BÂ

d’où BG

Or, le triangle CBF donne CF* = BC* + BF* — 2BF x BG ; je remplace donc dans cette égalité les lignes par leurs valeurs, et il vient

2e équation.

En éliminant l’inconnue auxiliaire y, on aura l’équation de laquelle dépend l’inconnue principale x. Je ramène d’abord les deux équations à celles-ci

(a* — c*) y — a’ x = abc ,

(a* — c*) y'x + 2a* (c* — xi) y -J- a*x3 — aVx = 0 ;

puis, de la 1" je tire y =

a* x 4- abc

en substituant cette valeur

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A BEUX DIMENSIONS. 119 dans la 2", je trouve comme plus haut, après réductions faites, — (a* + J* + c’) x — 2 abc = 0.

182. Les trois solutions que nous venons de donner pour le même problème , ne sont pas également simples ; et ceci donne lieu de remarquer que les moyens qui se présentent les premiers à la pensée conduisent souvent à des calculs laborieux , quand on veut les mettre en usage. Il faut alors revenir sur ses pas , et faire de nouvelles tentatives pour s’ouvrir un chemin plus facile.

153. Le problème suivant nous offrira de nouvelles remarques qui ne sont point sans importance.

Étant donné un carré OCMN (îig. 40), mener une droite, par le sommet M, de telle sorte que la distance comprise sur cette droite , entre les lignes AA' et BB\ qui forment l’angle O opposé au sommet M, soit égale à une longueur donnée m.

Pour le moment, ne faites pas attention aux lignes ponctuées de la figure : elles se rapportent au n“ 157. Soit MOP une ligne qui satisfait au problème: comme l’énoncé laisse l’inconnue à volonté, et qu’il suffit qu’on puisse s’en servir pour déterminer facilement la ligne cherchée , je prends OP pour inconnue. Je fais OP = x , OC = MG = a ; on a d’ailleurs , par l’énoncé même , OP = m. Gela posé, les triangles semblables OQP, CMP, donnent

QO PO . , , QO x ,, , ax

— = — ; mais PC=x-f-a; donc — = — ; — , d ou QO = — ; — . MC PC’ a x+a’ v x-f-a

Par suite, le triangle OQP donne PQ* = x' + , a , ... Or, PQ doit

être égal à m-, donc x1 + ou, en réduisant;

[4] x* + 2 or* — (m* — 2a*) x * — 2 am’x ■ — a’m* = 0.

Ainsi la question dépend d’une équation du 4* degré.

Nous avons supposé , dans ce qui précède , la ligne QP placée dans l’angle BOA'. Or, la question demande qu’elle soit placée entre les droites AA', BB', sans désigner en particulier aucun des quatre angles droits. Il suit de là qu’on peut remplir les conditions de l’énoncé de quatre manières, ainsi que l’indique la figure. Les deux solutions représentées dans les angles BOA', AOB', existent toujours; mais les deux autres, représentées dans l’angle AOB n’existent que lorsque la ligne donnée m est suffisamment grande.

Pour former les équations qui déterminent les trois dernières solutions, il n’y a que de légers changements à faire aux raisonnements précédents. En désignant par x l’inconnue OP', ou OP", ou OP'", on arrive toujours à l’équation

— 2 «x3 — (m* — 2ns) x' 2 amîx — a*m* = 0.

Une observation se présente ici d’elle-méme , c’est qu’en changeant dans cette équation a; en — x on retombe sur l’équation [4] ; donc celle-ci suffit pour donner toutes les solutions de la question, pourvu qu’on ait soin de porter les valeurs négatives de x du côté OA , tandis que la valeur positive se portera du côté OA'.

454. L’équation [4] est complète; mais, par un choix convenable d’inconnue, on peut parvenir à une équation plus simple et plus facile à résoudre. Soit toujours MQP (tig. 40) une droite qui satisfait au problème, et soit H le milieu de PQ : je prends MH pour inconnue, et je fais MH = y. J’aurai

MQ = y-~, MP = ÿ+^, CP = y/ (y+|)

Ensuite, à cause de MC parallèle à QO, on a CP MP

~ = d’où MQ x CP == OC X MP.

En remplaçant les lignes par leurs valeurs , cette égalité devient

puis, en élevant au carré et réduisant.

ant

Cette équation se résout par le second degré. On en tire d’abord

. i i- , 9} jn* - ---

ÿ2 = a- + -j- ± a vV -f w*,

et ensuite

La première de ces deux valeurs est toujours réelle; c’est elle qui donne les deux lignes MQP, MP'Q’. La seconde peut devenir imaginaire, et c’est elle qui donne 1rs lignes P"MQ", P'"MQ"’. Quant

y=sjai

: a <Ja* - f-

aux valeurs négatives de yy on n’en tient aucun compte, parce qu’elles sont inutiles.

155. Il était facile de prévoir que l’inconnue y ne dépendrait que des équations du 2e degré. En effet, comme le point M est également éloigné des côtés de l’angle AOB , il est évident que , si on connaît la solution MQP, qu’on prenne OP' = OQ , et qu’on tire MP'Q', on aura P'Q' = PQ = m ; donc P'Q' sera une autre solution du problème. Pareillement, si P'Q" est une droite égale à m, en prenant OP'" = OQ" et tirant P'"MQ'"on aura encore P'"Q'" = »z. Il est évident aussi que , si on prend les milieux H, H', H", H'", de PQ,P'Q',P"Q ',P'"Q"’, la distance MH' sera égale à MH, et la distance MH" égale à MH"; donc, en adoptant pour inconnue la distance du point M au milieu de la droite égale à m, qui doit être inscrite, on est certain que cette inconnue n’aura que deux valeurs différentes, et ne devra par conséquent dépendre que du 2e degré.

