont été appliquées d’abord qu’aux courbes planes, c’est-à-dire dont tous les points sont renfermés dans un plan ; et plus tard elles ont été étendues aux surfaces et aux lignes quelconques. C’est de là que vient la distinction, assez généralement adoptée, de géométrie analytique « deux ou trois dimensions.

DEUXIÈME PAHTIE.

Pour suivre l’ordre le plus naturel , je commencerai par exposer, avec les développements qu’elle a reçus dans Y Arithmétique universelle de Newton, la méthode employée par Viète pour résoudre des problèmes déterminés. Il semble qu’on n’y ait en vue que les questions relatives aux figures planes, mais il sera facile de voir qu’on peut y considérer aussi les surfaces et les solides.

441. Ces diverses grandeurs, lignes, surfaces, ou solides, peuvent être rapportées à une unité de mesure et évaluées en nombres; pour plus de généralité, ces nombres peuvent être représentés par des lettres; et dès lors on conçoit comment les grandeurs de la géométrie peuvent être soumises aux calculs de l’arithmétique et de l’algèbre.

445. 11 arrive quelquefois qu’une question de géométrie est si facile à mettre en équation, qu’il n’est besoin d’aucune règle pour y parvenir.

Par exemple, s’il s’agit de partager une droite en moyenne et extrême raison, on désignera par a la ligne donnée, et par x le plus grand segment; alors le plus petit segment sera a — x, et, d’après l’énoncé du problème, on posera sur-le-champ l’équation

[4] xi=a(a — *),

d'où l’on tire

X — — ja±: y a* -f- [ as.

La seconde valeur est négative, et ne saurait convenir à la question ; car il est évident que le segment cherché ne peut être qu’une quantité positive. On n’a donc qu’une solution, savoir :

Quand on aura évalué en nombre la ligne donnée au moyen d’une certaine unité de longueur, il est clair qu’il ne restera plus qu’à exécuter les calculs indiqués dans la formule, pour connaître le nombre d’unités contenues dans le segment cherché.

Si on veut avoir ce segment par une construction géométrique, la valeur précédente en indique une fort simple. Élevez (fig. 36), à l’extrémité de la ligne donnée AB, une perpendiculaire BC égale à la moitié de AB, et joignez AC. L’hypoténuse AC sera égale à y a* -(- \ a1 ; et en décrivant, du centre C avec le rayon BC, une circonférence qui coupe AC en D, on a évidemment

AD = v^a* + ia* — jû :

GÉOMÉTRIE AKALYTIQüE A DEUX DIMENSIONS. 'HS

donc x = AD. Ainsi , pour résoudre la question , il n’y a plus qu’à rapporter AD en AM sur AB. On remarquera que cette construction est précisément celle qui est connue en géométrie.

La circonférence décrite du centre G coupe le prolongement de AC en D'; et si on porte AD' en AM' sur AB prolongée, on aura

AM' == AD' = sj à1 + i a* — ’ a :

donc la seconde valeur de x est x = — AM’. Je reviendrai bientôt sur les valeurs négatives des inconnues , et sur les constructions dont les expressions algébriques sont susceptibles.

146. Le problème précédent était fort simple; mais le plus souvent les rapports de grandeur et de situation , qui lient les lignes entre elles, compliquent les questions de géométrie à tel point qu’on a besoin de méthodes et d’artifices particuliers pour former les équations d’où dépendent les inconnues. Alors, la première règle à observer consiste à se bien pénétrer des relations que ce problème établit entre les ligues, les angles , les surfaces , les solides, sans aucune distinction des données et des inconnues : il devient facile ensuite d’exprimer ces relations par des équations; et enfin on déduit de ces équations, quand cela est possible, les valeurs des quantités inconnues.

Par exemple, considérons (fig. 37) un triangle isoscèle inscrit dans un cercle; il est évident qu’il existe entre le côté BG , la base CD et le diamètre AB, une telle dépendance , que deux de ces trois lignes étant données, la troisième en dérive nécessairement. De là il suit que la question peut être de chercher le diamètre par le moyen du côté et de la base, ou de chercher la base par le moyen du côté et du diamètre, ou enfin, de chercher le côté par le moyen de la base et du diamètre. Mais, quelle que soit celle de ces trois questions qu’on ait à résoudre, on ne mettra d’abord aucune différence entre les données et l’inconnue , et on posera l’équation qui établit la relation mutuelle des trois quantités. Il n’y aura plus alors qu’à déduire de l’équation la valeur de la ligne qui aura été prise pour inconnue.

