CONTINUATION DU PRÉCÉDENT

Discussion de I'Htperbole. B* — 4AC>0.

239. Puisque la quantité n, ou B* — MC, est positive dans le cas des hyperboles, remplaçons « par 8% et les valeurs générales

de y (226) s’écriront ainsi :

yz=ax-\-b± mS Posons l’équation

désignons par x' et x" ses deux racines , et distinguons trois cas , comme précédemment, selon qu’elles sont réelles et inégales, réelles et égales , ou bien imaginaires.

240. I*' cas. Les racines x! et x " étant réelles et inégales , la courbe rencontre le diamètre donné par l’équation y — ax b en deux points H et H' (fig. 88) qui répondent aux abscisses AB = x et AB' = x". (On suppose x' et x " positifs, et x' < x".)

Décomposant en facteurs le trinôme qui est sous le radical , nous aurons , pour l’ordonnée à partir du diamètre,

Y = ml\J(x — x') (ce — x”).

De A en B, x est positif et moindre que chacune des racines x' et x", les facteurs x — x', x — x", sont négatifs, et Y est réel. Pour découvrir si, x augmentant, Y augmente ou diminue, rendons ces facteurs positifs, et écrivons Y == rnZ\J(x' — x) (x" — x). On voit que x croissant de zéro à x', la valeur de Y diminue depuis mZ\x'x" jusqu'à zéro. Soit donc IF — IF = jnSyx'x", la portion d’hyperbole comprise entre A y et BH sera terminée aux points F et F', et aura à peu près la forme FIIF'.

De B à B', x est > x' et < x”; donc Y est imaginaire; donc il n’y a pas de courbe entre les parallèles BH, B'H'.

Au de là de B', x est plus grand que x" et x'; Y est donc réel. De plus , il est évident qu’en faisant croître x , les deux facteurs augmentent, et n’ont pas d’autre limite que l’infini. Cela détermine une branche de courbe , SH'S', qui s’étend à l’infini dans le sens des x positifs , au-dessus et au-dessous du diamètre.

A partir de l’origine A, du côté Ax', x étant négatif, on fera x = — z, et on aura, Y = »î8^(z -f-x') (z + x"). Chaque valeur positive de z déterminera une valeur réelle de Y ; et z augmentant indéfiniment, cette ordonnée augmentera jusqu’à l’infini. On aura ainsi deux arcs d’hyperbole, FR et F'R', qui s’entendront à l’infini du côté des x négatifs, en s’écartant de plus en plus du diamètre.

Si on donne au diamètre une position particulière, si on prend pour 6, m, x' x", des valeurs numériques , et si on construit la courbe par points, on lui trouve la forme indiquée sur la figure.

241. IIe cas. Quand les racines x', x ", sont égales, les valeurs de y sont

y = ax-f b±mo{x — xf).

Elles déterminent deux droites FO, F'O (fig. 89), qui se coupent sur le diamètre, au point O dont l’abscisse est x' : car, en faisant x = x', l’ordonnée de chaque droite se réduit à y = ax b.

242. III' cas. Lorsque x' et x" sont imaginaires , l’hyperbole ne rencontre pas le diamètre. Le trinôme &xî-\-'2px-\-q devant rester toujours positif, chaque valeur de x donne donc pour Y une valeur réelle, et par suite deux points de l’hyperbole, situés l’un au-dessus du diamètre et l’autre au-dessous. La courbe est encore composée de deux branches indéfinies, mais séparées par le diamètre ; chacune de ces branches est convexe vers le diamètre , et a la forme représentée (fig. 90).

On peut se proposer de déterminer les points où l’hyperbole approche le plus de son diamètre. Pour y parvenir, on met d’abord la valeur de Y sous cette forme

Ensuite on observe que la quantité j doit être positive:

autrement , en égalant à zéro celle qui est sous le radical , on trouverait pour x des valeurs réelles , ce qui est contre l’hypothèse. D’après cette observation, on voit que Y sera minimum quand le

carré (x + sera nul, ce qui n’a lieu qu’en faisant x = —

Ainsi , la valeur minimum de Y est

On prendra donc l’abscisse AE égale à la valeur de x , on mènera EO parallèle aux ordonnées , puis on prendra, de chaque côté du diamètre, les distances OG, OG', égales à Y : les points G et G’ seront ceux où l’hyperbole s’approche le plus du diamètre (*).

F) Par des raisonnements semblables à ceux de la note page 184 , on dé

243. On a vu [231) que A étant nul, B et G ne l’étant point, l’éq. [A] donne des courbes qui doivent être rangées parmi les hyperboles. Suivant ce qui a été dit alors, on peut résoudre l’équation par rapport à x, et établir une discussion semblable à la précédente, sans autre changement que celui de x en y et de y en x. Mais puisque le carré de y manque, l’éq. [A] n’est plus que du premier degré relativement à y, et il parait naturel de la résoudre par rapport à cette variable. Suivons cette nouvelle marche. L’équation qu’il s’agit de construire est

[A] „ B xy + Cx* -f tyy + Ex -+- F = 0.

