Problème II. Étant donnée l’équation d’une droite

calculer l’angle que cette droite fait avec l’axe des x.

AD (fig. 73) étant la droite de l’équation y = ax , à laquelle la droite de l’équation donnée est parallèle (204) , menez l’ordonnée MP : si on désigne par a l’angle demandé EC#, et par 8 l’angle yAx , on trouvera, comme plus haut, à l’aide du triangle AMP,

sina

— — rr r = «.

sm(6 — a)

Pour déduire a de cette équation, on chasse le dénominateur et on remplace sin (8 — a) par sa valeur sin 6 cos a — sin a cos 8 : il vient sin a = a sin 8 cos a — a sina cos 6, ou

(1 -facos8)sina =asin8 cosse;

et de là, en observant que

sin a cos a'

tang a = -

= janga, on tire «sin 8

^ ° l + acos8'

Tang* étant connue, a lui-même doit être regardé comme connu.

214. Problème III. Trouver l'équation d’une droite qui passe par deux points donnés.

Soient x', y', et x", y", les coordonnées de ces points. La ligne cherchée devant être droite , son équation , en supposant que la droite ne soit pas parallèle à l’axe des y, sera de la forme

y = ax + b,

a et b étant encore inconnus.

Pour qu’elle passe par le point dont les coordonnées sont x', y', il faut que son équation soit satisfaite quand on y met x! pour x, et ÿ pour y, ce qui exige qu’on ait

y = ax' + b.

Au moyen de cette équation on peut déjà éliminer l’une des deux quantités inconnues. En la retranchant de l'équation y = ax + b , b sera éliminé, et il viendra

Cette équation est celle d’une droite assujettie à passer par le point dont les coordonnées sont x', y'; mais a reste encore indéterminé, parce qu’on peut mener une infinité de droites par un point.

Pour que la droite passe par le second point donné, il faut que la dernière équation Soit satisfaite en y remplaçant x par x ", et y par y" y ce qui donne

d’où l'on tire

En substituant au lieu de a cette valeur, on aura

[3] y — y = |rïrS (* — *')’

équation de la droite qui passe par les deux points donnés. Il est d’ailleurs facile de s’assurer que les conditions de la question sont remplies : car x = x' donne y = y',e ti = x" donne y = y ".

215. Cette équation donne toutes les positions particulières qu’une droite peut prendre puisque les coordonnées x',y', x", y”, sont tout à fait arbitraires. On va même voir qu’elle donne les droites parallèles à l’axe des y, quoiqu’on soit parti de l’équation y = ax -|- b, qui ne convient pas à ces droites.

Si = l’équation [3] se réduit à y = y'; donc la droite est parallèle à l’axe des x. Cela doit être en effet, car elle passe par les extrémités des deux ordonnées égales MP et M'P' (fig. 75).

Si x" — x', le multiplicateur de x — x' dans le second membre devient infini; mais si on résout l’équation par rapport à x — x', on aura

et si maintenant on suppose x" — x', il viendra x = x', ce qui montre que la droite est parallèle à l’axe des y, ainsi que cela doit être, puisqu’elle passe par les extrémités de deux abscisses égales, MQ et M'Q' (fig. 76).

Si on suppose à la fois x" = x' et y" = ÿ, l’équation [3] devient y — y' = î (x—x').

Le coefficient de x — x' étant indéterminé, la droite peut prendre toutes les positions possibles autour du point dont les coordonnées sont xf et y'. C'est en effet ce qui doit avoir lieu : car les deux points donnés n’en font plus qu’un seul, et par un point on peut faire passer une infinité de droites.

246. Problème IV. Trouver l’équation d’une droite qui passe par un point donné , et soit parallèle à une droite donnée.

Pour la droite donnée et pour la parallèle, prenons les équations

y = ax -f- b, y = a'x -f- a •

a et b sont supposés donnés, mais a' et b' sont inconnus.

