Exemples dans lesquels ma B5 — 4AC

Exemple I (fig. 95). y’ — 1 xy — Ay -\-ix — 6 = 0.

En comparant cette équation à l’équation générale [A], on trouve Bs — 4AC = — 4; donc, si elle représente une courbe, ce ne peut

être qu’une ellipse (233). Mais il pourrait se faire qu’elle ne représentât qu’un point (236), ou même qu’elle fût impossible (237). Pour savoir quel cas a lieu , on la résout par rapport à y , ce qui donne

y = {# -f 2±:y/ — x * — 3x + lÔ;

puis on pose — x 1 — 3.r-|-i0 = 0, d’où x = 2 et x= — b. Ces racines étant réelles et inégales , on en conclut (23b) que la courbe est réellement une ellipse qui a pour diamètre la droite de l’équation y= Jx-J- 2, et qui coupe ce diamètre en deux points dont les abscisses sont -f 2 et — b.

En faisant x = 0 dans l’équation du diamètre, il vient y = 2; et en faisant y = 0, onai = — 8. Je prends donc, sur les axes, AI = 2 et AI' = 8, et je mène par les points I et I', une droite qui sera le diamètre. De plus, je prends AB = 2 et AB' = b, je mène, parallèlement à l’axe A y, des droites qui coupent ce diamètre aux points H et H'; et ces points sont ceux où la courbe elle-même rencontre ce diamètre.

La quantité qui est sous le radical peut se décomposer en — (x — 2) {x -f- b) ou (2 — x) (x + b) . En nommant donc toujours Y l’ordonnée comptée à partir du diamètre , on a

Y = ^(2 — .r)(x-fb).

De A jusqu’à B, l’abscisse x est positive et moindre que 2, donc Y est réel. L’abscisse x — 0 donne Y =^10, et i ==2 donne Y = 0. Donc, si on prend IF=IF' = yltT, l’ellipse aura un arc tel que FHF'. Au delà du point B, l’abscisse x est plus grande que 2, et Y devient imaginaire; par conséquent, la courbe ne s’étend pas au delà de la ligne BH.

Pour avoir les points placés du côté des x négatifs, on fera x = — z. Alors

et il est clair que dans l’intervalle AB', z étant moindre que b, Y est réel , mais qu’au delà de B', z étant plus grand que b, Y est imaginaire. De là résulte un second arc tel que FH'F', qui ne s’étend pas au delà de la droite B'H', et qui achève la courbe.

S’il était utile de déterminer les points où elle coupe l’axe Ax, on ferait y — ü dans l’équation proposée ; alors il viendrait \lxl -j- 4* — 6 = 0, d’où l’on tire les abscisses des points cherchés .

Pour connaître les limites de l’ellipse parallèlement au diamètre HH', on remarquera (235) que la somme des facteurs qui entrent dans l’expression de Y, étant égale à 7, le maximum de cette expression est Y = — et que la valeur correspon-

dante de x est donnée en posant 2 — x = J , d’où x — — f .

Cette abscisse est celle du milieu E de BB'; de sorte qu’on aura les limites cherchées en portant sur la ligne EO , parallèle aux ordonnées, au-dessus et au-dessous du diamètre, les distances OG = OG' = et en menant ensuite les droites GK et G'K' parallèles au diamètre. Si on résout l’équation de la courbe par rapport à x, on trouvera un autre diamètre et d’autres limites.

Exemple II (fig. 96). y* -|-2xy -f- 5#* — 4x = 0.

De cette équation on tire

y = — x±çL\Jx — x1 — — x ±2 \Jx[\ — x).

Sous le radical, x* a le signe — ; et si on pose x — x*= 0, on trouve x = 0 et x = 1 ; donc l’équation représente une ellipse. Le diamètre a pour équation y = — x; donc il divise l’angle xAÿ en deux parties égales. Les abscisses x = 0 et AB = î déterminent les points A et H , où l’ellipse coupe le diamètre.

