DES LIEUX GÉOMÉTRIQUES

Lieux géométriques. — Moyen de les représenter par des équations.

t 178. Il peut se faire que dans une question de géométrie, où l’on propose de trouver un point, la condition donnée par l’énoncé convienne à tous les points d’une même ligne, le problème est alors indéterminé, et l’Algèbre doit faire connaître cette ligne elle-même. Par exemple, on demande un point tel, qu’en le prenant pour sommet d’un triangle dont la base est donnée , la somme des carrés des côtés de ce triangle soit égale au carré de la base. U est évident que tous les points de la circonférence décrite sur la base, comme diamètre, jouissent de la propriété énoncée. Si on veut appliquer le calcul à cette question très-simple, on supposera que du point cherché , M (fig. 51), on abaisse une perpendiculaire MP sur la base donnée AB; les distances AP et MP seront deux inconnues qu’il faut connaître pour que le point M soit déterminé. On fera AP=a:, MP=.y, AB = a; et les triangles rectangles AMP, BMP, donneront

ÂM* = MP* -f AP* = yi + x*,

BM* = ffî + PB* = y* + (« — *)*.

iàh

Or, l’énoncé ne donne que la seule condition AM! -f- BM = AB* ; on mettra donc an lieu des lignes leurs valeurs, et on aura, pour déterminer x et y, l’équation unique

yi + ** -f y* -f (a — x )* = a.', ou, en réduisant et transposant,

if — ax — x

Cette équation ne change pas , quelque position qu’on suppose ou point M, soit au-dessus, soit au-dessous de AB. Comme elle contient deux inconnues, on peut donner à l’une d’elles, à x, par exemple, une valeur arbitraire AP; l’autre inconnue, y, se calculera par l’équation, et on connaîtra la hauteur MP, correspondant à la distance AP. En faisant passer x par tous les états de grandeur, on trouvera tous les points de la circonférence qui résout le problème. Remarquons en passant que y a deux valeurs, i / — db\‘(ax — x ’), et qu’on peut établir comme convention, que la valeur négative sera portée au-dessous de AB en PM'.

Sans entrer dans de plus longs détails , ce qui précède suffit pour montrer comment il arrive que les problèmes indéterminés conduisent à la recherche de certaines lignes, dont tous les points jouissent d’une môme propriété , que l’énoncé fait connaître. Les lignes considérées ainsi , c’est-à-dire comme composées de points qui ont une propriété commune, sont désignées sous le nom de lieux géométriques.

La solution la plus élégante d’un problème, dans lequel il s’agit de trouver un point inconnu, consiste souvent à déterminer deux lieux géométriques qui, par leur intersection, font connaître ce point. Mais ce n’est pas le moment de donner des développements à ce sujet.

L’Algèbre s’emploie de la manière la plus heureuse pour connaître les lieux géométriques et découvrir leurs propriétés. La suite de ce Traité a pour objet principal d’exposer les méthodes propres à ce genre de recherches.

179. Pour déterminer la position d’un point sur une droite x'x (fig. 52), on donne la distance de ce point à un point fixe, A, de cette ligne ; et pour indiquer de quel côté il se trouve par rapport au point A , on affecte cette distance du signe -f- ou du signe —, selon que le point est du côté Ax ou du côté Ax'. D’après cette convention, si on désigne d’une manière générale

par x cette distance prise avec le signe qui lui convient, l’équation x = 4- 2 déterminera un point M placé du côté Ax, à une distance AM égale à deux unités de longueur, tandis que l’équation x = — 2 donnera un point M' placé du côté opposé, mais toujours à la môme distance.

Ainsi, le signe — , dont on fait précéder la valeur de x , ne sert gu à indiquer le sens dans lequel on doit porter cette distance.

i80. Pour fixer la position d’un point sur un plan, on trace dans ce plan deux droites x'x et ÿy (fig. 53) , qui font entre elles un angle connu, et l’on mène par ce point, parallèlement à ces lignes, les droites MP, MQ , qui les coupent en certains points P et Q. 11 est clair que le point M est parfaitement déterminé quand on connaît les points P et Q; car en menant, par ces points, PM parallèle à A y, et QM parallèle à Ax, ces parallèles iront se croiser au point M. Or, le point P est déterminé quand on donne la distance AP, et qu’on a soin de l’affecter du signe -j- ou du signe — , selon la position du point P à l’égard du point A ; de même le point Q est déterminé au moyeu de la distance AQ et du signe dont on l’affecte : donc, avec ces données, le point M sera entièrement fixé.