Pour que les droites soient parallèles on doit avoir a ' = a. En effet, l’une est parallèle à une droite qui passe par l’origine et dont l’équation est y — ax (204) , l’autre est parallèle à une droite dont l’équation est y = a'x. Or, les deux dernières lignes, passant par l’origine, doivent se confondre en une seule quand les deux premières sont parallèles; donc on doit avoir a' — a. Par suite l’équation de la parallèle à la droite donnée devient

Ici b' reste encore indéterminé, parce qu’il y a une infinité de droites qui sont parallèles à une ligne donnée. Mais si on veut que cette parallèle passe par un point donné, dont les coordonnées soient x' et y', il faudra qu’on ait

1/ — ox’ + b',

«quation qui fait connaître b'. En la retranchant de la précédente, b' sera éliminé, et on aura, pour la parallèle demandée,

217. Problème V. Déterminer le point d'intersection de deuxdroites dont on connaît les équations.

Soient les équations des deux droites, y — ax + b, y = a’x + b'.

Au point où ces droites se coupent, elles ont les mêmes coordonnées, et réciproquement les coordonnées de ces lignes ne sont égales qu’au point oit elles se rencontrent; donc, pour ce point, et pour ce point seulement , on a ax -J- b = a'x + b', ce qui donne

En mettant cette valeur à la place de x dans l’équation de l’une des droites, on trouve

a'b — ab'

218. Quand a' = a , ces valeurs deviennent infinies, donc alors il n’y a plus d’intersection. Nous savons en effet (216) que les droites sont parallèles quand on a a' = a.

Quand on a à la fois a' = a et b' = b, les valeurs de x et de y deviennent J , c’est-à-dire indéterminées ; donc on doit conclure que tous les points de l’une des droites sont communs à l’autre. C’est en effet ce qui arrive : car alors, les équations des droites devenant identiques, les deux droites n’en font plus qu’une seule.

219. Problème VI. Trouver la distance de deux points dont on connaît les coordonnées.

Supposons d’abord les axes rectangulaires (fig. 77), et soient M et N les points dont il s’agit. Menez les ordonnées MP, NQ, et la parallèle NR à l’axe des x : le triangle rectangle MNR donnera

MN = V^NR* + MR*. Nommons x, y, les coordonnées du point M, etx', y' celles du point N : on a NR=x — xf, MR=y — y' et par suite, en désignant par S la distance cherchée, il vient

En plaçant successivement les points M et N dans 1 dûtes les po*

sitions où la construction du triangle MNR peut offrir quelque changement dans la figure, et en ayant égard aux conventions établies sur les signes des coordonnées, on reconnaîtra que cette formule ne souffre aucune exception.

Par exemple, si le point N est à l’origine (fig. 78), on aura x' — O, ÿ = 0, et par suite 8 = jx* + y*. C’est l’expression de la distance d’un point quelconque à l’origine des coordonnées, et il est aisé de s’en convaincre, car le triangle rectangle AMP

donne AM = V AP* + MP* = sjx’1 -f- y*.

Prenons pour second exemple celui où les points M et N ont la position représentée sur la figure 79. Alors les abscisses de ces points sont — AP et — AQ ; ainsi x = — AP et a/ = — AQ. L’ordonnée du point M est encore MP, mais celle du point N est — QN'j donc y — PM et ÿ = — QN. Mettons, pour x, y, x', y', ces valeurs dans la formule générale , on aura

o = fl— AP + AQ)' + (PM + QN)1 ;

= v/( AP — AQ)* + (PM + PR)* =s. VW + MR* :

résultat semblable à celui qu’on tire du triangle rectangle MNR.

220. Actuellement, supposons les axes obliques (fig. 80): menons encore la ligne NR, parallèle à l’axe des x et terminée aux ordonnées MP,NQ. Le triangle MNR ne sera plus rectangle, mais une formule connue (66) donnera

MN = V' NR* + MR" — 2NR X MR X cosMRN.

L’angle MRN est le supplément de l’angle yS.x-, en désignant donc ce dernier par 0 , et conservant les mêmes dénominations que dans le numéro précédent, on aura

8 = \j[x— x)* + (y — y)*-J- 2(z — x')(y — ÿ'JcosO.

Si on suppose 0 = 90°, on a cos6 = 0 , et par suite

8 = v(*-*7 + (if-ÿ?:

C’est la formule déjà trouvée pour le cas des axes rectangulaires.