Il n’en était pas ainsi lorsqu’on prenait pour inconnue la distance du point O au point où la droite demandée coupe la ligne AA'. Alors l’inconnue, qui était désignée par x, devait avoir quatre valeurs tout à fait différentes, lesquelles sont : x = OP, x = — OP', x = — OP", x — — OP'".

De ce qui vient d’être dit résulte cette règle importante que , pour se déterminer dans le choix de l’inconnue , il faut examiner quelle est celle qui doit avoir le moins de valeurs.

156. D’après cette règle, s’il arrive que deux quantités aient une telle ressemblance de relation avec les autres quantités de la question, qu’en prenant l’une ou l’autre pour inconnue, on arrive à des équations entièrement semblables, il faudra les rejeter toutes deux également, et prendre à leur place, pour inconnue, une quantité qui ait une même relation avec l’une et l’autre; par exemple, leur somme, ou leur différence, ou une moyenne proportionnelle, ou enfin toute autre quantité convenablement choisie.

Quelquefois on aperçoit sur-le-champ qu’une quantité ne peut pas avoir une valeur positive + a, sans en avoir aussi une négative de même grandeur — a. Cette circonstance peut déterminer à prendre cette quantité pour inconnue : car on est sur que l’équation finale dont elle dépend aura toutes ses racines égales deux à deux et de signes contraires, et que par conséquent cette équation ne contiendra que des puissances paires de l’inconnue.

Dans certains cas encore, on reconnaît qu’en prenant pour in-

connue le rapport de deux quantités, cette inconnue ne peut pas

avoir une valeur a sans avoir aussi la valeur -. Alors on est sûr que

l’inconnue sera donnée par une équation réciproque. Or, on sait qu’une telle équation s’abaisse k un degré moitié moindre, et cette considération peut paraître déterminante.

137. Mais, parmi les inconnues qui au premier aperçu paraissent pouvoir être employées avec un égal avantage , il y a encore un choix à faire, quand on veut avoir la solution la plus simple possible; et ce choix est quelquefois tellement difficile, que le bonheur semble y avoir plus de part que la sagacité. La dernière question nous servira encore d’exemple.

Supposons, comme plus haut (153), que la ligne MPQ satisfasse à l’énoncé, et élevons sur MP la perpendiculaire PR, qui rencontre en R le prolongement de MN. Il est clair que le point P est déterminé quand on connaît le point R : car il suffit alors de décrire une demi-circonférence sur MR comme diamètre. Sans doute il ne vient guère à la pensée de prendre la distance NR pour inconnue; cependant on va voir qu’on obtient, par ce moyen, un résultat d’une extrême simplicité.

Soit donc NR=z. Je fais de plus MQ = u, et j’abaisse PS perpendiculaire sur MR. Les triangles MNQ, PRS sont égaux, car ils sont rectangles, et on aMN = PS;donc PR = MQ = m. Cela posé, le triangle rectangle MPR donne les deux égalités MR* = MP* + PR* , MR x PS = MP X PR; et en y remplaçant les lignes par leurs désignations analytiques, il vient

On a ainsi deux équations entre deux inconnues. Si on fait passer le point P dans les quatre positions qu’il peut occuper, on verra que ces équations subsistent encore, avec cette différence que z change de signe quand le point R tombe du côté NR', et que u en change aussi quand Q tombe de l’autre côté du point M par rapport au point P, lequel doit toujours rester sur la ligne AA'.

On élimine u en retranchant de la lr* équation deux fois la 2«, et il vient

z1 = as +wi!, d’où z —

résultat d’une simplicité inespérée, et qui donne lieu à la construction suivante.

Perpendiculairement à MN prenez MT = m , et tirez NT : on aura NT = y'a’ -(- m1. 11 faut donc porter NT de N en R et en R' sur MN prolongée, puis décrire, sur MR et MR', des demi-circonférences qui rencontrent la ligne AA' aux points P, F, P", P'"; et alors on obtient les solutions du problème en traçant les quatre droites MQP, MP'Q’, P"MQ", P"MQ ’. Les intersections P" et P"' disparaissent quand on a MR' <2MC, c’est-à-dire y'as -f- mJ — a <2a. De là on déduit aisément m < 2ay2, ou bien tn <20M, en remarquant que la diagonale OM = «y2 ; donc la plus petite ligne qu’on puisse mener par le point M, dans l’angle AOB, est égale au double de la distance OM.

La construction précédente était connue de Pappus, géomètre d’Alexandrie, qui vivait vers l’an 400 de l’ère chrétienne.

158. Après les développements dans lesquels je viens d’entrer, le lecteur à qui les théorèmes de la géométrie sont familiers trouvera peu de difficultés à mettre les problèmes en équation.

Quand la question proposée renfermera des angles, il faudra tirer des droites entre les côtés de ces angles, ce qui formera des triangles; et on introduira dans le calcul, au lieu des angles, les côtés des triangles, ou plutôt les rapports de ces côtés. On pourra aussi se servir des lignes trigonométriques, ce qui est la même chose au fond : car ces lignes sont elles-mêmes les côtés , ou plutôt les rapports des côtés de certains triangles rectangles.

S’il y a des surfaces à considérer, on peut les remplacer par des carrés ou par des rectangles , et les représenter par des expressions telles que a1 et ab. Si la question renferme des solides , on pourra leur substituer des cubes ou des parallélépipèdes rectangles équivalents, et les désigner par des expressions de la forme as, a’i, abc.

