Construisons actuellement l’équation y = ax -j- b
dans laquelle nous supposerons, afin de mieux fixer les idées, que a et b sont positifs. On observera que si on donne à x, dans cette équation, les mêmes valeurs que dans l’équation y — ax, la différence des valeurs correspondantes de y sera constante et égale à b. Donc le lieu de la nouvelle équation est une droite parallèle à la droite DD'(fig. 67), que l’équation y—ax détermine; et on construira cette nouvelle ligne en prenant AB = b sur A y, et en menant BE parallèle à AD.
S’il reste des doutes à cet égard, on peut les lever en prenant des points de la droite, dans chacun des trois angles qu’elle traverse, et en démontrant que pour tous ces points on a y =ax- f b. Si, par exemple, on considère un point M sitné dans l’angle y Ax', qu’on mène MP parallèle à A y, et qu’on prolonge cette parallèle jusqu’au point N où elle rencontre DD', on aura
MP == MN — PN = b — PN.
L’abscisse des points M et N est égale à — AP; donc l’ordonnée correspondante du point N, qui est situé sur la ligne DD', sera égale à — a x AP. Cette valeur est négative, parce que le point N est au-dessous de x'x : en ne prenant que la valeur absolue, on a PN = a x AP, et par suite
MP = 6 — a x AP,
valeur égale à celle qu’on déduit de l’équation y = ax + b en y substituant — AP à la place de x.
Nous venons de construire l’équation y=ax-\-b, dans la supposition que a et b étaient des quantités positives; mais cette équation présente trois autres variétés relativement aux signes de ces constantes, savoir :
y—ax — b, y — — ax b, y= — ax — b.
On peut appliquer à chacune de ces équations des raisonnements semblables à ceux qu’on a faits pour l’équation y=«x-|-5, et on trouve toujours une ligne droite, mais la position n’en est point la même. Voici les constructions propres à chacun de ces trois cas s
Si l’équation est y =ax — b, on construit, comme dans le premier cas, la droite AD (fig. 68), représentée par l’équation y = ax, on prend encore sur l’axe des y une distance AB = b, mais du côté opposé à A y, et on mène encore BE parallèle à AD.
Si on a l’équation y = — ax -\- b, on construit la droite dA (fig. 69), représentée par l’équation y = — ax, on prend AB = b, du côté A y, et on mène encore BE parallèle à Ad.
Enfin, quand on considère l’équation y = — ax — 6,1a seule différence avec le cas précédent consiste en ce que l’on prend AB=6 (fig. 70) au-dessous de l’origine, du côté AxJ .
205. Lorsque A n'est pas nul, on peut ramener l’équation Ay -j- Bx = C à la forme y — ax=-\- b, et cette dernière représente toujours une droite, ainsi qu’on vient de le démontrer. Quand A = 0, l’équation se réduit à
Bæ = C, ou £=-;
et il est clair que celle-ci a pour lieu géométrique une droite CF (fig. 71) parallèle à l’axe des y, et qui rencontre l’axe des x à une
distance AC de l’origine, égale à g, du côté Ax ou du côté Ax',
selon que cette quantité est positive ou négative.
206. Concluons maintenant que, dam tous les cas , l'équation du premier degré a pour lieu géométrique une ligne droite.
207. D’après ce qui précède, pour construire une équation du premier degré, il faudrait d’abord la mettre sous la forme y = ax + b, construire la droite représentée par l’équation y — ax, prendre sur l’axe des y, au-dessus ou au-dessous de l’origine, une distance égale à b, et mener ensuite une parallèle à cette droite. Mais il est plus simple de déterminer les deux points où la droite cherchée rencontre les axes, ce qui se fera en supposant successivement x — 0 et y — 0, dans l’équation de cette droite.
Soit, par exemple, l’équation
Pour trouver le point où la droite qu’elle représente vient couper l’axe des ordonnées, on remarque que pour ce point l’abscisse est zéro ; c’est pourquoi on fait x = 0 dans l’équation, et on trouve l’ordonnée correspondante y = — J. Si donc on prend (fig. 72), du côté des y négatifs , la distance AB égale aux * de l’unité de
longueur, le point B appartiendra à la droite cherchée. De même, le point de cette droite qui est sur la ligne des abscisses, ayant une ordonnée nulle, je ferai y = 0, et j’aurai l’abscisse correspondante £ = {, ce qui montre qu’en prenant, dans le sens des x positifs, AG = | , le point G appartiendra encore à la droite cherchée. Cette droite est donc déterminée.