Soit fait la base CD = é, le côté BC = c, le diamètre Al! = d. Supposons que ce diamètre soit celui qui divise l’angle CBD en deux parties égales, il devra couper la base CD perpendiculairement en son milieu E. Or, d’après un théorème connu , la corde CB est

moyenne proportionnelle entre le diamètre B A et le segment BE; donc on a BC* = AB x BE, ou, mettant les lettres qui représentent les lignes ,

c* = dxBE, d’oii BE=j.

Mais le triangle rectangle CBE donne BC* — BE* = CE*; par suite il vient

équation facile à résoudre , quelle que soit l’inconnue.

Si c’est le diamètre qu’on cherche, on tire de cette équation la valeur de d, et l’on a

Si c’est la base qui est inconnue, on tire de l’équation la valeur de b, et l’on trouve

5 2c \jd} — c* d

Enfin, si on cherche le côté du triangle isoscèle, il faut résoudre l’équation par rapport à c, ce qui donnera

Dans chacun de ces trois cas nous avons négligé les valeurs négatives, parce qu’elles ne peuvent point convenir à la question. Les deux premiers cas n’admettent qu’une seule solution. Le troisième peut en admettre deux : il est évident en effet que , quand on donne le diamètre AB et la base CD, chacun des triangles ACD, BCD, satisfait également à )a question.

147. Revenons maintenant sur nos pas, et remarquons la manière dont on est parvenu à l’équation [2]. L’inspection de la figure a montré sur-le-champ que, par le moyen du diamètre AB et du côté BC, on pouvait calculer d’abord BE, et ensuite la demihase CB; et ceci a suffi pour former l’équation. De là résulte la règle suivante posée par Newton :

Lorsqu'un problème est proposé , il faut le regarder comme résolu , el comparer entre elles toutes les quantités qu'il renferme , sans au-

cime distinction entre les connues et les inconnues; examines' ensuite comment elles dépendent les unes des autres, afin de reconnaître quelles sont celles qui, étant données, pourraient conduire à la détermination des autres. Alors il sera facile de mettre le problème en équation.

148. Toutefois, il importe de remarquer, avec le même géomètre, qu’il n’est pas nécessaire de reconnaître du premier coup d’œil par quelles opérations le calcul peut conduire des premières quantités aux dernières : il suffit de sentir en général que les unes peuvent se déduire des autres par un moyen quelconque. C’est ce qu’on va développer.

Soit proposé une question dans laquelle il y ait à considérer le diamètre AB (tig. 38) avec les trois lignes BC, CD, DA, inscrites dans le demi-cercle. Si on cherche le diamètre AB et que les autres lignes soient données, on ne voit ni calcul ni construction propre à déterminer cette inconnue. Cependant, il est évident que ce diamètre n’est pas arbitraire, car il doit être tel qu’on puisse inscrire dans le demi-cercle les trois lignes données. C’est pourquoi l’on regardera AB comme connue, et l’on établira le calcul comme s’il l’était véritablement. Alors on remarque qu’il est facile, en s’aidant de quelques théorèmes de géométrie, de calculer l’une quelconque des trois cordes, AD par exemple, au moyen du diamètre et des deux autres cordes.

Pour y parvenir, menez la diagonale AC, et abaissez CE perpendiculaire sur AD prolongée. Puisque l’angle ACB est inscrit dans un demi-cercle, cet angle est droit. Puisque le quadrilatère ABCD est inscrit dans un cercle, la somme des angles opposés ABC, ADC, est égale à deux angles droits : or, la somme des angles CDEet ADC, est aussi égale à deux angles droits ; il est donc facile d’apercevoir que les angles ABC, CDE, sont égaux, et que par conséquent les triangles rectangles ACB, CDE, sont semblables. Cela posé, pour déterminer AD au moyen de AB, BC et CD, voici de quelle manière le calcul se conduit.

Faites AB = x, BC = a, CD = b, AD = c. Le triangle rectangle ACB donne la valeur de AC,, au moyen de AB et de BC; et l’on a

AC = \jxt — u*.

Les triangles semblables ACB, CED, feront trouver CE et DE. En