Sur les valeurs négatives des Inconnues.

159. Lorsqu’on emploie l’Algèbre pour traiter une question de nombres, on trouve quelquefois, pour les inconnues, des valeurs négatives. On sait que ces valeurs ne conviennent point à la question, prise avec toutes les restrictions contenues dans son énoncé, ou avec celles qu’on y introduit souvent par certaines suppositions, faites soit au commencement, soit dans le cours du calcul; et on sait aussi comment, en changeant dans les équations le signe des lettres qui représentent les inconnues, on peut lever ces diffé-

DEUXIÈME l'AKTIE.

rentes sortes de restrictions. Ces remarques s’appliquent également aux problèmes de géométrie qu’on résout par l’Algèbre : c’est ce qui va être développé.

160. Reprenons le problème du n° 145, dans lequel on propose de partager une droite en moyenne et extrême raison. Il est évident que cet énoncé revient au suivant : Partager une droite AB (fig. 41) en deux segments AM, MB, de telle sorte que le segment AM soit moyen proportionnel entre la ligne entière AB et l’autre segment MB.

En faisant AB = a, AM = i,ona MB = a — #, et l’équation du problème est

de laquelle on tire les deux valeurs

x — — ia±y/a! + |a*.

La première valeur est positive et moindre que a; donc elle détermine véritablement un point M situé entre A et B, ainsi que l’exige l’énoncé. Mais la seconde est négative , et par cette raison ne saurait convenir à la question.

Changeons, dans l’équation, le signe de x, elle devient

et en prenant positivement la valeur de x , qui tout à l’heure était négative, on aura l’expression

x= J a -(-Va* + 1 a’.

qui devra satisfaire à l’éq. [2]. Or, cette équation est précisément celle qu’on trouve, si on cherche, sur le prolongement de BA au delà de A, un point M', tel que la distance AM' soit moyenne proportionnelle entre la distance BM' et la droite donnée AB. De là il suit qu’en portant la valeur positive de x du côté AB, à droite de A, et la valeur négative de x, prise abstraction faite de son signe, du côté AX, à gauche de A, on aura toutes les solutions du problème proposé, généralisé ainsi qu’il suit :

Sur une droite indéfinie, qui passe par deux points donnés A et B, déterminer un point dont la distance au point A soit moyenne proportionnelle entre sa distance à l’autre point B et la distance donnée AB.

Cet énoncé est dégagé, comme on voit, de la restriction qui

exigeait que le point demandé fût placé entre A et B, et non ailleurs.

161. On aurait pu proposer d’abord ce dernier énoncé. Alors, considérant le problème comme résolu, et supposant que le point M en remplit toutes les conditions, nous aurions fait encore l’inconnue AM = x, et nous serions arrivés à la même équation fl], et aux mêmes valeurs de x. Mais il est évident que nous aurions introduit, dès le commencement, une restriction étrangère à l’énoncé : car nous aurions assujetti nos calculs à la supposition que le point cherché M fût placé entre les points A et B. La valeur positive est la seule qui réponde à cette hypothèse; et la valeur négative, étant prise positivement et portée du côté AX opposé à celui où l’on a cherché le point M, déterminera la seconde solution du problème général.

Ainsi, la valeur négative sert tantôt à compléter la résolution d’un problème, dont la question proposée n’est qu’un cas particulier, tantôt à lever une restriction introduite pour faire les raisonnements et les calculs. Mais ce qu’il faut remarquer dans tous les cas, c’est que cette valeur, prise en grandeur absolue, a été portée du côté opposé à celui où devait être située la distance cherchée. C’est pourquoi nous établirons le principe suivant :

Si on emploie l’algèbre pour résoudre un problème de géométrie , et qu’on prenne pour inconnue une distance comptée sur une ligne donnée , « partir d’un point fixe situé sur cette ligne, les valeurs négatives de l’ inconnue devront être portées dans un sens opposé à celui ou l’on a supposé que cette distance était placée.

Au fond, ce principe ne diffère pas de celui qui a déjà été établi dans la première partie (7); et je dirai aussi qu’il n’est pas du nombre de ceux qu’on puisse démontrer à priori. On y parvient par analogie ou par extension d'idées, et les applications viennent ensuite le confirmer.

162. Je vais encore me servir du même problème pour prémunir le lecteur contre une erreur grave, dans laquelle on tombe quelquefois.

Je n’ai pas supposé que le point cherché pût se trouver du côté BY, parce que, pour un point quelconque N situé de ce côté, la distance AN étant plus grande que AB et que BN, on ne saurait avoir AN* = AB x BN, ainsi que l’exige la question. Mais admettons pour un moment que cette remarque ait échappé, qu’on

veuille déterminer le point N d’après la condition ÂN*= AB XBN, et qu’on prenne pour inconnue la distance BN. En faisant BN = x, on aura AN = a + x, et l’équation à résoudre sera

{a-}-x)*=ax, ou x’-J-or + «,=0-

On en tire

valeurs qui sont imaginaires, et qui indiquent une impossibilité. Mais on se tromperait grossièrement si on concluait que l’impossibilité se trouve dans la question môme : car ce qui a été dit plus haut montre le contraire. L’impossibilité réside ici, tout entière, dans la supposition que le point cherché soit placé du côté BY. Pour nous en assurer, cherchons s’il existe de l’autre côté BX quelque point qui puisse remplir la condition de l’énoncé. On désignera encore par x la distance du point B à ce point inconnu; et sa distance au point A sera a — x ou x — a, selon que ce point inconnu sera avant ou après le point A.

