ER

\rax— x~

Mais MP ou g = ER -j- MQ; donc

2x la -4- x) y—

y' a5 — xx

En ctfectuant les calculs et les réductions, puis élevant au carié, ou trouve l’équation demandée,

, .i (fl + XT '

Si on faitx = 0, on a y = ±; a; donc, en prenant AB'= AB = a, la courbe passera aux points B et B'. Si on fait ;/ = <), il vient x = — a; donc, en prenant AG = a, du côté des abscisses négatives, le point G appartiendra à ia courbe. En continuant cette discussion on obtient toute la courbe.

Elle parait semblable à la cissoïde du problème I, et on peut même démontrer que les équations des deux courbes ne diffèrent que parce que les abscisses partent du point A dans l’une d’elles, tandis qu’elles partent du point G dans l’autre. En effet, si au lieu de AP on prend CP pour abscisse, et qu’on désigne CP par x on aura évidemment x = x' — a ; et en mettant cette valeur dans l’équation de la courbe, il vient

équation d’une cissoïde rapportée aux axes CX, Gy, et construite avec le cercle dont le diamètre est égal à 2 a.

Problème III (fig. 60). Sur une base donnée AB décrire un triangle AMB, tel qu'en abaissant sur AM et BM les perpendiculaires BG et AD, qui se coupent en N, on ait la somme des triangles AMB, ANB, •égale à un carré donné k*.

Il s’agit de trouver le sommet M. Pour cela, j’abaisse la perpendiculaire MP, et je remarque, d’après une propriété connue, qu’elle doit passer par le point N. Je fais AP = x, MP = y, NP = y', AB = a. Les triangles AMB, ANB, ont pour surfaces 1 a y, !,ay'- donc leur somme est { a [y -f- y') : or, cette somme doit être égale à A1; donc on a l’équation

£«(y-f yD—K1.

II faut maintenant exprimer y' au moyen des coordonnées x et

y du point M. Or, les triangles AMP, BNP, sont semblables au

triangle ACB, et par conséquent semblables entre eux ; donc ils

donnent NP : BP :: AP : MP, ou

y:a — x::x:y; dou y = — - — .

En mettant cette valeur dans l’équation précédente, on a

ou bien, en faisant — = b et réduisant, a

y * — %y — xi-\-ax = O .

Cette équation est celle du lieu géométrique des sommets de tous les triangles qui satisfont à la question. Nous laissons au lecteur le soin de rechercher quelle doit être la forme de la courbe.

185. Il serait superflu de multiplier davantage ici les exemples. Plus tard, nous en proposerons d’autres auxquels on pourra faire l’application des théories et des méthodes de calcul que nous avons encore à exposer.

CnAPIïRE III.