LIGNES DU PREMIER ORDRE

Construction de» équations du premier degré.

203. On sait déjà que l’équation du premier degré ne peut donner que des lignes droites (200). Je vais démontrer ici cette proposition, sans avoir recours à aucune transformation de coordonnées.

Toutes les équations du premier degré sont comprises dans la forme générale Aÿ -j- B.r = C : construisons d’abord l’équation plus simple

y = ax,

dans laquelle nous supposerons que a est une quantité positive.

Si on donne à x des valeurs positives, y sera positif, et si on donne à x des valeurs négatives, y sera négatif; donc tous les points déterminas par l’équation y — ax sont situés dans l’angle ykx (fig. 66) et dans l’angle opposé ykx .

Cette équation donne

Ainsi, pour tous ces points, le rapport de l’ordonnée à l’abscisse est égal à la constante a; par conséquent, si M et M' sont deux de ces points, et qu’on mène les ordonnées MP et MF, les triangles MPA, M'P'A, qu’on formerait en tirant les droites MA, M'A, sont semblables: donc les angles MAP, MAF, sont égaux; donc les droites AM, AM', se confondent, ainsi que toutes celles qui seraient menées du point A aux ditférents points déterminés par l’équation y — ax. Gela veut dire, en d’autres termes, que tous ces points sont une ligne droite DAD', menée par l’origine et par l’un quelconque d’entre eux.

Réciproquement, tous les points de cette droite peuvent être considérés comme déterminés par l’équation y = ax. En effet, soit M un point, déterminé au moyen de cette équation, par lequel la droite DAD' a été menée, et soit M' un point quelconque (le cette droite; si on abaisse les ordonnées MP, M'F, les triangles AMP, AM'P', seront semblables et donneront