Dans le premier cas, on aura (a — x)s = ax, et dans le second cas on aura (x — a)s=ax. Ces deux équations reviennent à celle-ci

x* — 3ax + a’=0;

par conséquent cette dernière donnera en même temps le point M et le point M'. Et en effet, si on la résout, on trouve deux valeurs réelles et positives, savoir :

On voit donc que st on cherche une distance inconnue du côté opposé « celui où elle doit être placée , l’erreur de la supposition n’est pas toujours rectifiée par des valeurs négatives, ainsi qu’on pourrait le penser. Cette erreur, en effet, dans l’exemple ci-dessus, n’a été indiquée que par des expressions imaginaires.

Sur l’homogénéité.

163. Dans les calculs de l’Algèbre, les lettres sont regardées comme exprimant des nombres et des rapports ; par conséquent, dans les formules et dans les équations auxquelles conduisent les problèmes de Géométrie, les lignes, les surfaces et les solides doi-

vent être considérés comme évalués en nombres. Ainsi, les lettres

a, b , x , ayant été prises pour désigner des lignes, la formule

x = 2 4- - montrerait qu’ilfaut diviser le nombre d’unités linéaires a

contenues dans b, par le nombre d’unités linéaires contenues dans a, puis ajouter 2 au quotient, et qu’alors on aurait le nombre d’unités contenues dans la ligne inconnue x.

164. Mais il y a, sur la forme des équations dans lesquelles il entre des grandeurs géométriques, un principe important, qu’on pourrait nommer loi d'homogénéité, et qu’il faut établir ici. En voici l’énoncé : Si des lettres a, b, c,... qui entrent dans me équation, représentent des lignes, et qu’aucune ligne particulière n’ait été prise pour unité, l’équation doit être homogène par rapport à ces lettres, ou être la somme de plusieurs équations homogènes {*).

Ce principe se vérifie sur toutes les égalités qui sont établies par les théorèmes de la Géométrie, et il est évident qu’il doit également avoir lieu pour toutes les égalités qui se déduisent de celleslà par les calculs algébriques. Mais une démonstration générale est nécessaire, et j’ai proposé la suivante.

Pour mieux fixer les idées, je me servirai d’une équation particulière. Soit celle-ci

[11 a*4- bJâc -\-\fab — \fcd — 7 4- — = O,

b ac

qui n’est point homogène par rapport à a, b , c, d. Supposons que ces lettres représentent des lignes, et admettons qu’aucune ligne particulière n'ait été prise pour unité, ou, en d’autres termes, que l’unité soit restée indéterminée.

Remarquons que dans cette équation les opérations indiquées sont toutes des opérations de calcul : de sorte que cette équation ne peut avoir aucun sens, à moins qu’on n’y regarde les lettres a,

b, c, d, comme représentant non pas les lignes elles-mêmes, mais bien les nombres ou rapports qu’on obtiendrait en mesurant les lignes avec une unité linéaire.

(*) Une expression ou une équation est dite homogène par rapport à certaines lettres, quand tous les termes sont de même degré par rapport à ces lettres.

Ainsi l’équation 2m; -f 3a y^c=ba; — — est homogène par rapport à a, b, c, x;

et le degré de l’homogénéité est 2 , parce que tous les termes sont du 2* degré.

C’est en effet de cette manière que l’équation doit être comprise; mais afin d’éviter toute confusion, je désignerai, pour un moment, par A, B, C, D, les lignes elles-mêmes, et je ne considérerai plus a, b, c, d, que comme de simples rapports. Par hypothèse, l’unité est restée indéterminée : prenons-la à volonté et nommons-la X. Alors les lettres a, b, c, d, dans l'équation [1], pourront être regardées comme les rapports des lignes A, B, C, D, à la ligne X.

D’un autre côté, il est évident qu’au lieu de rapporter directement une ligne P à l’unité X, on peut évaluer d’abord P et X en nombres au moyen d’une ligne quelconque p, et qu’en prenant ensuite le rapport de ces deux nombres, on aura le rapport de P à X.

D’après cette remarque, si nous désignons par //, c', d', X', les nombres qui expriment les lignes A, B, C, D, X, rapportées à une ligne arbitraire p, les rapports de A, B, C, D, à X, seront

égaux à y, , , "7 , ^ ; or, ces rapports sont désignés dans

l’équation [IJ par a, b. c, d; on peut donc mettre ces rapports à la place de ces lettres, et il viendra

dï

On peut d’abord écrire cette équation ainsi

È1 , füL o-

yi-r x„ -r Y y» Y x,e 6T* ^ a'c'X'* >

et ensuite, en multipliant les deux membres par X'1, on aura

(4] o,s + b' -f y aW* — y c'd'X'1 — ~ ~ = 0 ,

ou , ce qui est la même chose ,

a'1 + b' y'a'7-f (ya’é' — (/Ve/')/* -f ( — — =;) X'* = 0.

Maintenant, rappelons que l’unité X peut être prise à volonté , et observons que, quelle que soit cette ligne, les rapports a', b', c\ d', des lignes A, B, C, D, à l’unité p, ne doivent pas changer, mais que le rapport X' de X à p variera nécessairement, et pourra même devenir égal à tel nombre qu’on voudra. Il résulterait de là que l'équation précédente devrait subsister pour toutes les va-

leurs de X'; donc les multiplicateurs des diverses puissances de X' devraient être nuis séparément, ce qui donne les équations

a'* + b 'Ja'd = 0 , y a'b' — \'dd' = 0, ~ — f> = 0.

ac b

Comme a', b',c',d’, représentent les rapports des lignes A , B, C, D, à une unité arbitraire p, prise tout à fait en dehors des lignes de la question, le sens des lettres accentuées a', b',c',d', est absolument le même que celui des lettres a, b, c, d, dans l’équalion [1]. On peut donc indifféremment ou conserver les équations précédentes ou y supprimer les accents, et écrire

131 fi!+éy/^=0, y«é — v®ôf=0, - — ?=0.

ac b

Or, celles-ci peuvent se déduire immédiatement de l’équation [1], en groupant ensemble les termes de même degré et égalant chaque groupe à zéro.

