BS OU OS PB
MQ~~ OQ’ ÜM OQ*
Faisons l’arc AM —a, le rayon OM = r, puis remplaçons les lignes par leurs désignations trigonométriques, savoir : MP. par sin a, OP par cos a, etc. Les cinq relations précédentes donneront
sin*«
-+• cos1 a
r sin a
séca =
tanga =s «
cos a
eos a
r ' cos a
coséc a =
cot a = - ,
sma
sin a ’
L’éq. [1] servira à déterminer le sinus au moyen du cosinus, et réciproquement. Si on donne sin a, on aura cosa = ity r1 — sin* a. On obtient deux valeurs égales et de signes contraires parce qu’à un même sinus, à OQ par exemple, il répond deux cosinus OP et OP', égaux et de situation opposée.
Les formules [21, [3], [4] , [5], font connaître les valeurs de la tangente, sécante, etc., quand on connaît le sinus et le cosinus.
2t. Pour présenter une application de ces formules, prenons la valeur sin 30°= J r, p. 3. Avec cette valeur il sera facile de calculer cos 30°, et ensuite la tangente, la sécante, etc. En remarquant que le complément de 30" est 00°, on forme le tableau suivant :
sin 30° = cos 60° = , cos 30® = sin 60° = ,
rv3
tang 30" = cot 60° = •— cot 30® = tang 60® =
séc 30" = coséc 60° = , coséc30"= séc60® = 2? .
TRIGONOMÉTRIE
22. Quoique déduites d’une figure, dans laquelle l'arc « est < 60°, les formules du n° 20 n’en sopt pas moins générales. Cela serait évident si l’on ne considérait que les valeurs absolues des lignes trigonomélriques ; car ces lignes forment toujours des triangles rectangles et semblables, dont on peut tirer les mêmes résultats que dans le numéro cité. En ayant égard aux signes des lignes, il est clair d’abord que la formule [1] ne cesse pas d'avoir lieu, puisqu’elle ne contient que des carrés; il reste donc à examiner si les autres formules font toujours prendre à la tangente , à la sécante, etc., les signes qui conviennent à leurs positions.
Dans le premier quadrant, c’est-à-dire de 0 à 90°, le sinus et le cosinus étant positifs, les quatre formules donnent des valeurs positives, ainsi que cela doit être. Dans le second quadrant, le sinus est positif, le cosinus est négatif, et par suite les valeurs de la tangente , de la sécante et de la cotangente sont négatives , tandis que celle de la cosécante reste positive : or la figure montre qu’en effet ce sont là les signes que doivent avoir ces lignes. Dans le troisième quadrant, le sinus et le cosinus sont négatifs : donc les valeurs [2] et [4] sont positives, tandis que les valeurs [3] et [o] sont négatives; et c’est ce qui doit avoir lieu d’après la position que prennent alors les quatre lignes. Dans le quatrième quadrant, le sinus étant négatif, et le cosinus positif, les valeurs [2], [4], [ÿ] sont négatives, et la valeur [3] est positive : c’est encore ce qui doit être, d’après la figure.
Au delà de 360% le sinus et le cosinus reprennent, pour un arc quelconque 360° -j- a, les mêmes grandeurs et les mêmes signes que pour l’arc a; les quatre formules donnent donc aussi les mêmes résultats. Et , effectivement , la tangente , la sécante , etc., doivent avoir les mêmes valeurs pour l’arc 360° -f- a que pour l’arc a.
Supposons les arcs négatifs. Puisque sin ( — a) — — sin a, et que cos ( — a) =cosa(14), il s’ensuit qu’en changeant le signe de l’arc, les valeurs données par les formules, pour la tangente, la cotangente et la cosécante, prennent des signes contraires sans changer de grandeur, tandis que la sécante reste tout à fait la même. Ces résultats sont encore conformes aux indications de la figure.
Enfin, on pourrait craindre que les formules ne fussent pas vraies pour les arcs 0, 90% 480°, etc., parce qu’alors les triangles cessent d’exister. Mais il est facile de voir qu’elles donnent encore des résultats qui conviennent à ces arcs. Par exemple , si on fait
a = 90°, on aura sin 90° = r, cos 90° =0 ; par suite tang 90° — <v>, séc 90“ = c», cot 90° = 0, coséc 90“ = r. Ces valeurs sont en effet celles qu’on doit avoir. Remarquez que la valeur tang 90° = co doit être prise avec le signe ambigu de; car elle est à la fois limite des tangentes positives qu’on obtient en faisant croître l’arc de 0 à 90°, et limite des tangentes négatives qu’on obtient en le faisant décroître de 180° à 90°. La même observation s’applique aux autres lignes trigonomélriques susceptibles de devenir infinies.