On l’écrit ainsi, (Bx -f- D)y -f- Cx* + Ex -f F = 0; et elle donne — Cx*— Ex — F y~ Bx + D

Si on effectue la division, en désignant par rx + s les deux premiers termes du quotient, et par t le reste de la division , lequel ne contient point la variable x, la valeur ci-dessus devient

y = rx -f- s -(-

Bx-f-D’

Construisons d’abord la droite qui a pour équation y = rx + s, et supposons que ce soit HH’ (fig. 91). Il est clair que, pour avoir les points de. la courbe, il faut porter dans la direction des ordon-

nées de cette droite, les distances représentées par

Bx+ D’

non

point au-dessus et au-dessous, mais seulement au-dessus lorsque cette quantité est positive, et seulement au-dessous lorsqu’elle est négative. En effet, il est évident que dans le premier cas cette quantité doit être ajoutée à l’ordonnée de la droite , et que dans le second elle doit en être retranchée.

Posons, pour abréger,

Bx-f-D’

et supposant que B, D, t soient des quantités positives, examinons quelle marche suivent les valeurs de V lorsqu’on fait passer x par tous les états de grandeur.

montre que , dans les flg. 88 et 90, le point O est un centre , que la ligne GG' est un diamètre, et que HH' et GG' sont deux diamètre* conjuguât,

On a V = — quand x — O ; donc, en prenant sur Ay, au-dessus

de HH', une partie GG égale à cette valeur, le point C sera à la ' courbe. En faisant croître x positivement jusqu’à l’infini, V reste positif, mais diminue jusqu’à zéro. Cela indique qu’à partir du point C la courbe se rapproche de plus en plus de la droite HH', sans qu’on puisse assigner de limite à ce rapprochement. On obtient ainsi un arc indéfini tel que CR.

Afin de ramener la substitution des valeurs négatives à celle de valeurs positives, faisons x = — z; il vient

Le dénominateur devient nul et V est infini en faisant z = - ;

donc si on porte cette valeur de A en K, du côté kx'} et qu’on mène LKL' parallèle à Ay, la droite LKL' ne rencontrera pas la courbe, ou du moins ne la rencontrera qu’à l’infini. Si on donne à z des valeurs croissantes depuis zéro jusqu’à AK, V sera toujours positif, et augmentera depuis GC jusqu’à l’infini : cela détermine un nouvel arc hyperbolique CR', qui est comme le prolongement de l’arc CR, et qui se rapproche continuellement de la ligne KL à mesure qu’il s’éloigne de la droite HH', sans qu’on puisse assigner aucune limite à ce rapprochement.

Si on donne à z une valeur AE > AK, V sera négatif; donc le point F, qui répond à cette abscisse, sera situé au-dessous de la ligne HH'. En faisant décroître z depuis AE jusqu’à AK, V augmente négativement depuis DF jusqu’à l’infini ; et en faisant croître z depuis AE jusqu’à l’infini, V diminue jusqu’à zéro tout en restant négatif. Donc, de chaque côté du point F, il existe deux arcs hyperboliques indéfinis, FS’ et FS, dont l’un s’approche indéfiniment de la droite KL', et l’autre de la droite GH'.

Les droites HH' et LL', qui sont données par les équations

y = rx + s et x = — approchent indéfiniment de l’hyperbole B

sans jamais la rencontrer : cette propriété remarquable leur a fait donner le nom d 'asymptotes. La partie OH est asymptote de l’arc CR, et la partie OH' est asymptote de l’arc FS. Pareillement les lignes OL et OL' sont asymptotes des arcs CR' et FS'.

Il a été supposé, dans ce qui précède, qu’en faisant la division indiquée dans la valeur de y déduite de l’équation [B], le reste t n’était pas nul. Supposons maintenant t = 0 : alors on a — de* — Ex — F = (rx + «)(Bx -f- D). Par suite l’équation [B] peut s’écrire ainsi (Bx + D) y — (rx -f *)(Bx + B) = O, ou encore de cette |manière (Bx-|-D)(ÿ — rx — s) — 0; et il est évident qu’on y satisfera, soit en posant

Bx-J-D = 0 d’où x — —

soit en posant

y — rx — s = 0 d’où y = rx-\-s.

De là on conclut que, dans le cas dont il s’agit, l’équation [B] représente deux droites , dont l’une est parallèle à l'axe des y.