Ainsi se trouve démontrée la loi d’homogénéité ; et de plus on voit comment s’obtiennent les équations séparées dans lesquelles se partage l’équation proposée quand elle n’est pas homogène.

On doit remarquer aussi que le principe et la démonstration subsistent encore quand l’équation contient des surfaces et des solides, pourvu qu’on ait soin de compter pour deux facteurs les lettres qui représentent des surfaces, et pour trois facteurs celles qui représentent des solides.

165. La loi d’homogénéité cesse de s’appliquer dès qu’on suppose qu’une des lignes données a été prise pour unité; car alors les facteurs et les diviseurs égaux à cette ligne disparaissent. Mais il est toujours facile de rétablir l’homogénéité en restituant dans l’équation ces facteurs et ces diviseurs. C’est ce que montre de la manière la plus évidente la comparaison des éq. [IJ et [à].

Dans celle-ci, X' ne sera plus un nombre arbitraire, puisque X n’est plus une unité indéterminée, mais bien une ligne donnée qui a été prise pour unité. D’ailleurs, l’unité auxiliaire p, à laquelle les lignes A, B, C, D, X, sont rapportées, est tout à fait arbitraire. Ainsi a', b', c', d', X', représenteront les nombres qu’on obtiendrait en évaluant les lignes de la question avec telle unité qu’on voudra, et qui reste indéterminée. Pour simplifier, on ôtera les accents, et il viendra

[A] a* -p b \fâc -j- y nblk — y Vy/X* -j- = 0.

Mais les lettres a, b , c, d, n’ont plus exactement le même sens que dans l’équation [1]; car d’abord on supposait X = 4 , de sorte que ces lettres désignaient les autres lignes rapportées à cette ligne X prise pour unité, tandis qu’à présent l’unité est entièrement indéterminée. Et remarquez bien qu’en même temps la ligne X se trouve replacée dans l’équation de telle manière que l’homogénéité est rétablie.

Gomme lequatiou [2] a été déduite de l’équation [1] en y substi-

tuant-, p.

.. au lieu de a, b, ..., et que l’équation homogène [4]

vient de l’équation [2] en y supprimant partout les accents, il est clair qu’on peut arriver à cette équation homogène en mettant

immédiatement dans l’équation [1] à la place de a, b,...

On est ainsi ramené à la règle prescrite pour rétablir le rayon dans les formules trigonométriques [19].

Construction des expressions algébriques.

166. Non-seulement l’Algèbre remplace les procédés graphiques par des méthodes de calcul qui permettent de porter les approximations aussi loin qu’on veut; mais encore elle est souvent le moyen le plus sûr pour découvrir les constructions dont un problème de Géométrie est susceptible. C’est ce qu’on peut déjà pressentir par celles qui ont été rapportées n0' 145 et 157, et c’est ce que je vais plus particulièrement expliquer dans cet article.

167. Je vais d’abord faire voir comment on peut construire, avec la règle et le compas, une ligne inconnue x, qui est exprimée sans radicaux en fonction de lignes connues a, b, c... Je ne prendrai pour exemples que des équations homogènes, parce que les autres se ramènent à celles-ci (165),

. ab

1° Soit x = — .

Cette valeur est une quatrième proportionnelle aux trois lignes c, a, b, par conséquent elle sera facile à construire.

Soit

%a*bc

On décompose ce monôme ainsi : x

Par une 4*

proportionnelle, on trouve une ligne a égale à et l’on aura abc ctb c

x = — .On peut écrire x—— x et en cherchant encore une 4'

de de

proportionnelle, p, égale à —, on a r = expression qui se

construit elle-même par une 4e proportionnelle.

, ams , bm * , cm n’ ir n

Il est clair qu’il suffira de chercher des quatrièmes proportionnelles : mais, dans ce cas, les constructions s’enchaînent assez élégamment comme il suit.

Prenez (fig. 42) RM = m et RN = n : faites l’angle quelconque

RNS, menez MT parallèle à NS, prenez NA = a, et tirez RA qui

MF RM MF m am

coupe Ml en F. On aura — = —ou — = — : donc MF = — .

r NA RN a n n

Menez FF' parallèle à RN , et prenez F'B = b, on aura NB =

MF + F'B = » donc, si on tire RB, qui rencontre MT en G,

MG RM , am * bm

on aura ^75-= '> donc MG = — r -j .

NB RN n* n

Soit GG' encore parallèle à RN, et G'C = c. On aura NC =

0,771* bm

MG + G'C —~^r + — + c ; et après avoir mené RC qui coupe MT

„ . , MH m . o»i3 , bm * , cm

en H, il viendra — = — : donc MH = — — 4 — - 4- — .

NC n n” 1 n* 1 n

Donc enfin x = MH.

abc — d 3

4° Soit donné x = -

mn -f- /?*

Ayant remarqué que la ligne d entre dans cette expression plus de fois que les autres, je fais abc — d* ci, mn = d$, p,=dy; et il

vient x - d>(g~rf) - d{a~d) îent x d(P 4- y) P + t ‘

On obtiendra donc x en construisant une 4* proportionnelle aux

trois lignes p -(- y, a — d et d. Quant aux lignes inconnues a, p, T,

elles sont déterminées par les équations posées ci-dessus, lesquelles

abc mu h*

donnent et = — , p == , y = . Ces monômes sont semblables

à ceux des exemples précédents.