Concluons maintenant que la généralité des cinq formules n’est limitée par aucune restriction.
23. Il eût suffi de démontrer la généralité des formules [2] et j3] pour en conclure celle de [4] et [5] : car celles-ci peuvent se tirer des premières en y mettant 90° — « au lieu de a. En général, toutes les fois qu’une relation entre les lignes trigonométriques aura été démontrée pour toutes les valeurs possibles des arcs, il sera permis d’y remplacer ces arcs par leurs compléments, ce qui revient évidemment à changer les sinus, tangentes, sécantes, en cosinus, cotangentes, cosécantes, et réciproquement.
24. Les cinq relations [I] .... [S] peuvent servir à en trouver d’autres. Nous allons faire connaître les plus remarquables.
4° En multipliant entre elles les formules [2] et [4], il vient
[6] tang a x cot a = r’.
C’est-à-dire que le rayon est moyen proportionnel entre la tangente et la cotangente. Cette conséquence se réduirait immédiatement des triangles semblables OTA, OSB.
2" La formule [2] donne
r’ -}- tang’a = r’ -f-
r’sin’a
cos’a
r’(sin’a -{- cos’a} cos’a
Or, sin’a 4- cos’a = r2 et séc* a = — — ; donc
cos’a
[7] r* -j- tang’ a — séc ’a ,
formule évidente dans le triangle rectangle OTA . On trouve d’une manière analogue cette autre formule
[8] r ’ cot’ a = coséc’ a ,
laquelle peut se tirer de la précédente en remplaçant a par 90° — a. 3° Des formules [3] et [5] on tire
4 cosa 4 sin a
séc a r- * coséc n rï
TRIGONOMÉTRIE. M
par suite, en ajoutant les carrés et remarquant que cos’a -f sin’a =3 r*, on a
tm 1 . 1 1
' J séc’a ^ coséc’a — rs *
23. En général, une quelconque des six lignes trigonométriques
étant donnée, les cinq relations [lj, [2], [31, [4], [5] serviront à
connaître les cinq autres lignes : il n’y aura , pour cela, qu’une
simple résolution d’équations à effectuer.
Par exemple, si on veut trouver le sinus et le cosinus au moyen
de la tangente, il faut prendre les équations [1] et [2],
... , . . rsin a
sin’a + cos’a = r*. tang a = ;
cos a
et en tirer les valeurs de si n a et de cos a. La seconde donne r’sin’a = tang’a cos’a ; puis, au moyen de la première, on obtient facilement
sin a =
± r tang a /r’ + tang’a’
cos a =
yV’ -j- tang’a’
Le double signe ± apprend qu’il existe deux sinus et deux cosinus, égaux et opposés, qui répondent à une même tangente; et c’est aussi ce que montre la figure. Il faut avoir bien soin de prendre les signes supérieurs ensemble, et les signes inférieurs
ensemble : autrement on ne retrouverait pas
r sin a cos a
= tang a.
Formules pour trouver le sinus et le cosinus de a + 6 et de a — b.
26. La question à résoudre est celle-ci : Connaissant 1rs sinus et les cosinus de deux arcs a et b, trouver le sinus et le cosinus de leur somme et de leur différence.
Soient (fig. 4) les arcs AB = a et BC = BD = b : menez la corde CD, et le rayon OB qui la coupe perpendiculairement en son milieu Q; menez aussi le rayon OA, ainsi que les perpendiculaires BP, CR, DS. On aura
BP = sin a, OP = cos a, CQ = sin b, OQ = cos b,
AC = a -J- 6, CR = sin (a + b), OR = cos (a -|- b), AD=a — b, DS=sin(a — b), OS = cos(a — b).
Tirez encore QE perpendiculaire à OA, et QF, DG parallèles à OA. Les triangles CQF, QDG seront égaux, comme ayant les angles
égaux et le côté QC égal à QD ; donc DG = QF et GQ = CF. Cela posé, on a évidemment
sin(a + *) = CR = FR + CF=QE + CF, cos (a -j - b) = OR = OE — ER = OE — QF, sin (a — b) = DS = QE — QG = QE — CF, cos(« — b) = OS = OE + DG = OE -j-QF.
Le triangle OBP est semblable à OQE, à cause des parallèles BP, QE; et il l’est aussi à CQF, à cause de côtés perpendiculaires. Par conséquent on a
QE OQ OE OQ BP OB’ OP “"OB’
CF CQ QF CQ ÔP OB’ BP OB'
De ces égalités on déduit
