CLASSIFICATION DES LIGNES EN GÉNÉRAL

195. Les géomètres de l’antiquité ont dû étudier les lignes courbes dans l’ordre même où elles se sont offertes à leurs recherches; mais ils n’ont point tardé à laisser de côté celles dont la découverte avait été, en quelque sorte, fortuite, pour donner

DEUXIÈME l'AUTIE.

une attention plas particulière à celles qui peuvent se trouver par des considérations générales. C'était saus doute une idée simple et féconde de couper le3 surfaces par des plans, et de rechercher ensuite les propriétés des lignes résultant de ces intersections : aussi s’est-elle présentée à eux; et comme les surfaces courbes connues par les éléments de géométrie sont celles de la sphère , du cylindre et du cône, c’est en coupant ces corps par des plans, qu’ils ont obtenu les lignes vers lesquelles ils ont dirigé leurs méditations. La section de la sphère est un cercle, et celle du cylindre se retrouve dans le cône ; de sorte que ces lignes nouvelles se sont réduites aux seules sections coniques, courbes fameuses, sur lesquelles Apollonius de Verge a laissé un beau et savant traité.

Aujourd’hui, l’on doit adopter une autre marche; et puisque les lignes peuvent être représentées par des équations , c’est dans les équations qu’il faut les chercher. L’ordre à suivre dans l’étude des lignes se présente alors de lui-même.

19G. Toutes les équations, entre les coordonnées x et y, qui peuvent être ramenées à la forme

kym -f- (Bx -(- G) y"*-1 -|- (Dx* + Ex F) y"-* -f- etc. = 0 ,

sont appelées algébriques : toutes les autres sont des équations transcendantes. De là résulte la distinction des lignes en algébriques et en transcendantes, suivant que leurs équations sont ellesmêmes algébriques ou transcendantes. On classe ensuite les lignes algébriques diaprés le degré de leurs équations par rapport aux coordonnées x et y. L’ordre de la ligne est marqué par l’exposant de ce degré.

La ligne droite, qui divise l’angle des coordonnées en deux parties égales (181 ) , et qui a pour équation y = x, est une ligne «lu 1" ordre, parce que son équation est du 1" degré. La courlxï (lu n° 183, Exemple I, laquelle a pour équation ay — x’ est du 2e ordre; celle de I’Exemple II est du 3e.

Newton remarquant que le premier ordre ne renferme que des lignes droites, ainsi qu’on le verra tout à l’heure, appelait courbes du premier genre celles qui sont données par des équations du 2e degré, courbes du second genre celles dont l’équation est du 3°, et ainsi de suite. Mais ces dénominations n’ont pas été adoptées; et aujourd’hui, pour la facilité de l’expression, on dit indifféremment ligne ou courbe du second ordra. du troisième ordre, etc.

ÜÉ0MÉTK1E ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. ltil

197. La classification des lignes en différents ordres, suivant le degré des équations, serait défectueuse s’il pouvait arriver qu’en changeant les axes des coordonnées , le degré de l’équation changeât; mais il n’en est point ainsi. En effet, étant donnée, entre x et y, l’équation d’une ligne rapportée à certains axes, pour avoir l’équation de la même ligne rapportée à de nouveaux axes , il faut remplacer, dans l’équation donnée, x et y par les valeurs trouvées n° 189 : or ces valeurs sont du premier degré par rapport à x' et à y', donc le degré de l’équation ne saurait s’élever par cette substitution. Par cela même qu’il ne peut point s’élever, il ne peut pas non plus diminuer : car, si cela était possible, il faudrait qu’en revenant des nouveaux axes aux anciens le degré s’élevât.

198. L’équation générale d’un certain degré comprend nonseulement les lignes dont l’ordre est indiqué par ce degré ; mais encore toutes celles d’un ordre inférieur. Par exemple, si on a l’équation du 2' degré,

(y — ax — b ) (y — a x — b1} = 0 ,

il est clair qu’elle sera vérifiée , soit en posant y = ax + b , soit en posant y = a'x-{- b'. Ces deux équations représentent deux lignes du premier ordre : ainsi, à parler exactement, l’équation proposée ne représente pas une ligne du second ordre, mais bien deux lignes du premier; et même elle n’en représenterait plus qu’une seule, si on avait a' = a et b' = b.

