a cos

, mais on a a = : — (222), et l equation de la per-

a o + cosO ' ” H r

pendiculaire est

— i — «cosfl a -(- cos 6

En combinant cette équation avec celle de la droite donnée , mise sous la forme

y — y' = a(x— x') -f b -f ax' — y',

on trouve

, (a + cos6)(ÿ' — ax'— b)

4+a* + 2acos0 ’ cos 6) (y — agi — b).

’ J 1 + a* + 2a cos 6 ’

et pour avoir la longueur p de la perpendiculaire, il faut prendre la formule

S = ^(x— *')* -}- (y — y'Y + 2(x— x!) (y — y') cos 0, trouvée n° 220, et y remplacer x — x', y — y', par leurs valeurs. Après toutes les réductions , il vient

(y1 — ax' — b) sin 6

y'I -f- a* -f- 2a COS0

Que les axes soient rectangulaires ou qu’ils soient obliques, l’expression générale de la perpendiculaire p est toujours du premier degré par rapport aux ordonnées , x' et y, du point d’où elle est abaissée. Cette remarque peut être quelquefois utile.

22o. Exercices. Comme il importe beaucoup de se rendre familières les applications qu’on peut faire de l’équation de la ligne droite, et des questions qui viennent d’être traitées, je placerai ici les énoncés de quelques problèmes à résoudre et de quelques théorèmes à démontrer.

I. Problème. Trouver l’équation d’une droite qui divise en deux parties égales l’angle de deux droites rapportées à des coordonnées rectangles, et dont les équations sont données.

II. Théorème. Démontrer que les droites, qui divisent les trois angles d’un triangle en deux parties égales, se coupent en un même point (centre du cercle inscrit).

III. Théorème. Les perpendiculaires élevées sur les milieux des trois côtés d’un triangle se coupent en un même point (centre du cercle circonscrit).

IV. Théorème. Les droites menées , par les sommets d’un triangle, aux milieux des côtés opposés, se coupent en un même point (centre de gravité).

V. Théorème. Les perpendiculaires abaissées des sommets d’un triangle sur les trois côtés se coupent en un même point.

VI. Théorème. Dans tout triangle rectiligne, le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et le point d’intersection des trois hauteurs sont toujours en ligne droite; et la distance des deux derniers points est double de celle des deux premiers.

VIL Théorème. Si l’on mène à volonté une parallèle à la base d’un triangle, et que, par les points où cette parallèle coupe les deux autres côtés, on tire des droites aux sommets des deux angles opposés, elles se couperont toujours sur un point de la droite qui joint le milieu de la base au sommet du triangle.

VIII. Problème. Étant donné un point A (iig. 82) dans le plan de l'angle yOx, tirez par ce point deux droites quelconques CF, ED; menez la droite CD par les points C et D, où CF rencontre Oy et où ED rencontre Ox; menez de la même manière la droite FE par les points où les mêmes lignes CF et ED rencontrent Ox et 0 y ; prolongez, si cela est nécessaire, les droites CD et EF jusqu’à leur intersection B; puis menez par ce point deux sécantes quelconques qui coupent les côtés de l’angle en G, H, I, K, d’où résulte le quadrilatère IGHK : il faut prouver que le point M , où se coupent les diagonales GK et IH, est situé sur la droite OA, qui joint le point donné A au sommet do l’angle donné.

IX. Problème. Un point A et une droite BC étant donnés (fig. 83), menez parce point une droitequelconque AP, terminée à la ligne BC ; faites l’angle PAM égal àun angle donné ; puis prenez sur le côté AM une distance telle que AM soit à AP dans un rapport donné : le lieu des points M, ainsi déterminés, est une droite, et c’est ce qu’il s’agit de trouver.