208. Jusqu’à présent on a démontré seulement que l’équation du premier degré représente toujours une ligne droite. Actuellement, on va faire voir qu’il n’y a pas de ligne droite qui ne puisse être donnée par une équation du premier degré.
4° D’après ce qui a été vu n" 203, pour construire la droite de l’éq. y = ax, on fait x=\, ce qui donne y = a, on prend sur Ax (fig. 66), dans le sens des abscisses positives, une distance AF pour représenter l’unité , qui est ici tout à fait arbitraire, on mène KFK' parallèle à l’axe des y, on prend sur cette parallèle, et dans le sens indiqué par le signe de a, la distance FG égale à a, puis enfin on tire, par le point G et par l’origine, la droite DD' : cette droite est la ligne demandée. Par cette construction, il est clair qu’en donnant des valeurs différentes à a, le point G change de position, et par suite la droite DD'; et comme a peut passer par tous les états de grandeur, le point G peut prendre toutes les positions possibles sur KK' : par conséquent la droite DD' peut avoir toutes les positions possibles autour de l’origine A. Donc toutes les droites passant par l’origine peuvent être données par une équation de la forme y = ax.
2° On a vu aussi (204) qu’après avoir construit la droite DD' (fig. 67) représentée par l’équation y — ax, il faut, pour avoir la droite de l’équation y = ax + b, prendre sur l’axe A y une ordonnée AB = b, au-dessus Ou au-dessous de l’origine, selon que b est positif ou négatif, puis mener BE parallèle à DD'. Il est clair, par cette construction, qu’en faisant passer b par tous les états de grandeur, positivement et négativement, le point B pourra prendre toutes les positions possibles sur l’axe y'y. D’ailleurs, en faisant varier le coefficient a, la droite DD' à laquelle BE est parallèle, peut prendre, à l’égard de Ax, toutes les inclinaisons possibles; donc toutes les droites qui rencontrent l'axe des ordonnées peuvent être données par une équation de la forme y = ax -f- b.
3° Enfin, toute droite CF (fig. 74 ) parallèle à l’axe Ay, est représentée par une équation telle que x-=c, puisque pour tous les
points de cette droite l’abscisse est constante : or l’équation x = c est un cas particulier de l’équation Ay-f Bx=C; donc enfin, tonte ligne (limite, quelle que soit sa position, peut être donnée par une équation du premier degré.
Problèmes sur la ligue droite.
209. Problème 1 (fig. 73). Connaissant l'angle ECx, qu'une droite CE fait avec l’axe des abscisses, et l’ordonnée AB, « l'origine, trouver l’équation de cette droite.
Comme la droite doit couper l'axe ky, elle sera donnée par une équation de la forme
y = ax-\-b.
Dans cette équation, b est l’ordonnée du point B, où la droite coupe l’axe A y; cette ordonnée est positive ou négative selon la position de ce point , et c’est elle qu’on appelle ordonnée à l’origine; ainsi cette quantité est donnée immédiatement par l’énoncé.
Quant au coefficient a, il dépend de l’angle que fait la droite avec l’axe des x. Menons , par l’origine , AD parallèle à CE : l’équation de cette parallèle sera y — ax (204) ; et si MP est l’ordonnée d’un
MP
point quelconque de cette ligne , on aura — = o. Mais le trian-
Ar
gle AMP donne (63) : a = ^ = sin A MP’ et’ en ^signant P81, a
l'angle donné ECx, et par 9 l’angle ykx des coordonnées, on aura DAx = s , AMP = DA»/ = 6 — * : donc la valeur de a devient
sin a
sm (8 — a)
et par suite l’équation de la droite CE sera
sin a
sin (6 — a)
210. Nous avons supposé implicitement que l’angle donné ECx était moindre que ykx; mais l’équation à laquelle nous sommes parvenus n’en convient pas moins au cas où ECx serait plus grand que ykx. En effet , dans ce cas , la parallèle AD est située comme le représente la figure 74, et le triangle MAP donne
MP sin MAP sinDAx sina
AP “ «in AMP *ir» DAy “ sin (<x-~0)'‘
Dans l’éq. y=ax, «est toujours le rapport de l’ordonnée à l’ab-