Dex = 0àx = t, le radical est réel ; au delà du point B, il est imaginaire ; pour les abscisses négatives , il est aussi imaginaire. Donc l’ellipse est comprise entre les parallèles Ay et BH.

En faisant y = 0 dans l’équation, on trouve x = 0 et x = |, valeurs qui donnent les points où la courbe rencontre l’axe des x.

La valeur de x qui rend le radical maximum est x = J ; et ce maximum est 2y/| x |= 1, ce qui détermine les limites de la courbe de chaque côté du diamètre.

Exbhflb III (fig. 97). y* — 2 xy -f- 6x* — 2 y — 28x -f- 46 = 0,

De là on tire

y = x- {-1 ± — 5xJ-)-30x — 45;

et en posant — 5xs -f- 30x — 45 = 0, on trouve deux racines égales à 3. Comme d’ailleurs le coefficient de x* est négatif, on conclut que l’équation proposée représente un point seulement (236). Et en effet, les valeurs de y pouvant s’écrire ainsi :

y = x -f- 1 zfc (x — 3) J — 5,

il est évident qu’elles ne peuvent être réelles que par la seule abscisse x= 3, à laquelle correspond y = 4.

Dans ce cas, l’équation proposée est la somme de deux carrés; en effet, il est clair d’abord qu’elle revient à celle-ci :

ou bien, en remarquant que le premier membre est le produit de la somme de deux quantités par leur différence ,

Sous cette forme, on voit bien qu’on n’y peut satisfaire qu’en égalant à zéro, en même temps, chacun des deux carrés, ce qui donne x = 3 et y = 4, comme plus haut.

Exemple IV. y* — 2 xy -{- 2x! — 2y -f- 3 = 0. Ici on a

y=x + 4 di sJ — x*-f- 2x — 2:

on pose — x*-|-2x — 2 = 0, d’où x=d ± y/ — d, et comme ces racines sont imaginaires, on conclut que l’équation proposée est impossible (237). Pour mettre ce résultat en évidence dans l’équation même, on remarque d’abord que

— x’-f-2x — 2 = — (x — d — \J — l) (x — 1 -iV — 1)= — {* — 1)* — i, et que par suite la proposée revient à

[y — x — 1 — y/ — (x — d)1 — l] [y — x — 1-f-y/ — (x — 1)’ — 1 j = 0, ou à

(y— x— d )* + (« — d)*+l =0, équation évidemment impossible : car la somme des trois carrés, dont l’un est une quantité constante, ne peut jamais être nulle, quelque valeur réelle qu’on donne à x.

Exemple Y (fig. 98). y! -(- x- — 4 y -(- 2x = 0.

On suppose que les axes sont rectangulaires. Si on ajoute 4 aux termes y1 — 4 y, on aura lecarré de (y — 2) ; et si on ajoute 1 àx*+2x, on aura le carré de (x-fd); donc si on ajoute 4-j-d ou 5 aux deux membres de l’équation, on aura

Ici le premier membre est le carré de la distance d’un point quelconque M de la courbe, au point O dont les coordonnées sont x = — 1 et y = 2 (219). Cet distance est donc égale à \j 5 pour tous les points de la courbe; par conséquent cette courbe est une circonférence de cercle qui a le point O pour centre et ^3 pour

rayon. La distance AO sera le rayon de cette circonférence, car le

triangle rectangle AOE donne AO = v/ae’+EÔ* = y/l -(-4= y5.

Il est important de remarquer que toutes les fois qu’une équation du second degré doit être construite sur des axes rectangulaires, si elle ne contient pas le rectangle xy, et que les carrés x* et if aient le même coeflicient, cette équation peut être traitée comme la précédente, et représentera un cercle ou un point, ou bien sera impossible, selon que le second membre, après qu’on a complété les carrés, est positif, nul ou négatif.