LIGNES DU SECOND ORDRE
Division des lignes du second ordre en trois genres.
226. L’équation générale du second degré, entre x et y, est [A] Aÿ* + Bxy -f Gr> + Dÿ + Er-fF = 0.
Quand le coefficient A n’est pas nul, elle donnera, en la résolvant par rapport à y ,
ÿ=-âx ê:tàv/(B’“4AC)j:,+2(BD'2AE);c+DS 4AF-
Pour abréger, posons a b , m=~,n=B>— 4AC,
/) = BD — SAE, q--
: U1 — 4AF, on aura simplement
y = ax-\-b±m ^ nx s + %px + y»
Les deux valeurs de y ont une partie rationnelle commune, exprimée par ax -f- b. Or, ax b est l’ordonnée d’une ligne droite, dont l’équation est y =ax -f- b : supposons que cette ligne soit construite, et que ce soit HH' (fig. 84). Si on veut avoir les points que l’équation [A] détermine pour une abscisse quelconque AP, on mènera d’abord l’ordonnée PQ terminée à la droite HH', et on portera ensuite dans la direction de PQ, tant en dessus qu’en dessous de la droite HH', des parties QM, QN, égales à la va-
leur correspondante de la partie irrationnelle /« v/ nx* + %PX + ?•
GÉOMÉTRIE ANALYTJUUE A DEUX DIMENSIONS. 179 Il est clair, en effet, qu'on aura, par cette construction,
PM = PQ -J- QM = ax -f- b -f- m nx * -f- 2 \px -\-q ,
PN = PQ — QN —ax-\-b — ray1 nx 1 -f- 2 px -f- q.
Si on imagine que cette construction soit répétée pour toutes les valeurs de x qui donnent au radical des valeurs réelles, on obtiendra tous les points de la ligne représentée par l’équation [A].
227. La droite HH', donnée par l'équation y = ax -f- b, jouit de la propriété de partager en deux parties égales les lignes menées parallèlement à l’axe des y, entre deux points de la courbe; pour cette raison, on lui a donné le nom de diamètre.
Afin d’abréger, j’appellerai ordonnée comptée à partir du diamètre la quantité qu’il faut porter au-dessus et au-dessous de IIH', et je la représenterai par Y : de sorte qu’on aura toujours
Y = m y nx' -j- 2 px -f- q.
228. Pour connaître l’étendue et les limites de la courbe, il faut chercher l’étendue et les limites des valeurs de x qui rendent réelle, nulle ou imaginaire, l’ordonnée Y comptée à partir du diamètre, ou bien qui rendent positive, nulle ou, négative, la quantité nx 1 -f- 2 px -f q placée sous le radical. Or, on démontre en Algèbre que, dans un polynôme quelconque tel que
fxn -f- gxm~ 1 -j- hx'"~* -j- etc. ,
on peut toujours assigner à x une valeur positive et une valeur négative, telles que toutes les valeurs positives et négatives plus grandes donnent pour ce polynôme des valeurs de môme signe que le premier terme ; et on démontre aussi qu’en faisant croître x jusqu’à l’infini, les valeurs du polynôme augmentent elles-mêmes jusqu’à l’infini. Ainsi, à partir de certaines valeurs de x, positives et négatives, la quantité nx* -f- 2 px -f- q prendra des valeurs croissantes jusqu’à l’infini et de même signe que nx et comme le carré x * est toujours positif, ce signe sera celui de », c’est-à-dire de B* — -iAC. De là résultent les deux conséquences suivantes :
Lorsque Bs — -IAC est négatif, il y a des valeurs de x au delà desquelles l’ordonnée Y est toujours imaginaire, soit qu’on prenne x positivement, soit qu’on le prenne négativement. D’ailleurs, pour les valeurs de x entre lesquelles Y reste réelle, celte ordonnée ne
saurait être intinie ; donc la courbe, que l’équation [A] peut représenter alors , est limitée dans le sens des abscisses positives et négatives, tant au-dessus qu’au-dessous du diamètre. Cette courbe porte le nom d’ELLiPSE.
Lorsque B* — -4AC est positif, il y a des valeurs positives et négatives de x au delà desquelles l’ordonnée Y est toujours réelle. D’ailleurs cette ordonnée peut croître jusqu’à l’infini; donc la courbe représentée par l’équation [A] est infinie dans le sens des x, tant positifs que négatifs , tant au-dessus qu’au-dessous du diamètre : c'est-à-dire, en d’autres termes, qu’elle s’étend à l’infini vers quatre régions différentes. Elle se nomme hyperbole.