On appelle abscisses les distances telles que AP, ou son égale MQ; et ordonnées les distances telles que AQ, ou son égale MP. La ligne x'x, sur laquelle se comptent les abscisses, se nomme Y axe des abscisses ; y' y est l’axe des ordonnées. Les ordonnées et les abscisses se désignent encore conjointement sous la dénomination de coordonnées : les lignes x'x et y y sont alors les axes des coordonnées , et le point A , où elles se coupent, en est Y origine. Souvent encore on représente d’une manière générale les abscisses par x, et les ordonnées par y; et on dit, pour abréger, que x'x est l’axe des x, et y'y l’axe des y.

Les abscisses x et les ordonnées y doivent être considérées comme des quantités variables qui peuvent recevoir toutes les valeurs possibles, positives et négatives. Le côté des abscisses négatives est tout à fait arbitraire , et il en est de même de celui des ordonnées négatives : mais dans la suite nous prendrons toujours les abscisses positives à droite , c’est-à-dire du côté Ax, et les abscisses négatives à gauche; les ordonnées positives, audessus de l’origine, du côté A y. et les ordonnées négatives audessous.

De ces conventions, il résulte qu’on aura

x positif et y positif dans l’angle ykx , x négatif et y positif dans l’angle y ko/, x négatif et y négatif dans l’angle y' kx', x positif et y négatif dans l’angle ÿkx ;

et quand on donnera à x et à ÿ des valeurs particulières, on reconnaîtra sur-le-champ l’angle où est situé le point que ces coordonnées déterminent. Par exemple, qu’on ait x = — 2 , y = — 3 ; le point sera situé dans l’angle ÿkx'. Si on veut en marquer la position, on prendra, sur kx' , AP = 2, et, sur kÿ, AQ' == 3; et on mènera P'M', Q'M', parallèles aux deux axes: le point M', où ces parallèles se coupent, sera le point demandé.

Pour tous les points de l’axe x'x, l’ordonnée est nulle ; par conséquent les valeurs x = — 2, y — 0, détermineraient le point P'.

De même, pour tous les points de l’axe ÿy, l’abscisse étant nulle, les valeurs x — 0, y = — '3, détermineraient le point Q'.

Enfin, l’origine A serait donnée par les valeurs x = 0, y — 0.

4 SI . Maintenant qu’on sait déterminer la position d’un point, concevons qu’une courbe étant tracée sur un plan , chacun de ses points soit rapporté à deux axes de position connue, et qu’il y ait, entre l’abscisse et l’ordonnée de chaque point , une relation constante , c’est-à-dire une liaison ou dépendance mutuelle qui ne change pas quand on passe d’un point de la courbe à un autre. Il arrive, dans un grand nombre de cas, que cette relation est de nature à être exprimée par une équation entre l’abscisse et l’ordonnée. Cette équation , une fois trouvée , fait connaître une quelconque de ces quantités au moyen de l’autre, de sorte qu’en donnant à l’abscisse, par exemple, des valeurs arbitraires, on déduit de l’équation les valeurs correspondantes de l’ordonnée, et on obtient ainsi autant de points de la courbe qu’on voudra.

S’il s’agit d’une ligne droite, telle que AB (fig. 54), qui divise en deux parties égales l’angle ykx , des coordonnées , on observe que, pour chaque point de cette ligne, l’ordonnée est égale à l’abscisse; donc la relation de ces deux coordonnées sera exprimée par l’équation

Avec cette équation, on trouve autant de points qu’on veut de la droite en donnant à x des valeurs particulières. Si on donne à x

des valeurs positives , on trouve pour y des valeurs positives , ce qui détermine les points de la droite situés dans l’angle yAx. Si on donne à x des valeurs négatives, y est négatif, ce qui détermine des points situés dans l’angle x'Ay' . 11 est clair, en effet, que dans l’angle x'Ay', pour chaque point du prolongement de AB, l’abscisse et l’ordonnée sont négatives et toujours égales.

L’équation qui exprime d’une manière générale la relation constante de l’abscisse et de l’ordonnée d’une ligne, est dite l’équation de cette ligne. Cette ligne, à son tour, se nomme le lieu de l’équation.

Ainsi, y = x est l’équation de la droite qui divise en deux parties égales l’angle des coordonnées; et, réciproquement, la ligne qui divise en deux parties égales l’angle des coordonnées est le lieu de l’équation y — x.

182. Une ligne donnée ne peut avoir une équation qu’ autant qu’on connaît ou la définition , ou la génération , ou bien encore une propriété de cette ligne. Ainsi, on ne saurait représenter par une équation le trait que décrit la plume d’un écrivain, parce qu’on ignore tout à fait la loi de sa génération; mais on aura facilement l’équation du cercle en partant de sa définition, savoir : que tous ses points sont également éloignés du centre. Quant au lieu d’une équation , il est facile à déterminer, ou du moins on n’y rencontre pas d’autre difficulté que celle de résoudre l’équation.