On voit que tout l’artifice de la méthode consiste à transformer le numérateur et le dénominateur en produits de facteurs du premier degré.

H" Soit encore

a1" -f- 6* -f- c4 — S la* b* — 2a V — 2 b*c*

X à* b -\- ab * -(- a’c -j- ac1 -|- b'-c -f- 6c* -f- 2a6c '

L’habitude du calcul suggère quelquefois d’heureuses décompositions, et c’est ce qui arrive ici. En effet, avec un peu d’attention on reconnaît que cette expression peut se changer en celle-ci :

laquelle est facile à construire, puisqu’elle ne contient que des produits de lignes connues.

108. Je passe aux expressions qui contiennent des radicaux du second degré. Les plus simples sont les suivantes :

x — \Jab, x = a* b* f x = s/ à1 — 6’ •

La première , x = \fâb , est une moyenne proportionnelle entre les lignes a et b, et la Géométrie donne plusieurs constructions pour la déterminer. La deuxième, x = \]a* + 6’ , est l’hypoténuse du triangle rectangle dont les côtés sont a et b. Enfin, la troisième, x—yd1 — 6* , est le côté d’un triangle rectangle qui a pour hypoténuse a, et pour second côté b. On peut encore décomposer y/a2 — 6* en y/ (a -j- b) {a — b), et alors ce sera une moyenne proportionnelle entre a -f - b et a — b.

Construisons les valeurs de y trouvées n° 154,

Sur les côtés a et m on formera un triangle rectangle, sur les côtés a et J m on en formera un second; et, en nommant a, [3, leurs hypoténuses, les valeurs de y deviendront y= y'fPrtaa. Pour changer a* en un carré , on prendra la moyenne proportionnelle y , entre a et a; et alors on aura y — yp* ± -f* , valeurs qui se construisent par des triangles rectangles.

Considérons maintenant une valeur aussi compliquée qu’on voudra. Par exemple . soit

ac /a*6* — abc * -f- c*

b y ac -f- 6’

ISS

Je transforme d’abord la quantité qui est sous le radical en uue fraction dont le numérateur et le dénominateur soient des produits de lignes, comme dans le n° 167. Je pose donc a'b' — c "a, abc 1 =c,p, b1 = cy; et alors il vient

: = i+tfe

ac

Je cherche, par des quatrièmes proportionnelles, deux lignes 8 et

ac , c(a — p4-c) „ , /— „

* ; on aura x=o-j- y' eo. Enfin, soit p

3’ égales à -p et à

uue moyenne proportionnelle entre c et 8', il viendra x= 8 -{- p, et

il ne s’agira que d’ajouter deux lignes.

Quant aux lignes représentées par a, p, y, on les trouve par des

. a*à* ab b-

quatrièmes proportionnelles : car on a a = , p = — - , y — — .

169. Les constructions ne seraient pas plus difficiles, si les radicaux avaient pour indice une puissance de 2. Par exemple, soit

g=>7 a’-3aW + y V ûs + 6» '

je changerai facilement la quantité soumise au radical en un produit de quatre facteurs simples. Pour cela, je pose 6* = a!a, b 7 — aBp , et il vient

représentons par y la 4e proportionnelle égale à - — , par

8 la moyenne proportionnelle égale à y/ ay; et l’on aura x = \faly — \/ \fa*y = y/ a\Jay = y/a8.

11 ne s’agit donc plus que d’avoir une moyenne proportionnelle entre a et 8.

170. Les équations du second degré se ramènent à la forme x' -j- ax=q. Si « et a; sont des lignes, l’homogénéité exige que q, abstraction faite de son signe, représente une surface ou un produit de deux lignes. Soit b 1 le carré équivalent, faisons dans

l'équation toutes les combinaisons que peuvent donner les signes de ses termes, et on aura les quatre suivantes :

[t] x! — ax = — 4 >*, [2] x’-)-ax = — 6*,

[3] x* — ax = -f 4% [4] x* + ax = + b*.

En tirant de ces équations les valeurs de x, on n’aura que des radicaux du second degré; mais je vais faire voir qu’il n’est pas nécessaire de les résoudre pour en construire les racines.

La 1" équation, x* — ax = — 4% se mettra sous la forme x(a — x) = 4* ;

et alors on voit que x et a — x sont deux lignes dont la somme est égale à une longueur donnée a, et dont le rectangle est égal à un carré donné 41. On décrira donc (fig. 43) un demi-cercle sur un diamètre AB égal à a; perpendiculairement à AB, on élèvera BC égal à 4; parallèlement à AB, on mènera CF qui coupe la demicirconférence en D ; enfin on abaissera DE perpendiculaire sur AB. Les segments BE et AE seront les valeurs de l’inconnue. En effet , soit x l’un des segments, l’autre sera a — x. Or BExAE = DE*; donc x[a — x) = 4’, ce qui est l’équation à résoudre.

Si BC = |AB, ou 4‘ = ^ a', la ligne CF devient tangente, et les deux segments, AE, BE, sont égaux à J a : ce cas répond à celui où les racines de l’équation sont égales. Mais si BC surpasse î AB, la ligne CF cesse de rencontrer le cercle, circonstance qui répond au cas des racines imaginaires.

L’équation [2], x* + ax = — 4*, n’a point de racines positives. En y changeant x en — x, elle devient x* — ax = — 4*, équation semblable à la première ; donc, après avoir trouvé les racines de celle-ci, il faudra leur donner le signe — .