229. Lorsque B’ — 4AC=0, le polynôme affecté du radical perd son premier terme , et on a simplement
Y = 2 px + q.
Alors, si p est une quantité positive, on peut prendre x positif aussi grand qu’on voudra ; Y sera réel et croîtra jusqu’à l’infini. Mais si on prend x négatif, Y sera imaginaire, où il deviendra tel quand x aura dépassé une certaine grandeur; la courbe est donc limitée du côté des x négatifs. Ce sera le contraire si p est une quantité négative. Ainsi , dans ces deux cas, la courbe est indéfinie au-dessus et au-dessous du diamètre , mais elle n’est illimitée que d’un seul côté de l’origine; de sorte qu’elle ne s’étend à l’infini que dans deux sens seulement. On la nomme parabole.
Pour le moment , nous ne considérons pas le cas où p serait nul en même temps que B4 — -IAC, parce qu’alcrs Y est constant, et que l’équation proposée ne peut plus représenter une ligne courbe. Nous reviendrons sur ce cas particulier.
230. Les raisonnements précédents conduisent à établir trois genres de courbes du second ordre. Cette énumération, il est vrai, semble exiger que l’équation soit du second degré par rapport à y; mais nous allons montrer qu’elle comprend les autres cas.
23 1 . Le coefficient A étant nul et C ne l’étant point, l’équation [A] sera du second degré en x; et si on la résout par rapport à cette variable, on aura
•r=ëy“ë±4vBy+2(BE i2CD)y+E,~4CF-
Si B n’est pas nul , B'y* est positif; et si on raisonne comme plus haut (228), en mettant partout y à la place de x , on verra que
la courbe doit avoir quatre parties indéfinies, et que, par cette raison , il est permis de la placer dans le genre des hyperboles, auquel elle appartient encore par le caractère analytique : car la quantité B! — 4AC, qui se réduit ici à Bs, est essentiellement positive.
Si B == 0. y n’est plus qu’au premier degré sous le radical, et il est facile de voir que la courbe représentée par l’équation doit être rangée parmi les poraboles. C’est là aussi que la porte le caractère analytique : car B* — 4AC est égal à zéro , à cause des hypothèses A = 0, B = 0.
232. Il peut arriver que C soit nul en même temps que A . Alors l’équation [A] devient Bxy-fDy-|- Ex-4-F = 0, et ne peut plus être résolue que comme équation du 1er degré. On en tire
—Ex— F Bx + D
et x
— Dy — F By + E
La valeur de y montre que , si on fait x = ± eo ,
onay = — ;
donc, si on prend (fig. 85) sur l’axe Ay, et dans le sens convenable, une partie AB égale à cette quantité, et que par le point B on mène HH' parallèle à Ax, la ligne du second ordre ira rencontrer cette parallèle à une distance infinie du point B, tant du côté BH que du côté BH'. La valeur dex montre qu’en faisant y—±or>, on
ax= donc , si on prend , du côté convenable, l’abscisse AC
égale à cette quantité, et que , par le point C , l’on mène KK' parallèle à Ay, la courbe rencontrera cette parallèle à l’infini, tant audessus qu’au-dessous. La courbe adonc quatre parties infinies; pour cette raison on la placera parmi les hyperboles. Remarquez d’ailleurs que la quantité B! — 4AC est encore positive ; car elle se réduit à B*, et B n’est point nul, sans quoi l’équation proposée ne serait plus du second degré.
233. Maintenant on doit voir bien clairement qu’il n’y a lieu à distinguer que trois genre « de courbes du second ordre.
\ 0 Les ellipses , qui son des courbes limitées dans tous les sens , et pour lesquelles on a B* — 4AC <0;
2° Les hyperboles , qui sont des courbes composées de quatre - partie* indéfinie*, et pour lenquellp* on a toujours B*-~4AB> Oj
3° Les paraboles , qui sont des courbes composées de deux parties indéfinies , et pour lesquelles on a B* — 4AC = 0.
La condition B! — 4AC = 0 est celle qui doit avoir lieu pour que A y* + B xy + Car* soit un carré : ainsi, on peut dire que dans les cas où l’équation du 2e degré représente une parabole, les trois termes du 2e degré forment un carré. La réciproque est vraie.
Maintenant nous allons discuter en particulier chacun des trois genres de courbes.
Discussion de I'Ellipse. fi2— AAC<0.