Exemples de lieux géométriques.

183. Je proposerai d’abord des exemples dans lesquels il faut construire des lieux géométriques d’après des équations données.

Exemple I (fig. 55). Soit l’équation

ay = x *,

dans laquelle on représente par a une longueur donnée , et par x et y les coordonnées d’une ligne qu’il s’agit de construire. L’équation étant homogène, l’unité est arbitraire (1G4), et je puis prendre a = 1, ce qui donne

Pour avoir la courbe, je donnerai à x différentes valeurs positives et négatives; je tirerai de l’équation, pour y, des valeurs correspondantes, qui seront toutes réelles, et chaque solution de l’équation déterminera un point de la ligne cherchée. Ainsi, x = 2

DEUXIÈME PA.HTIE.

'1/jS

donnant y — 4, si on prend AP = 2 du côté Ax, et qu'on mène, du côté des y positifs, PM parallèle à A y et égale à 4, le point M appartiendra au lieu géométrique de l’équation. On obtient ainsi autant de points qu’on veut, à des distances d’autant plus rapprochées que les valeurs de x le sont elles-mêmes davantage.

En faisant x — 0 on a y = 0 ; donc la ligne représentée par l’équation y = x' passe par l’origine.

Si on pose x—i, 2, 3, 4, 5, 6, etc.,

on trouve y= 1, 4, b, 16, 2», 36, etc.;

l’ensemble de ces valeurs détermine des points dans l’angle ykx .

Si on fait x = — 1, — 2, — 3, — 4, etc.,

on a encore y— 1, 4, 9, 16, etc.;

ces coordonnées déterminent des points situés dans l’angle yAxf, On voit que l’ordonnée, à partir de x = 1, croît beaucoup plus rapidement que l’abscisse : c’est ce que montre sur-le-champ

l’équation. En effet, elle donne | = x, ce qui prouve que depuis

x = 1 , ce rapport surpasse l’unité et augmente en même temps que x; donc l’ordonnée contient l’abscisse un nombre de fois d’autant plus grand que l’abscisse est elle-même plus grande.

Pour ne pas se tromper sur la forme de la courbe dans le voisinage de l’origine , il est nécessaire d'en avoir, vers cette partie , des points assez rapprochés. C’est pourquoi l’on calculera les ordonnées correspondant aux abscisses fractionnaires 0,1, 0,2, 0,3,... On obtient ainsi le tableau suivant :

a: =0,10, 0,20, 0,30, 0,40, 0,50, etc.,

y = 0,01, 0,04, 0,09, 0,16, 0,25, etc.

Il fait connaître que l’ordonnée diminue plus rapidement que l’abscisse, quand la courbe approche très-près de l’origine; et, en

effet, le rapport ^ = x est alors très-petit.

Après avoir construit un certain nombre de points, on les joint par un trait continu , et l’on a le lieu de l’équation avec d’autant plus d’exactitude que ces points sont plus nombreux. C’est ainsi qu’a été tracée la courbe représentée sur la figure.

On sent bien qu’il est impossible d’obtenir en réalité tous les

GÉOMÉTItlE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. :1.M>

points dont les coordonnées satisfont à l’équation y=x! : car il est impossible de substituer, pour x, des valeurs qui ne soient pas discontinues. Mais comme on conçoit parfaitement qu’en faisant varier x d’une manière continue, y doit aussi varier d’une manière continue, il en résulte que la continuité existe dans la suite de tous les points que l’équation détermine. S’il restait quelque doute à cet égard , on le dissiperait en remarquant que la discontinuité ne pourrait avoir lieu que parce qu’il y aurait des abscisses sans ordonnées correspondantes : or, c’est ce qui n’arrive pas , puisque chaque valeur réelle de x en détermine aussi une réelle de y.

Exemple II (fig. 56). Soit l’équation

Le double signe montre que, pour chaque abscisse AP, il faut porter, au-dessus et au-dessous de l’axe x'x, des ordonnées égales. l)e là il suit que si les axes étaient rectangulaires , et qu’on fit tourner la partie inférieure de la courbe autour de x'x, cette partie viendrait coïncider avec la partie supérieure; donc elle lui serait égale.

Quand on fait x négatif, y est imaginaire ; donc la courbe n’a aucun point du côté Ax'.

En faisant x = 0, on a ÿ = 0; donc la courbe passe à l’origine.

Lorsque x croît positivement, y est réel et de plus en plus grand; et même les deux coordonnées n’ont aucune limite, puisque x infini donne y infini. Il résulte de là que la courbe, à partir de l’origine , se sépare en deux branches qui s’éloignent indéfiniment des deux axes, du côté des abscisses positives, l’une audessus de l’axe des abscisses, et l’autre au-dessous.