221. Problème VIL Étant données les équations de deux droites, trouver l'anyle de ces droites.

Soient

y — ax -j- b et y = u'x -J- 6',

les équations des deux droites. Par l’origine (fig. 81) menons AD, AD', parallèles à ces droites. L’angle DAD' est égal à l’angle cherché : dcsignons-le par V. Les angles DAx, D'Ax, sont égaux à ceux que les droites données font avec l’axe A oc ; désignons-les par a et a'. Gela posé, on a évidemment V = a' — a ; donc

tang Y = tang (a' — a) =

tanga' — tanga 4 -f- tanga tanga'-

Supposons en premier lieu que les axes des coordonnées soient rectangulaires : on a (212) tang a = a, tang a' — a'; donc

tang V =

1 aa'‘

Cette formule résout la question, puisqu’elle fait connaître la tangente de l’angle demandé.

Quand les droites sont parallèles, l’angle Y est nul, tang V doit être nul aussi; donc a' = a, ainsi qu’on l’a déjà vu (216).

Quand elles font un angle droit, tang V doit être infinie, et pour cela il faut qu’on ait

aa' -|- 1 = 0, d’où a! — — ~ .

Telle est la condition qui doit être remplie pour que deux droites soient perpendiculaires l’une sur l’autre. Si la première droite est perpendiculaire aux abscisses , a est infini , et on trouve a' = 0 ; donc la seconde droite est parallèle aux abscisses , ainsi que cela doit être. Pareillement, si la première est parallèle aux abscisses, a est nul, et on trouve a' = co, ce qui montre que l’autre droite est parallèle aux ordonnées.

222. En second lieu, supposons que les axes des coordonnées soient obliques, et qu’ils fassent entre eux un angle 6, on a (213) a sin 0 , a' sin 0

tang a = — -, tang a = — — . Remplaçons donc

l-f-acosO ° 1+acosO i v

tang a et tang a' par ces valeurs; il vient, toute réduction faite,

v (a' — a) sin 0

an° 1 -j- aa' -f (« + a') cos 0*

Si on veut que les deux droites données soient perpendiculaires entre elles, il faut égaler le dénominateur à zéro, ce qui donne

\ -)- aa! + (a -f- a') cos 0 = 0, d’où

— 1 — a cos 6 a + cos 0

Lorsque 6 = 90°, cette formule se réduit à celle qui a été donnée \

plus haut, a' — —

223. Problème VIII. Mener , par un point donné, une perpendiculaire « une droite donnée, et trouver la longueur comprise sur cette }>erpcndiculaire, entre le point donné et la droite donnée.

Soit l’équation de la droite donnée, y=ax + b,

et x', ij les coordonnées du point donné. La droite cherchée devant passer par ce point (214), son équation sera de la forme y — y' — a'[x — x'), a' étant encore inconnu. Mais la condition d’être perpendiculaire à la droite donnée exige qu’on ait, quand

les axes sont rectangulaires (221), d = — donc l’équation de la perpendiculaire sera

Pour avoir les coordonnées du point d’intersection de la droite donnée et de la perpendiculaire, il faut tirer des équations de ces lignes les valeurs de x et de y (217). Afin de faire l’élimination avec plus de facilité, on mettra la première, y = ax -j- b, sous lj forme

y — ÿ — a[x — ar')-f b + ax’ — y'.

En la combinant avec celle de la perpendiculaire, et prenant pour inconnues les différences y — y', x — x', on trouve

, a-y' ax b j y — qjc’ — ^

valeurs dont il est facile de déduire les cordonnées x et y du pied de la perpendiculaire.

Maintenant si on désigne par p la distance comprise sur la perpendiculaire, entre le point donné et la droite donnée, l’expression de cette distance sera

p— VV— 4- (y— y?;

et, en mettant pour x — x' et y — \j leurs valeurs, elle devient

y' — ax' — b

vT+ô*

Comme la valeur de p doit être essentiellement positive, on prendra le signe supérieur quand le numérateur y' — ax' — b sera positif, et le signe inférieur quand ce numérateur sera négatif.

Si le point donné est situé à l’origine, il faut faire a' = 0, et y = 0 : alors la valeur de p se réduit à celle-ci :

Si le point est placé sur la droite donnée, les cordonnées x et y' doivent satisfaire à l’équation de cette droite. On a donc y'—ax' -f 6, et par suite la valeur de p se réduit à zéro, ainsi que cela doit être.