CONTINUATION DU PRÉCÉDENT

Discussien de la Parabole. B*— 4AC = 0.

231. Lorsque B* — 4AC = 0, on a, pour l’ordonnée comptée à partir du diamètre,

Y = my2px + q.

Alors, si p et q sont positifs, chaque valeur positive de x donne pour Y une valeur réelle; et x augmentant depuis zéro jusqu’à l’infini, Y augmente depuis m\q jusqu’à l’infini. On conclut de là que si on prend sur l’axe A y (fig. 93), au-dessus et au-dessous du diamètre, IF = IF’ = m\y, la parabole passera aux points F et F’, et aura du côté des x positifs deux arcs infinis tels que FS et FS’.

Pour avoir les points situés du côté des x négatifs, on fait x — — z, ce qui donne

On voit que z augmentant depuis zéro jusqu’à Y est réel et diminue jusqu’à zéro : mais z devenant plus grand, Y est imaginaire. On prendra donc AB = du côté Ax', et on mènera, parallèlement à A y, la droite BC qui coupe le diamètre en G ; la parabole sera terminée, du côté des x négatifs, par un arc tel que FCF’. La parabole n’a donc qu’une seule branche SCS', composée de deux parties , qui sont indéfinies dans le sens des abscisses positives , qui s’écartent de plus en plus du diamètre, et qui d’ailleurs sont concaves vers ce diamètre , puisqu’une droite ne saurait rencontrer la courbe en plus de deux points.

Quand, p étant positif, q est nul, la parabole prend la position KIR'; et quand, p étant positif, q est négatif, elle prend la position TDT'.

252. Lorsque p est négatif, la courbe prend une position inverse , c’est-à-dire qu’elle s’étend à l’infini dans le sens des x négatifs. La figure 94 indique comment elle se trouve placée, selon que q est positif, nul ou négatif.

253. Enfin, lorsque p = 0, on a Y = m\lq, ce qui donne deux droites parallèles au diamètre , et également éloignées de ce diamètre , pourvu toutefois que q soit positif. Ces droites se réduisent au seul diamètre, si q — 0. Elles sont imaginaires, ou, en d’autres" termes, l’équation est impossible si q est négatif.

254. Si A est zéro, et que B soit zéro en même temps, l’équation générale [A] devient celle-ci :

Cx* -f Dy + Ex F = 0.

qui est encore comprise dans le cas des paraboles (231). Si on la résout par rapport à x , on a

* = -^±~\/-4CDy + E’-4CF.

En ne prenant que la partie rationnelle x — — — , on a l’équation

lion d’un diamètre qui est parallèle à l’axe des y. Rien n’empêche d’ailleurs d’appliquer ici les raisonnements précédents, en y remplaçant partout x par y et y par x.

On peut aussi résoudre l’équation par rapport à y; il vient

qX -(- - 1 , valeur qu’il serait facile de discuter.

255. Gomme la parabole s’étend à l’infini, on peut demander si elle a des asymptotes. D’abord, elle n’en a point de parallèles aux ordonnées; car, pour cette courbe, on a

y — ax -\-bzt.m\J 2 px -j- q.

et il est évident qu’aucune valeur finie de x ne peut rendre infinies ces valeurs de y, ce qui devrait arriver s’il y avait des asymptotes parallèles aux ordonnées (247).

En second lieu , pour découvrir s’il existe des asymptotes non parallèles aux' ordonnées , appliquons la méthode générale du n° 246. Or on a

et en faisant x = ± cr>, il vient limite de - = a. Cette valeur doit

être le coefficient de x dans l’équation de l’asymptote, et elle prouve que si la parabole a en effet des asymptotes, elles sont parallèles au diamètre.

Maintenant, on a

y — ax = b±m\J<ipx -f- q’,

donc limite de y — ax = ± oo. Cette limite est l’ordonnée du point où l’asymptote rencontre l’axe des y. Ainsi, pour avoir les asymptotes de la parabole, il faudrait mener des parallèles au diamètre, infiniment éloignées de l’origine, ce qui revient à dire que cette courbe n’a point d’asymptotes.

Application des discussions précédentes à des exemples numériques.