Prenons maintenant l’équation [3], et écrivons-la ainsi :

Sous cette forme, on voit que x et x — a sont deux lignes dont la différence est égale à a, et dont le rectangle est égal à 4*. Pour les trouver, je décris un cercle (fig. 44) sur le diamètre AB = a, je mène la tangente BC = 4 , et je tire la sécante CDE par le point C et par le centre. Les valeurs de x seront x = CE, x = — CD : car, en mettant chacune d’elles dans l’équation x(x — a) = b*, on arrive à l’égalité CD X CE = BC*, laquelle a été démontrée en Géométrie.

L’éq. [4] a pour racines celles de l’éq. [3], prises avec des signes contraires : donc les valeurs de x sont x = CD , x — — CE.

171. Nous ne parlerons point ici des expressions irrationnelles qui ne peuvent pas se réduire à des radicaux du second degré, attendu qu’i7 n’est point possible de les construire avec la droite et le cercle, seules lignes qu’on étudie en Géométrie. Cette proposition, qu’on néglige ordinairement de démontrer, peut cependant l’être d’une manière fort simple.

Supposons, en effet, que le problème dont il s’agit puisse se résoudre en ne traçant que des droites et des cercles, mais qu’on ignore comment ces lignes doivent être menées. 11 n’en est pas moins évident que , si on suit avec attention les constructions suc- ' cessives qu’on fait sur les données (droites, cercles et angles), pour arriver à la ligne inconnue, il sera toujours possible de lier ces données à l’inconnue par un enchaînement de triangles, tous parfaitement, déterminés. Or, on a vu, en Trigonométrie, que dans tous les cas où un triangle est déterminé , les parties inconnues s’expriment, en fonction de celles qui sont connues, ou par des formules qui sont rationnelles, ou par des formules qui ne contiennent que le radical du 2* degré; donc il en doit être encore de même pour !ps valeurs des inconnues , qui seront données par les derniers triangles. Il est bien entendu qu’on substitue toujours aux angles leurs sinus ou leurs cosinus, etc.

Il suit de là que, si un problème peut se résoudre avec la règle et le compas, les inconnues que l’Algèbre fera trouver doivent être ou rationnelles ou réductibles à des radicaux du 2e degré. Donc, lorsqu’on arrive à des expressions qui ne sont pas susceptibles d’être réduites à l’une de ces formes , il faut conclure que le problème n’est point dans la classe de ceux qui peuvent être résolus par la Géométrie élémentaire.

172. Les anciens, qui ne connaissaient point l’Algèbre, manquaient de moyens pour juger si' un problème est susceptible de se résoudre avec la droite et le cercle; et, comme ils recherchaient avant tout ce genre de construction , qu’ils considéraient comme plus simple et plus élégant, il n’y avait que l’inutilité de leurs efforts qui pût les déterminer à Recourir à d’autres lignes. Après le cercle celles qu’ils préféraient étaient les sections coniques , que nous étudierons plus loin ; ils ont même inventé certaines courbes dont l’objet spécial était de résoudre quelques problèmes particu-

licrs, tels que ceux de la trisection de l’angle et des deux moyennes proportionnelles géométriques. Mais l’analyse donnant pour ces questions les solutions les plus exactes qu’on puisse désirer, les géomètres n’attachent plus aucune importance à ces courbes.

Jusqu’à présent on a expliqué comment on met les problèmes en équation, comment on interprète les valeurs négatives des inconnues, et comment on construit les expressions algébriques ; il convient maintenant d’exposer les solutions de quelques problèmes choisis.

Problèmes de Géomélrie résolus par l’Algèbre.

173. Problème I. Connaissant les trois côtés d’un triangle, trouver la surface de ce triangle, le rat/on du cercle circonscrit , et celui du cercle inscrit.

1° Surface du triangle (fig. 45). Soit le triangle ABC, dans lequel on donne BC = a, AC = b, AB = c : j’abaisse la perpendiculaire Al). L’un des angles B et C étant nécessairement aigu , je suppose que ce soit l’angle C : par un théorème connu , on aura

c5 = a'- + i* — 2a X Cl), donc CD :

Le triangle rectangle ABC donne AD =y AC — CD*; donc

AD = y^

(a1 -f- é1 — c’)’ ^ 4 fl’é* — («’ -f- 6* — e1

Enfin , la surface du triangle est égale à J a x AD; donc on a, en désignant cette surface par S,

S = \ J 4a' b3 — («* -f As — c’)*.

On peut décomposer en facteurs la quantité soumise au radical : alors la valeur de S prend une forme remarquable, et surtout commode pour le calcul logarithmique. En effet , cette quantité étant une différence de deux carrés , se décompose d’abord en (2o6 -j- a* -f b1 — c”) X (2 ab — a * — 6’-j-e*). Ensuite chacun de ces facteurs, étant lui-même une différence de carrés, se décompose aussi en deux autres; de telle sorte qu’on a

Soit a la plus grande des trois lignes a, b, c; pour que le triangle soit possible , il faut qu’on ait a < b -j- c. Alors on a , à plus

forte raison , b <a-\-c, c < a -f- 6 ; donc tous les facteurs qui sont sous le radical , sont positifs ; donc la valeur de S est réelle , ainsi que cela doit être. Mais, si le triangle est impossible, on doit avoir a > b -|- c ; par conséquent le dernier facteur est négatif : d'ailleurs les précédents sont positifs , puisque a est supposé plus grand que b et que c; donc la valeur de S est imaginaire.

