En résolvant l’équation [A], on a trouvé

y = ax -|- b ± ni \Jnx* -f- 2/jx -f- q ,

valeurs dans lesquelles n désigne B* — 4AG. Dans le cas que nous discutons , cette quantité est négative ; c’est pourquoi nous mettrons — 8! au lieu de n, et nous pourrons écrire les valeurs de y comme il suit :

y = ax + b± mo \J —

Supposons que HH' (fig. 86) soit le diamètre qui a pour équation y = ax -)- b : cherchons les points où il est rencontré par la courbe. Pour ces points, l’ordonnée comptée à partir du diamètre est nulle; donc les abscisses de ces points sont données par l’équation

Représentons-en les racines par x' et x" ; et comme ces deux racines peuvent être réelles et inégales, ou réelles et égales, ou imaginaires, examinons successivement ces trois cas. a

235. 1er cas. af et x" étant des quantités réelles et inégales, il s’ensuit que la courbe a en effet deux points placés sur le diamètre. Supposons, pour mieux fixer les idées, af et x” positifs, etx' moindre que x " : si on veut construire les points placés sur le diamètre, on prendra AB = x', AB'=x", on mènera, parles points B et B', les droites CD, C'D', parallèles à l’axe des y, et les intersections de ces lignes avec HH' détermineront les points H et H', où le diamètre rencontre la courbe.

Représentons, comme on en est déjà convenu (227), par Y l'ordonnée comptée à partir du diamètre , nous aurons

Afin de saisir plus facilement la marche de cette ordonnée, quand on fait passer x par tous les états de grandeur, décomposons en facteurs le polynôme placé sous le radical. Puisque x' et x" sont les

racines de l’éq. [1] , il s’ensuit que le polynôme x- — ~~x — ~ est

le produit des facteurs x — x', x — x " : par conséquent on a

Y — mo \J(x — a/) [x" — x).

Cela posé, il est clair que, de A en B, l’abscisse x est plus petite que x' et x"; donc le facteur x — x' est négatif, tandis que x " — x est positif; donc Y est imaginaire; donc il n’existe aucun point de la courbe entre l’axe Ay et la parallèle CD menée par le point B.

De B en B', x est plus grand que xf et moindre que x". Alors les facteurs x — x', x " — x, sont positifs, et par suite Y est réel; donc à chaque abscisse AP, comprise entre ces limites, il correspond deux points de l’ellipse.

Au delà de B', jusqu’à l’infini , x surpasse x" et x, le facteur x — x' est positif, mais le facteur x" — x est négatif; donc Y est imaginaire ; donc l’ellipse n’a aucun point au delà de la ligne C'D, menée parallèlement à A y par le point B'.

Du côté Ax', l’abscisse x est négative. Le facteur a: — x' sera donc négatif, tandis que x" — a: sera positif; donc Y sera imaginaire, et l’ellipse n’aura aucun point du côté des x négatifs.

L’ellipse est donc placée tout entière entre les parallèles CD, C'D' ; et comme les valeurs de x, pour lesquelles Y est réel , sont comprises entre x' et x", et que d’ailleurs Y ne peut devenir infini par aucune de ces valeurs, il s’ensuit que l’ellipse est limitée dans tous les sens, ce qu’on savait déjà (228).

Mais on peut aussi déterminer d’une manière précise les limites de l’ellipse parallèlement au diamètre. Remarquons que les deux facteurs qui sont sous le radical, étant ajoutés ensemble, donnent une somme x" — x' qui ne change point quand x varie , et que par conséquent le produit [x — x'} (x" — x) sera le plus grand possible, quand chaque facteur sera égal à la moitié de cette somme,

c’est-à-dire à î (x" — x'). Je pose donc

x — od = l {x" — x') , d’où x = x' + J (x" — zJ) = J (x" -f- x') ;

cette valeur de x sera l’abscisse pour laquelle Y est maximum. Elle répond visiblement au milieu E de BB'; car on a AE = AB -f- BE==x' -f- \ (a;" — x'). La valeur de ce maximum est

Y = mo y'' ’ [x" — x') X i [x" — x') = l Mo [x" — x').

