A'S QS
sinA'QS sinQA'S sinA'SQ- Mais on a A'Q = x', sin A'QS = sinFAV =sin(0 — a), sinQA'S =sin«, sinA'SQ = sin (480° — 0) = sin6; donc A'S QS x'
De là on tire
x' sin (0 ■
sin a
sinO"
il, QS=Î^.
sinO sinO
QT
MT
MQ
De même le triangle MQT donne .
Or on a MQ = y1, sin QMT = sin ÿ'A'F = sin(0 — a'), sin MQT =siny'A'E=sina, sinMTQ = sin(180° — 0) = sin 0 ; donc
QT MT y sin '0 — a') sin « — sinO ‘
De là on tire
ÿ'.inl»-.') mt=î!W, smO sinO
Maintenant il ne reste plus qu’à remplacer A'S, QT, QS, MT, par leurs valeurs, pour obtenir les valeurs cherchées, savoir :
, x' sin (8 — «) + y1 sin (8 — a')
sïnë »
x'sina -|- y'sina' sinO
Elles sont rarement employées dans toute leur généralité; mais nous allons en déduire, comme cas particuliers, celles dont l’usage est le plus fréquent.
190. Formules pour passer d’un système de coordonnées rectnn gu/aires à un système de coordonnées obliques.
Dans ces formules générales il faut faire 0 = 90°; et elles se réduisent à celles-ci
! . | x = a-f-a;'cosa -j- ÿ'cosa',
1 ( ÿ = è-|-a;’sina-i-ÿ'sin#'.
191. Formules pour passer d’un système de coordonnées rectangulaires à de nouvelles coordonnées rectangulaires.
11 faut faire de plus «'=90° -(- a dans les dernières formules. On remarquera que
sin « == sin (90° + <*) — sin (90° — a) = cos a , cos a' = cos (90° +«) = — cos(90° — a) = — sin a. Par suite, il viendra
x — a -f- x'cosa — y’sin a, y = b -f-x'sin a-{-ÿ'cosa.
192. Formules pour passer d’un système d’axes obliques à un système d’axes rectangidaires.
Il faut , dans les valeurs générales , faire a' = 90° «. On aura
sina' = sin^90° a) = sin(90° — a)=cosa, et sin(0 — a') = sin (6 — 90° — a) = — sin [90° — (0 — a)] = — cos (0 — a) .
Par suite , les formules deviendront
x! sin (0 — a) — y' cos (0 — al sin0
y sin a -j-;/cosa sin 0
193. Outre les coordonnées parallèles à des axes qui se coupent, les géomètres en emploient encore d’autres qu’ils nomment coordonnées polaires, et que nous ferons connaître plus tard.
Remarques sur les formules de la transformation.
194. Pour que ces formules aient toute la généralité dont elles sont susceptibles, il faut donner aux diverses coordonnées les signes qui conviennent à leur position, et aux angles l’extension nécessaire pour que les nouveaux axes puissent prendre toutes les inclinaisons possibles à l’égard des axes primitifs.
S’il s’agit des formules [4] qui ont été déduites de la fig. 63, il faudra y supposer x et x positifs dans le sens Ax, A'x', et négatifs dans le sens contraire; et de même, y et ÿ positifs dans le sens A y, Ay, et négatifs au-dessous. Par exemple, pour un point situé comme l’est le point N, il faudra prendre x= AQ, x1 = — A'Q', y = — QN, y — — Q'N. En effet, ces valeurs vérifient les formules [Il : car, en les substituant, il vient
AQ = a — A'Q' = AB — BQ = AQ,
— QN = b — Q'N = A'B — Q'N = Q’Q — Q'N — — QN.
Si on faisait occuper au point N toutes les positions possibles, on obtiendrait toujours des vérifications analogues, en ayant soin de prendre les signes comme il a été prescrit.
Il faut encore remarquer que la figure suppose la nouvelle origine A' située dans l’angle ykx. Si on veut la placer dans un autre angle, dans l’angle x,A yt, par exemple, il suffira de considérer les coordonnées a et b comme ayant des valeurs négatives dans les formules [1]. C’est ce qu’on vérifierait en cherchant directement, pour la nouvelle position de l’origine A', les valeurs de x et de y.
Quand on fera usage des formules [2] , ou des suivantes, qui en sont déduites , on devra soigneusement se rappeler :
1° Que 0 représente l’angle ykx, formé par les portions des anciens axes sur lesquelles sont mesurées les coordonnées positives : on peut toujours regarder cet angle comme moindre que 180°.
2° Que a et a ' sont les angles formés, du côté des x positifs, par les portions A'x', A';/, des nouveaux axes, sur lesquelles se comptent les x' et les y positifs : ces angles peuvent croître jusqu’à 360°. Pour les évaluer plus facilement, on mène, par l’origine A' dans le sens des x et des y positifs, les droites A'E, A' F, parallèles à
ces coordonnées, puis on suppose que AV et A ’ij, d’abord confondus avec la ligne A'E, s’en écartent, en se rapprochant de A'F, pour venir à leurs positions actuelles ; et ce sont les arcs décrits par un point de ces lignes qu’on devra prendre pour la mesure des angles a et oé.
Éclaircissons ce qui précède par un exemple. Les deux systèmes d’axes étant dans les positions qu’indique la figure 65 , supposons qu’on ait AB = 3, A'B =2, l’arc Xg = 87°, Xgv =240% Xgvp = 31 b”.
Dans les formules générales, il faudra faire « = 3, h = — 2, (l = 87°, a = 240% a' = 31b°. Ces formules deviendront d’abord
, x'sin{87° — 240°) + 2/sïn (87° — 315”)
a , x' sin 240° -)- // sin 315° ÿ — -2-1 ;
Mais, d’après la Trigonométrie, on a
sin 240° = — sin (240 — 180) = — sin 60%
sin 31 b° = — sin (360°— 315°) =— sin 45%
sin (87° — 240°)= sin (—153°)=— sin (180°— 153")= — sin 27%
sin (87°— 315°)= sin (—228°)= — sin (180°— 228") =+ sin -48“.
Par suite de ces réductions, on aura simplement
— x' sin 27° -f- xj sin 48“
x' sin 60° + )/ sin 45°