Semblablement, l’équation du 3* degré,

{y — ax—b) (cy — x')= 0,

représente une ligne du premier ordre, laquelle est donnée par l’équation y = ax -{- b; et une ligne du second ordre, laquelle est donnée par l’équation cy = x*.

199. Une droite ne peut pas rencontrer une ligne de l’ordre m eu plus de m points. En effet, supposons qu’on prenne cette droite pour l’axe des x , et que U — 0 soit alors l’équation de la ligne dont il s’agit : si on veut connaître en quels points elle est coupée par la droite^ÊKaut faire y — 0 dans l’équation U — 0; et les valeurs corresj^^^mes de x seront les abscisses des points cherchés. Or, l’équMH^— ü étant du degré tu, celle qui donne x sera au plus du degiw^ donc x n’aura pas plus de m valeurs; donc il ne peut pas y aflr plus de m points d’intersection. Mais remarquez que le nombre de ces points peut être moindre; car il

DEUXIEME J'AKTIE.

peut se faire que l’équation en x soit d’un degré inférieur à m : et même cette équation étant de degré m, si elle a des racines égales ou des racines imaginaires, le nombre des points d’intersection sera encore moindre que m.

200. Une ligne du premier ordre ne peut donc jamais être rencontrée par une droite en plus d’un point; et comme il est évident qu’aucune ligne courbe ne jouit de cette propriété , on en conclut sur-le-champ que les lignes du premier ordre sont droites.

201 . Il peut arriver que y soit facteur dans tous les termes de l’équation U = 0. Alors elle est satisfaite en faisant y = 0, quel que soit x, et tous les points de l’axe des abscisses se trouvent ainsi indiqués comme points d’intersection. Or, si on met le facteur commun en évidence, l'équation peut s’écrire ainsi :

Vy = 0;

et il est clair qu’on y satisfait en posant soit V = 0, soit y = 0. Cette dernière équation représente l’axe des x; mais l’autre, V = 0, qui n’est plus que du degré m — 1, ne peut pas représenter une ligne du degré m.

Si on veut maintenant ne plus prendre la droite donnée pour la ligne des x, et employer des axes quelconques, il faut mettre dans l’éq. Vy = 0les valeurs de x et de y trouvées n° 189. On obtient alors une équation de la forme

Y (a -J- bx/-\- cy') = 0,

dans laquelle V’ sera du degré m — 1 en x', y'.

De ce qui précède on peut tirer cette conclusion : Si on trouve sur une droite plus de m points, dont les coordonnées satisfassent à une équation du degré m, les coordonnées des autres points doivent également y satisfaire, et cette équation est décomposable en deux autres, dont l’une est du premier degré, et Vautre du degré m — 1 .

202. On ne se borne pas à distribuer les courbes algébriques en ordres, d’après le degré de leurs équations ; on cherche encore les différents genres de lignes qu’un même ordi^JA, renfermer, et même, s’il y a lieu, les différentes espèces i^^^^ue genre. On classe ensuite toutes ces lignes entre elles cJ^^certains caractères, faciles à reconnaître, qui les distraient complètement les unes des autres ; puis enfin on s’attachai déterminer la forme et les propriétés de chacune d’elles. C’est ce que nous ferons pour

les deux premiers degrés. Dans l’un il n’y a que des lignes droites, ainsi qu’on l’a déjà dit : l’autre donnera trois genres de courbes bien distinctes.

L’énumération des lignes du troisième ordre a été faite, d’abord par Newton, qui en avait trouvé soixante-douze espèces comprises sous quatorze divisions. Mais Stirling a restitué quatre espèces qui avaient été omises par ce géomètre; et même Cramer en a ajouté encore deux autres, ce qui ferait en tout soixante-dix-huit espèces. Du reste, Cramer maintient, sous la dénomination de genres, les quatorze divisions principales de Newton : seulement il les place dans un ordre différent. Voyez Newton, Enumeratio linearum tertii ordinis; Stirling, lineæ tcrtii ordinis Neutonianæ ; Cramer, Introduction à l’analyse des courbes algébriques.