Pour avoir les points correspondants de la courbe, on mène F.O parallèle aux ordonnées, et on prend sur cette ligne, de chaque côté du diamètre, OG = OG' = 1 mï (x" — x') : les points G et G' seront ceux où l’ellipse s’éloigne le plus de HH'. Si on tire GK et G'K' parallèles à HH’, ces lignes serviront de limites à la courbe; de telle sorte que les quatre droites CD, C'D', GK, G'K', forment un parallélogramme qui renferme toute la courbe, et dont les côtés ont leurs milieux sur cette courbe même (*).

Si on donne au diamètre une position particulière, si on prend pour S, m} x' et x", des valeurs numériques, et si on construit la courbe par points suffisamment rapprochés, on trouve qu’elle a la forme indiquée fig. 86. On est certain d’ailleurs qu’elle doit être

(*) On peut écrire Y sous cette forme

vV *)■ -(•-*)'■

et alors on volt immédiatement que sa valeur maximum répond i i=|.

dette valeur de * équivaut à H*" -f x1) : car on sait que dans l’équation [I] la somme des racines est égale au coefficient du second terme, pris avec un signe contraire.

Soit pris EP = EP' = p: on aura AP — p, AP' = ~ -(- p. En substituant

ces abscisses à la place de x, on aura pour Y la même valeur; donc, pour ces abscisses, les ordonnées QM, QN , Q'M', Q'N', comptées à partir du diamètre, sont égales. De là on conclut que les triangles OQM, OQ'N', sont égaux, et par suite que MON' est une ligne droite divisée en deux parties égales au point O : c’est-à-dire que le point 0 est le milieu de toutes les droites menées par ce point dans l’ellipse. Cette propriété a fait donner au point O le nom de centre.

L’égalité des mêmes triangles prouve que la corde MM', parallèle à HH', est coupée en son milieu par la ligne GG' ; et comme il en est de même de toutes les cordes parallèles à HH', il s'ensuit que GG' est un diamètre. Ainsi, les deux diamètres HH' et GG' sont tellement disposés, que chacun d’eux passe par les milieux des cordes parallèles à l’autre i pour cette raison on les nomme diamètre’ ranjuguèi.

partout concave vers le diamètre; car en admettant qu’elle eût une autre forme (fig. 87), on pourrait tracer une ligne droite, telle que RS, qui la rencontrerait en plus de deux points, ce qui ne peut pas arriver à une ligne de second ordre (199).

236. 2'’ cas. Lorsque les racines uf et x" sont réelles et égales, l’ordonnce Y devient

Y = ml — (x — x'Y — mo ( x — x')sj — \ .

La seule abscisse qui puisse rendre Y réel est x = x'\ par conséquent l’ellipse se réduit au point unique dont les coordonnées sont x —x', y — ax'- f- b.

237. 3" cas. Enfin, quand x' et x" sont imaginaires, on sait que le polynôme nx * + 2 px -f q, qui se trouve sous le radical, ne peut jamais changer de signe, quelque valeur qu’on prenne pour x . D’un autre côté, il est démontré que les valeurs de x suffisamment grandes doivent donner à ce polynôme des valeurs de môme signe que le premier terme. Or, ce premier terme est constamment négatif; donc le polynôme le sera aussi; donc Y est imaginaire; donc il n’existe aucun point dont les coordonnées puissent satisfaire à l’équation [A]. On dit alors que l’équation est impossible , ou bien encore qu’elle représente une ellipse imaginaire.

238. Le cercle est un cas particulier de l’ellipse. Pour s’en convaincre, il suffit de remarquer que l’équation de la circonférence est du second degré (1 86), et que les ellipses sont les seules courbes du second ordre qui soient limitées dans tous les sens. A la vérité, l’équation du numéro cité suppose que les coordonnées sont rectangulaires; mais nous avons vu (197) que le degré d’une équation entre x et y n’est jamais altéré par le changement des axes.