CE CD DE CD

effet, ils donnent les proportions — ^ ~ ab’°U’ ce 1,1,1

lltt DEUXIÈME PARTIE.

est la même chose , ^ . = - , —

; et de là on tire

Le triangle rectangle AEC donne AE= y AC* — CE*. Par suite, en remplaçant AC et CE par leurs valeurs, on obtient

b* [x1 — a*) y/(ar* — a*)(x* — é*)

Maintenant la différence AE — DE donne AD, c’est-à-dire qu’on a

An ^{x* — a’) ( x * — 6’) ab

Pi D — ” " “*— «

Or AD doit être égal à c ; donc on a l’équation

y^( x * — à1) (x* — à’) ab

laquelle devient successivement

y/(x* — a’) (x* — b1) = ex -{-ab,

(x* — o’) (x* — b *) = (ex ab)*, x4 — a’x’ — 6!x’-f a,6*= e*x’-f- 2aiex-f- a* b*, x* — (a*-f- b'-\- c’jx1 — 2 abex = 0, et enfin, en divisant par x [3] x3 — (a* + è* c’)x — 1abc=-0.

Ainsi , la détermination du diamètre AB dépend d’une équation du 3* degré, ce qui donne lieu de penser que le problème peut avoir trois solutions. Nous ne ferons aucune autre observation : pour le moment, il s’agit principalement de montrer de quelle manière on ramène les problèmes de géométrie à des équations.

149. On est parvenu à l’équation [3] en suivant littéralement la règle du n° 147 ; c’est-à-dire qu’on a regardé comme connues toutes les lignes de la question, et qu’on a examiné ensuite celles qui pouvaient être employées à trouver facilement les autres. Mais souvent il est difficile , et même impossible , de suivre rigoureusement cette marche. En effet, on est obligé, dans la plupart des

cas, de tracer sur la figure des lignes auxiliaires, qu’il faudrait exprimer d’abord par le moyen des lignes qu’on regarde comme connues, et dont les valeurs devraient entrer ensuite dans les valeurs des lignes qu’on regarde comme inconnues : or, il est évident que ces calculs pourraient devenir extrêmement embarrassants. Pour surmonter ces difficultés, il convient de modifier, ainsi qu’il suit, la règle du n" 147 :

Après avoir tracé sur la figure toutes les lignes connues ou inconnues gui se trouvent dans la question proposée , on mènera les lignes auxiliaires qu'on jugera propres à en faciliter la solution par l’emploi des théorèmes de la géométrie. Ces lignes auxiliaires seront de nouvelles inconnues , que l’on considérera comme si elles étaient dans l’énoncé même de la question. Alors on posera les équations qui lient entre elles toutes les lignes de la figure. Quand le problème est déterminé , on arrivera toujours à un nombre d'équations égal à celui des lignes inconnues, et le problème de géométrie sera ramené à la résolution de ces équations.

150. Le problème du n° 148 peut offrir une application fort simple de cette règle. Ayant tiré les lignes auxiliaires AG, CE, faisons toujours AB = x , BC = a , CD = b, DA = c ; considérons la diagonale AC comme une nouvelle inconnue, et faisons AC =y. Le triangle rectangle ACB donne, entre x et y, l’équation

Or, les triangles semblables ABC, CED, donnent DE= et le triangle obtusangle ACD donne, par un théorème connu,

y* = ô‘4-c* + 2cx^.

Voilà donc deux équations dans lesquelles se trouvent l’inconnue auxiliaire y et l’inconnue principale x. Si on veut avoir l’équation qui détermine x par le moyen des seules lignes données a, b , c, il faut éliminer y * entre les deux équations , ce qui est facile. U suffit de substituer, dans la première équation , la valeur de y

2 abc

donnée par la seconde. Il vient ainsi x* = a* + 6* -j- c* -| — — ,

ou , en réduisant convenablement,

xs — (a1 -f- b* -}- c1) x — 2 abc = fi : c’est l’équation [3] trouvée plus haut,

151. Afin de présenter encore une application de la règle du n° 149, et de montrer combien les solutions d’une même question peuvent être variées, plaçons ici une autre solution du même problème. Prolongez CD et BA (fig. 39) jusqu’à leur intersection F, et l’on aura deux triangles BCF, DAF, qui seront semblables : car l’angle F est commun, et de plus les angles ABC, ADF sont égaux, comme suppléments du même angle ADC. Maintenant il est clair que si, outre les lignes qui sont dans la question, la ligne BF était encore donnée , nous trouverions facilement CF et DF, et par suite l’équation CF — DF = CD. Conservant toujours à nos premières lignes les noms a,b,c,x, faisons de plus BF = y. Nous aurons A F — y — x, et les triangles semblables donneront

DF c

CF a

d’où