Si on suppose a = b -(- c, on aura S = 0. Ce cas est celui où le sommet A, après s'être rapproché très-près de la base BC , viendrait enfin se placer sur cette base ; il est évident qu’alors la surface du triangle devient nulle.

On simplifie l’expressiôn de S en posant a + b c = 2p. De là on tire n-|-6 — c=2(p — c), a-\-c — 6=2 [p — 6), b-\-c — a=2(p — a); et par suite il vient

2“ Rayon du cercle circonscrit (fig. 46). Je fais encore BC = «, AC = 6, AB — c. Soit AE le diamètre du cercle circonscrit; je mène la hauteur AD, et je joins BE. Les triangles ABË, ADC, sont semblables : car les angles ABE, ADC, sont égaux comme droits, et les angles AEB, ACD, sont égaux comme inscrits dans le même

segment. On a donc la proportion — = ou — = — ,

en désignant par R le rayon du cercle. Cette proportion donne

R== 2^ = d^ÂD = W et en remPla«ant S V™ sa valeui'

trouvée plus haut , on aura , pour la valeur cherchée

abc

WpIp

3° Rayon du cercle inscrit (fig. 47). Soit O le centre et r le rayon du cercle inscrit dans le triangle ABC. En tirant les lignes OA, OB, OC, le triangle sera décomposé en trois autres, dont les surfaces sont égales à \ar, \br, \cr-, donc la surface du triangle est égale à ^r(a-j- 6 + c). Ainsi on a J r[a + 6 -j-c) = S, d'où 2S S

et, en remplaçant S par sa valeur, il vient a + 6-j-e. p r

174. Problème II. Étant donnés les quatre côtés d’un quadrilatère inscrit, trouver les diagonales.

La solution suivante, qui est très-connue, se trouve dans Viète. Soit ABCÜ (fig. 48) un quadrilatère inscrit, ou plutôt inscriptible : je fais AB — a, BC = ô, CD = c, AD= d, AC = x, BD = y. Je suppose, pour fixer les idées, que l’angle ABC soit aigu, l’angle ADC sera obtus et égal au supplément de l’angle ABC, d’où il suit qu’en prolongeant CD, l’angle ADQ sera égal à ABC. Si on abaisse les perpendiculaires CP, AQ, les triangles CBP, ADQ,

seront semblables, et donneront 5^ = d’où </xBlJ=6xDQ. Par des théorèmes connus, les triangles ABC et ACD donnent x* = as -)- — 2a X BP, x* = c* + d*-f 2exDQ.

i u A,, îx on 11 i J x c a . -.a *

Un tire de là BP :

-, DQ =

et en met-

tant ces valeurs dans l’équation d X BP = 6 X DQ, il vient

cd(ay -f- 6* — x*) = ab(xt — c* — d1).

. / a’cd -|- Ircd -f abc * -|- abd*

De celle-ci on tire x — \/ , — ; — ; ; le numera-

V an -\-cd

teur de la quantité sous le radical est égal à ( ac -{- bd] (ad -|- bc ) j donc la valeur de la diagonale AC peut s’écrire ainsi :

le numéra-

/(ac + bd) (ad + bc) X — \ ab + cd ’

Si on cherche l’autre diagonale BD ou y, il est clair que les calculs seront les mêmes que les précédents, avec cette seule différence que a , b, c, d, seront remplacés par b, c, d, a. En faisant donc ces changements dans la formule ci-dessus, on aura la valeur

de y, savoir :

j(ac -|- bd) (ab -j- cd)

y \ ad -J- bc

Remarques. 1° A l’aide des valeurs précédentes, il est facile de construire le quadrilatère inscriplible , dont les côtés sont connus. 11 suffit, en effet, de former au-dessus de AC, comme base, le triangle ACD, qui a pour côtés c, d , et au-dessous un autre triangle dont les côtés sont a, b. On trouve ainsi deux solutions différentes ABCD, AB'CD (fig. 49). Quant à la diagonale AC, elle est

elle-même facile à construire. En effet, on peut changer d’abord chaque produit de deux lignes en un carré, et ensuite chaque somme de carrés en un carré unique : de cette manière la valeur

= — , et il n’y a plus qu’à chercher une quatrième proportionnelle à y, a, (î.

2° Si on multiplie les diagonales l une par l’autre, on trouve

xy

(ac -}- bd)* ( ab -f- cd ) (ad -j- bc) (ab -j- cd) (ad bc)

= ac -f- bd ;

donc, dam tout quadrilatère inscrit, le rectanyle des diagonales est égal à la somme des rectangles des côtés ojjposés.

3” Si on prend le rapport de ces mêmes diagonales, x et y, on a

x . /(ad -(- bc)* ad bc '

y \ (ab -f- cd)* ab -\-cd*

donc, les diagonales sont entre elles comme les sommes des rectangles des côtés, gui aboutissent aux extrémités de ces diagonales.

175. Problème III. Connaissant les quatre côtés d’un quadrilatère inscrit, trouver la surface de ce quadrilatère.

Cherchons, comme dans le numéro précédent, les valeurs de BP et AC (fig. 48). Ces valeurs sont :

BP

a*cd -j- b*cd -(- abc * -j- abd*

ab-\-cd ;, toute ri

. D’ailleurs, par le triangle rectangle BCP

Dans BP remplaçons x par sa valeur : il vient, toute réduction faite, b(a'+b'-c*-d*)

2 (aé+erf)

/— i -— » bsjtiab+cd)*— (&+&—#— d*V

nous avons CP = y BC — BP = ; . — -tt .

f 2 (ao-ferf)

Donc la surface du triangle ABC sera