Il résulte de la discussion qui vient d’étre faite que , dans le cas oii l’équation du second degré manque du carré yi, sans toutefois manquer du rectangle x y, elle représente ou une hyperbole qui a deux asymptotes dont l’une est parallèle à l’axe des y , ou deux droites dont l’une est parallèle à cet axe.

244. Si l’équation manque du carré x*, et non de y*, il est clair qu’elle donnera une hyperbole avec une asymptote parallèle à l’axe des x, ou bien deux droites dont l’une sera parallèle à cet axe.

215. Si les deux carrés manquent, l’équation doit donner une hyperbole qui ait deux asymptotes respectivement parallèles aux deux axes, ou bien deux droites parallèles à ces axes. C’est en effet ce qu’on déduirait de l’équation Bxÿ -f- Dy -)- Ex -f- F = 0, en lui appliquant les raisonnements du n° 243.

Asymptotes de l’hyperbole en général.

246. Lorsqu’une branche de courbe est infinie, une droite qui en approche indéfiniment, sans jamais la rencontrer, se nomme asymptote. D’après cette définition , les asymptotes sont faciles à déterminer. Voici comment M. Caccuï a présenté cette recherche dans ses leçons d’Analyse.

Soit CR (fig. 92) une branche de courbe, et GH son asymptote, que nous supposons n’étre point parallèle à l’axe A y, et soient MP, NP, des ordonnées quelconques de ces lignes, correspondant à une même abscisse AP. Il faudra que la distance MN devienne

très-petite pour de très-grandes valeurs de x , et même qu’elle se réduise à zéro quand on fera x infini ; donc si l’équation de l’asymptote est

y — ex -\-d,

il faut qu’on puisse tirer de l’équation de la courbe une valeur de y, dont la différence avec ex -J- d devienne nulle quand x est infini. Cette valeur peut donc se mettre sous la forme

y=cx + d + \,

V étant une fonction de x, qui devient zéro pour x=-f-ao ou pour x = — « , suivant que la branche de courbe est infinie vers les x positifs ou vers les x négatifs. De cette équation on tire

d—y — ex — V.

Or, quand x est infini , les quantités V et — - — deviennent nulles : on obtiendra donc c en cherchant ce que devient alors le

rapport de l’ordonnée de la courbe à son abscisse; et, après

avoir déterminé c, on obtiendra d en cherchant ce que devient la quantité y — ex, pour la même valeur x — infini. Alors, c et d étant connus, l’équation de l’asymptote sera y =cx -f d.

Si on peut déterminer de cette manière plusieurs systèmes de valeurs réelles et finies pour c et d, c’est qu’il existera dans la courbe plusieurs branches infinies qui auront des asymptotes non parallèles aux ordonnées. En faisant x = -j- ce , on obtient les asymptotes des branches qui sont infinies du côté des x positifs; et en faisant x = — oo , on obtient les asymptotes des branches qui sont infinies dans le sens des x négatifs.

247. Pour ne laisser échapper aucune asymptote, il faut encore chercher celles qui sont parallèles aux ordonnées ; et à cet effet il suffira de remarquer qu’elles résultent des valeurs non infinies de x, qui rendent infinie l’ordonnée de la courbe.

Au reste, en changeant partout, dans ce qui vient d’être dit, x en y et y en x , on aurait toutes les asymptotes non parallèles aux abscisses : de sorte qu’on retrouverait toutes celles qui sont déjà connues, plus celles qui sont parallèles aux ordonnées, les seules qui restent encore à découvrir.

248. Appliquons à l’hyperbole les règles précédentes. Four cette courbe, les valeurs générales de y sont (239)

y = ax -j- b db m y/S’.r’ -f- 2/>x q.

Supposons qu’il s’agisse de l’hyperbole représentée fig. 88 : selon qu’on fait croître x jusqu’à -f- oo ou jusqu’à — c/-j, la première valeur de y détermine l’arc H'S ou l’arc HR, et la seconde valeur de y détermine l’arc H'S' ou l’arc HR'.

Pour avoir l’asymptote du premier arc, Il'S, il faut prendre d’abord le rapport de y à x, et chercher la valeur de ce rapport correspondante à x = -f- co. Or, on a

et, si on fait x — 4- co, il vient c = limite de - = a 4- mô.

Après avoir trouvé c, il faut, pour avoir d, chercher la limite de y — ex. On a

y — ex = ax -f- b -J- m o’x! -f- 2 px -f- q — (a -f- »i3)x — b + m (^o'x* -|- 2 px -\-q — ox);

mais on ne voit pas ce que devient cette quantité lorsque x augmente positivement jusqu’à l'infini : car la partie positive et la partie négative de la parenthèse deviennent infinies en même temps. Pour éluder cette difficulté, nous aurons recours à une transformation connue, de laquelle il résulte

sjl'x1 -f- 2 px -j -q — Sx)(y'o1x3 2 px -f- q Sx

-J- 2 px + q + Sx

wi(2/;x -f- q) s/o-x' -j- 2 px + q + Sx

y — ex — b -f-

Sous cette forme, on reconnaît facilement qu’en faisant x = -f

fïip

il vient d — limite de y — ex — b -j — ~~ .

