TRANSFORMATION DES COORDONNÉES

Objet de cette transformation.

186. L’équation d’une courbe ne reste pas la même quand on change les axes auxquels on la rapporte. Nous en avons déjà un exemple dans le problème II du n° 181, qui a conduit à une équation dont la différence avec celle de la cissoïde ne venait que de la position de l’origine des abscisses. Le cercle en offre encore un exemple frappant. Si on prend pour axes deux diamètres rectangulaires (flg. 61), et qu’on désigne le rayon par R, on aura, pour chaque point de la circonférence, l’équation a:*-|-y‘= R2:

car cette équation exprime, ainsi que le montre la figure, que la distance de l’origine à chaque point de la courbe est égale à R.

Mais supposons que les axes rectangulaires auxquels on rapporte le cercle ne passent point par le centre, et désignons les coordonnées de ce centre par a et p. Soit O le centre (flg. 62) et M un point quelconque de la circonférence; menons OB, MP, perpendiculaires à l’axe Ax, et OQ perpendiculaire à MP, le triangle OMQ donnera OQ2 + MQ1 = OM2 . Or, OQ = AP — AB = x — a.

MQ = MP — OB = y — p, et OM == R ; donc on aura, pour l’équation du cercle

ou, en développant les carrés,

x1 — •Sctr-f-#* — 2|3y + a*-)- p* = R*.

Cette équation est, comme on voit, beaucoup moins simple que la première. On en aurait une moins simple encore si les axes n’étaient point-rectangulaires.

187. Puisque l’équation d’une ligne peut devenir plus ou moins simple, selon les axes auxquels elle est rapportée, il s’ensuit qu’on doit avoir le plus grand soin , lorsqu’on cherche l’équation d’une courbe, dont on donne la génération ou une propriété quelconque, de faire choix d’un système d’axes qui n’entraîne point dans des calculs compliqués, et qui conduise à l’équation la plus propre à manifester la forme et les propriétés de la courbe.

D’un autre côté, il peut se faire qu’on connaisse déjà l’équation d’une ligne rapportée à un système d’axes déterminés, et il n’est pas moins important de savoir trouver l’équation qui représenterait cette même ligne rapportée à d’autres axes. Ce problème sera résolu quand on connaîtra, pour un point quelconque, les valeurs des anciennes coordonnées en fonction des nouvelles; car alors, en substituant ces valeurs dans l’équation proposée , on obtient une relation entre les nouvelles coordonnées de chacun des points de la courbe que l’on considère. C’est en cela que consiste la transformation des coordonnées.

Formules pour la transformation des coordonnées.

188. D’après ce qui précède, la question à résoudre est celle-ci : Exprimer les coordonnées primitives d’un points quelconque en fonction des nouvelles.

Supposons d’abord que la direction des axes reste la même, et que l’origine seule varie. Soit (fig. 63) A' la nouvelle origine, et AV, A y, les nouveaux axes auxquels on veut rapporter les points précédemment rapportés aux axes parallèles A.x\ A y. Si on prend un point quelconque M, situé dans l’angle y AV, et que l’on mène l’ordonnée MP qui coupe AV en F, on a évidemment

AP = AB -f BP, MP = AB -f- MF.

AB et A'B sont les coordonnées de la nouvelle origine : elles déterminent sa position par rapport aux anciens axes. Faisons donc AB = a et A'B = 6; représentons par x, y, les anciennes coordonnées du point M ; et par x', ÿ, les nouvelles. Alors on aura

Ces formules serviront à changer deux axes quelconques en d’autres qui leur soient parallèles.

189. Passons maintenant au cas général, dans lequel on change en même temps l’origine et la direction des axes.

Soient Ax et A y (fig. 64) les axes primitifs , qui forment entre eux l’angle yAx = 0; et soient AV, A 'y', les nouveaux axes. Menez A'E parallèle à Ax, et A'F parallèle à A y. Pour déterminer les derniers axes , il suffit de connaître les coordonnées AB, A'B, de l’origine A', et les angles x'A'E, y' A'E, que ces axes font avec la droite A'E. Je désignerai ces deux coordonnées par a et b, et ces deux angles par a etV.

Soit M un point quelconque : menez MP parallèle à A y, et MQ parallèle à A'y'. Les anciennes coordonnées du point M sont AP = x, PM = y ; les nouvelles sont A'Q = x', MQ = y'.

Menez QS parallèle à A y, et QT parallèle Ax, on aura

Le triaDgle A'QS donne (65),

x = AP = a-j-A'S + QT, y = PM = ô+ QS + MT.