ABC

ab/b(ab + cd)*— (a*+b'—c*—d*y

4 (ab-{-cd)

Si on cherche de même celle de ADC, on trouve

ADC =

crfy/4 (ab 4- cd)*— (a'+b*—c'—d*) b(ab-\-cd)

Or, ABC -j- ADC=ABCD; donc, en désignant ABCD par S, on a

S = { y 4(«A + cdf— [a*+ b'—c'—d')'.

La quantité qui est sous le radical so décompose facilement en facteurs, et il vient

S = J- \/( a b -J- c — d) (a— |— 6— f-ef — c) (a-(-c-|-d — b) [b-\-c-\-d — a), ou bien, en faisant + c + d = 2 p,

Remarque. Il est facile de trouver le rayon du cercle dans lequel le quadrilatère peut être inscrit. Pour cela, il faut calculer la diagonale AC; alors on connaît les trois côtés du triangle ABC, et on obtient le rayon du cercle circonscrit à ce triangle par la formule trouvée dans le n° 173. Ce rayon est précisément celui qu’il faut déterminer.

176, Problème IV. Trois parallèles étant données, FG, HI, KL (fig. 50), trouver les côtés d’un triangle dont les angles sont donnés , et dont les sommets doivent être placés sur ces parallèles.

Soit ABC le triangle demandé : par hypothèse, les angles A, B, C, sont donnés, mais les côtés sont inconnus. Je pose BC = x, AC=y, AB = z; sur KL j’abaisse la perpendiculaire AL qui coupe HI en D, et je fais AD= a, AE = b.

Cela posé, les triangles rectangles ABD, ACE, donnent (63)

cosBAD = -, z

cos CAE = - :

et par suite on a

sinBAD=— — --, sinCAE=^ — —

Or, CAE -(- BAD = angle A; donc cos(CAE-j- BAD) = cosA, ou, en développant,

cos CAE cosBAÜ — sinCAE sinBAl) = cos A.

Remplaçons les sinus et les cosinus par leurs valeurs, faisons disparaître les radicaux, et effectuons les autres réductions : il vient, pour première équation ,

y*:* sinJA — a'ys — 6îzs-{- Sabyzcos A — 0.

Mais dans tout triangle les côtés sont comme les sinus des angles

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 1/jl

opposés; donc on a, dans le triangle ABC,

y sin B z

x sin A’ x

sin C sin A

; d’où y

xsinB sin A *

æsinC sin A

Mettons ces valeurs dans l’équation, on aura, toutes réductions faites, et après avoir divisé par xt,

, a* . b * 2«6cosA

sin’C^sin'B sinCsinB’

Il est aisé maintenant d’avoir la valeur de x , et ensuite celles de y et de 2 au moyen des relations précédentes. La question proposée est donc résolue.

La valeur de x est facile à construire. FG, HI, KL, étant les parallèles données, faites les angles RBII, ItCL, respectivement égaux aux angles donnés C et B; puis joignez les points B, C : la droite BC sera le côté cherché, désigné par x. Pour s’en convaincre, on abaisse la perpendiculaire RD’E'; et les triangles rectangles RBD', RCE', donnent (t>3)

sinC’ sin B*

Maintenant, si on prolonge RB , on aura l’angle ROC = RBH = C : or, l’angle RCO est déjà égal à B; donc CRÛ, troisième angle du triangle RCO, est égal à l’angle A ; par conséquent le triangle RBC donne (66) BCS = RB 2 + RC— 2RBxRC x cos A , ou, en mettant au lieu de RB et de RC leurs valeurs,

g-: o* ô5 2aècosA

sin5 C^ sin* B sinCsinB’

Cette expression est la même que celle de x *; donc BC est le côté cherché, placé comme il doit l’être, entre les parallèles données HI, KL.

Pour achever le triangle demandé, on fera passer, par les points R, B, C, une circonférence qui coupera la ligne FG en un second point A, puis on mènera les droites AB, AC : ABC sera le triangle demandé.

Si on veut démontrer cette construction a posteriori, on remarquera que les propriétés des sécantes parallèles donnent arc ASC = arc RBT; donc l’angle ABC, inscrit dans le premier arc, est égal à l’angle RCO, inscrit dans le second. Or, par construction,

l’angle RCO est égal à B ; donc aussi l’angle ABC = B. Le triangle ABC ayant deux angles, CAB et ABC, égaux à A et B, le troisième est nécessairement égal à C.

On peut faire les mêmes constructions de l’autre côté du point B, et décrire un second triangle A'BC', et qui ne différera du premier que par la situation. Il est évident d’ailleurs que chaque point de la parallèle Hl peut servir à déterminer deux triangles égaux à ceux-là, et qui résoudront aussi la question.

Remarque. La construction précédent»* a été faite sur les données elles-mêmes, et la ligne BC a été trouvée dans la situation que doit avoir le côté inconnu désigné par x : c’est en cela que consiste l’élégance des constructions fournies par l’Algèbre. Il est rare qu’elles remplissent ces conditions, et même elles ont ordinairement l’inconvénient d’être moins simples que celles qui se déduisent des seules considérations géométriques. Le problème qui vient d’être résolu en est une preuve.

177. Nous terminerons ce chapitre par les énoncés de quelques problèmes à résoudre.