On n’a encore qu’une idée générale de la forme de la courbe. Pour la connaître avec plus de précision , il faut la construire par points, comme on a fait n° précédent. L’équation étant homogène l’unité est arbitraire; on peut supposer a =1 , et on aura

y — ztS/xK

En donnant à x des valeurs entières et en calculant les valeurs

de y, on forme le tableau suivant :

x=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc.

y— 0, ±1, ±2,82, ±5,19, ±8, ±11,18, ±14,69, etc.

En donnant à x des valeurs fractionnaires, on forme cet autre tableau :

x= 0,10, 0,20, 0,30, 0,40, 0,50, 0,60, 0,70, etc.

y = ±0,02, ±0,09, ±0,16, ±0,25, ±0,35, ±0,46, ±0,58, etc.

L’équation donne ^ = ^x; donc ce rapport est très-grand

quand x est très-grand, et il est très-petit quand x est très-petit, ce qui justifie la forme donnée à la courbe sur la figure.

Exemple III (fig. 57). Soit encore l’équation

y* — 3axy -f- a;’ = 0.

Jusqu’ici on a fait croître l’abscisse en progression arithmétique, mais on peut adopter telle autre loi qu’on voudra; et même il peut être utile d’employer une troisième indéterminée dont les relations avec x et y soient moins compliquées que celle qui est donnée entre ces variables. C’est ainsi que dans l’exemple proposé, pour éviter la résolution d’une équation du 3* degré, on fera y = tx. Après cette substitution , l’équation peut être divisée par x 1 et devient

t*x—3at-\-x=0.

De celle-ci on tire x en t, puis on exprime aussi y en t. On trouve

Alors on fera passer t par tous les états de grandeur, on calculera les valeurs correspondantes de x et y, puis on construira la courbe par points.

En supposant *= 0, on a ar=0 et y — 0, ce qui détermine l’origine A. Si on fait croître * positivement, les valeurs de x seront positives, et commenceront aussi par croître : mais elles ne dépasseront pas une certaine limite; car lorsque t est très-grand, x est très-petit , à cause de *s qui est au dénominateur. Quoique nous n’ayons pas de méthode pour assigner cette limite , il n’en est pas moins évident qu’elle existe, et d’ailleurs elle se trouve déterminée par approximation quand on calcule ce que devient x

pour des valeurs de t très-rapprochées. Pareillement, l’ordonnée y augmente jusqu’à une certaine limite, après laquelle elle diminue. Enfin, pour <=e», on a x — 0, y — 0, et ces valeurs ramènent à l’origine. On obtient de cette manière la feuille ACDEA. Sur quoi il faut observer que, l’équation proposée étant symétrique en x et en y, la droite AD, qui divise l’angle ykx en parties égales, doit partager aussi la courbe en parties égales.

Il faut maintenant donner à t des valeurs négatives. Pour plus de commodité, je change t en — t : il vient

3 at 3 at*

y=fzr^i

et alors on devra prendre t positivement. En faisant augmenter t de 0 à 1, les variables x ei y croissent de zéro à l’infini, l’une négativement, et l’autre positivement : ainsi se construit la branche indéfinie AF. La même chose arrive quand on fait décroître t depuis l’infini jusqu’à 1, avec cette seule différence que x est positif, tandis que y est négatif : de là résulte la branche AG qui achève la courbe demandée. Cette courbe est connue sous le nom de folium de Descartes.

, 184. Proposons maintenant des problèmes dans lesquels il s’agira de trouver les équations de quelques lieux géométriques.

Problème I. (fig. 58). Soit ALB un cercle donné, et BC une perpendiculaire élevée à l’extrémité du diamètre AB; du point A, tirez une infinité de lignes telles que AD , qui coupe BC en D et la circonférence en L ;et sur chacune prenez AM= LD : le lieu des points M, ainsi déterminés, sera me courbe dont, on demande V équation.

Cette ligne est la cissoïde inventée par Dioclès. Je prendrai le diamètre AB pour axe des abscisses, et la perpendiculaire At/ pour axe des ordonnées. J’abaisse MP, LQ, perpendiculaires sur AB, et LB perpendiculaire sur BC. Je fais AP = x, MP — y, AB= a. Pour avoir une équation entre ces quantités, je remarque d’abord que les triangles AMP, LDR sont égaux ; donc QB = LR = AP= x, et AQ = a — x. La ligne LQ est moyenne proportionnelle entre AQ et QB; donc LQ = <Jx (a — a;). Enfin les triangles semblables

AMP, ALQ, donnent ^ ^ ou