Remplaçons, dans l’équation y = ex -f- d, c et d par leurs valeurs, on aura, pour l’asymptote de l’arc H'S,

y = (a + TOS)a; + é + ^.

Si on veut l’asymptote de l’arc HR', on remarquera que cet arc est donné par la seconde valeur de y, en y faisant croître x jusqu’à — co. Dans ce cas, on a

f = « + ^ “ J l/SV + î/Mf+f.

Changeons x en — z, et on fera ensuite z = -f co. 11 vient

donc, pour z = co , c a la même valeur que dans l’autre cas ,

savoir c = limite de - = a 4- wiô.

On trouve pareillement

y — cx = ax -\-b — m \J S’x* 2 px -\-q — (a -f- »»S)zc

= b — m(^8\r*-|-2/M:-]-y + 8x)=é — m ( y'S’z* — 2/>z + 17 — oz) ; et, en opérant la même transformation qu’à la page précédente , puis faisant de nouveau z=-(-cn,ona aussi la même valeur de d

que pour le premier arc, savoir : d = limite de y — ex = b -f-

mp

Il suit de là que les deux arcs H'S et HR' ont leurs asymptotes sur une même ligne droite, laquelle est donnée par l’équation [1], En raisonnant tout à fait de la même manière, on trouve que les deux autres arcs, HR et H'S', ont aussi leurs asymptotes sur une même droite, qui a pour équation

12] y — (a — mè)x+b — t~.

Les éq. [1] et [2] peuvent s’écrire de cette manière y — ax + b + m +

yz=ax + b — m ^8x-|- 1^,

ou bien encore, en les réunissant en une seule, de cette manière [3] y = ax 4- b ± m ^8x + Ç\ ;

et cette forme montre mieux comment les asymptotes peuvent se déduire immédiatement des valeurs générales qui expriment l’ordonnée de l’hyperbole. En effet, si, dans ces valeurs, on ne conserve sous le radical que les termes variables 8*x* + 2 \px, si on

complète le carré 8'x1 + 2 px -j- — , et si on extrait la racine de

ce carré , on aura précisément l’éq. [3].

2 49. Les deux asymptotes se coupent sur le diamètre de l’hyperbole : car les ordonnées de ces trois droites deviennent égales quand on pose

8x + ! = 0, d’où x = —

Cette valeur est la même qui rend Y minimum (242) dans le cas de la fig. 90 ; les asymptotes passent donc alors par le point O. Si on remonte au n° 240, auquel se rapporte la tig. 88, et qu’on mène l’ordonnée OE du milieu de HU', on aura

AE = Ail + | BB' = x' + i [x" — af) = { (jf + x").

Mais x' et x" sont racines de l’équation x*+^x-)-^=0; donc

la somme x' -f- x" est égale au coefficient de x, pris avec un signe contraire; donc

AE = i(a/ + x') = -|.

Cette valeur prouve que, dans le cas du n° 240, les asymptotes de l’hyperbole passent par le milieu 0 de HI1'.

Connaissant ainsi le point où les asymptotes coupent le diamètre , pour achever de les déterminer on fera x — 0 dans leurs équations , ce qui donne

On prendra donc sur l’axe des y (fig. 88 et 90), au-dessus et au-

dessous du diamètre, les distances 1T, IT, égales à ; et en

menant les droites OT, OT, on aura les asymptotes.

230. Lorsque , dans l’équation générale du second degré , le coefficient de //’ n’est pas nul, les valeurs de y ne contiennent point x en diviseur : elles ne peuvent donc devenir infinies que par une

valeur infinie de x; par conséquent, il n’existe point alors d’asymptote parallèle aux ordonnées (247).

Si A = 0, alors l’équation est

B xy + Cx* + Dÿ + E# + F = 0; et l’on en tire, comme dans le n° 243, une valeur de y de la forme

y = rx -f- s +

Bx + D'

La méthode générale fera bien trouver une asymptote non parallèle aux y, représentée par l’équation y ■= rx -f- s; mais il y a une autre asymptote qui est parallèle aux y, et qu’on obtient en cherchant, comme il a été prescrit n° 247, s’il y a quelque valeur finie

de x qui rende y infini.

propriété, par conséquent il existe une asymptote parallèle aux y, laquelle a précisément cette valeur pour abscisse. Ces résultats sont conformes à ceux du n° 243.

On aurait pu aussi obtenir cette dernière asymptote par la méthode générale, en changeant dans tous les calculs x en y et y en x. De plus amples explications ne sont pas nécessaires.