Exemples dans lesquels on a B* — 4AC

Exemple I (fig. 99). ÿ’-f- xy — 2x’ — 2 y — 2x 3 = 0.

Cette équation donne

y = — jX-f- 1 ± x*-}-x — 2.

On construit d’abord le diamètre dontl’équation est y = — \x et on pose ensuite -J-x*-|-x — 2 = 0, d’où x = — f ± et

comme ces racines sont réelles et inégales, et que d’ailleurs le coefficient de x ’ est positif sous le radical, on est sur que l’équation proposée est une hyperbole qui coupe le diamètre (240).

En prenant AE= J, du côté des x négatifs, et portant, de chaque côté du point E, une distance égale à * y 76, on a les deux points B et B', qui ont pour abscisses les valeurs précédentes de x; et en menant par ces points des parallèles à l’axe A y, on détermine les intersections H et H' de l’hyperbole avec le diamètre.

La première valeur de x est positive, et la seconde est négative ; je les désignerai l’une par x' et l’autre par — x". Alors on aura, pour l’ordonnée comptée à partir du diamètre,

De A en B, x est positif et moindre que x', donc Y est imaginaire. Au delà du point B, x augmentant depuis x' jusqu’à l’infini, Y est réel et augmente depuis zéro jusqu’à l’infini, ce qui détermine la branche d’hyperbole RHR'.

Soit x — — z, on a

Lorsque s est compris entre zéro et x", Y est imaginaire. Mais si z augmente depuis z = x” jusqu’à z = co, Y sera réel et augmentera lui-même depuis zéro jusqu’à l’infini, ce qui donnera la seconde branche SH'S'.

Pour avoir les asymptotes de cette hyperbole, il faut, suivant la règle donnée à la tin du n° 248 , prendre le binôme \x -f- J , dont le carré reproduit les deux premiers termes \x% -\-x, qui se trouvent sous le radical dans les valeurs de y ; et les équations des deux asymptotes seront

y = — | x + 1 ± (| ar + i).

Ces droites se coupent sur le diamètre au point O , pour lequel on a x= — |. Afin d’obtenir un second point de chacune d’elles, on faitx=0, et la partie 3, qui est précédée du signe ±, se réduit à a. On prendra donc, de chaque côté du diamètre IT = IT’ = {, on mènera la droite KK' par des points O et T, et la droite LL' par les points O et T; et ces lignes seront les asymptotes de l’hyperbole.

Exemple II (fig. 400). ÿ* — 2 xy — 2 y — 2x — 4=0.

De là on tire

yz=x-\- 4 rfc x 1 -|- Ax -|- 5.

Si on pose x* + ix -f 5=0, on trouve des racines imaginaires; d’ailleurs xl a le signe -f- sous le radical ; donc l’équation représente une hyperbole qui ne rencontre point le diamètre (242).

Soit HH' le diamètre. L’ordonnée, à partir de ce diamètre, est

Y= s/*I + 4x + 5= v/(^+2)‘ + l, et on voit qu’elle est minimum lorsque x = — 2 , ce qui donne Y = 4. On prend donc AE = 2, on mène l’ordonnée EO du diamètre, sur laquelle on porte OG = OE = 4 ; et les points G et E seront ceux de l’hyperbole qui approchent le plus du diamètre; de sorte que si on tire EK et GK' parallèles à HH', la courbe sera tout entière hors de ces parallèles.

La quantité Y va en croissant de x = — 2 à x = 0, et de x = 0 à x — -f- 00. Elle croît encore de x — — 2 à x — — t». Ainsi, à partir des points E et G, les deux branches de l’hyperbole s’éloignent de plus en plus du diamètre, à droite et à gauche.

Si on fait x = 0, on a Y = y 5S ce qui donne les points F et F* où la courbe coupe l’axe des y ; et si on fait y — 0 dans l’équation proposée il vient x = — 2, ce qui donne, pour l’intersection de la courbe avec l’axe des x, le point unique E, déjà trouvé.

Quant aux asymptotes, elles ont pour équations y = x-\-\± (jr + 2), ou bien

y = 2x + 3 et y — — 4 .

La première détermine la droite UU', qui rencontre les deux axes ; et la seconde donne une parallèle VV' à l’axe des x. On pouvait d’ailleurs prévoir, à l’inspection de l’équation proposée, que l’hyperbole avait une asymptote parallèle à l’axe des x, puisque le carré de cette variable n’entre pas dans l’équation (244).

Exemple III. y* — 2xy — 2y 4x = 0. Cette équation donne:

y = x 1 ± yx1 — 2x -f- 1 ;*

et si on pose x * — 2x -f- 4 =0, on obtient deux racines égales à I . Donc, au lieu d’une hyperbole, on a deux droites qui se coupent (241), et dont les équations sont

y = 2x et y = 2.

L’équation proposée peut donc se décomposer en facteurs rationnels, et s’écrire ainsi, (y — 2x) [y — 2) = 0 : sous cette forme, on voit bien pourquoi elle représente deux lignes droites.

Exemple IV (fig. 101). x* — 2 yx — 2x-(-4 y — 1=0.

Comme le carré y* manque, cette équation se rapporte au cas traité n° 243. Si on en tire d’abord la valeur de y, et qu’on effectue la division, on trouve

Construisons la droite HH' qui a pour équation y = £ x, et faisons

A x = 0 répond V = |; donc il faut prendre au-dessiis de la droite HH' la distance AC = {. Si on fait augmenter x depuis zéro jusqu’à 2, V augmente positivement jusqu’à l’infini; donc si on prend AB = 2 et qu’on mène, par le point B , la parallèle LL’ à l’axe des y, la courbe aura un arc indéfini , tel que CR, dont OL est asymptote.

Quand x est plus grand que 2 , écrivons V de cette manière :

On voit que , si on fait décroître l’abscisse jusqu’à x = 2 , V augmente jusqu’à — co ; et, si on fait augmenter x jusqu’à l’infini, V diminue jusqu’à zéro; donc la courbe a une branche telle que TT', dont OL' et OH sont asymptotes.

Faisons x — — z, on a

Celte quantité reste positive et diminue depuis V = -( jusqu’à V = 0, lorsque z augmente depuis zéro jusqu’à l’infini ; de là résulte l’arc indéfini CR', qui est le prolongement de CR et qui a pour asymptote OH'.

Exemple V (fig. 102). x1 -f- 3xy + 2y + 2ar -f- 1 = 0. Cetto équation donne

et cette valeur indique une droite telle que BC, qui rencontre les deux axes. Mais l’équation proposée détermine aussi une droite DE parallèle à l’axe des y : en effet, de ce que la division a pu sc faire exactement, il s’ensuit que 3x + 2 est un facteur de l’équation ; donc elle est satisfaite en posant 3x + 2 = 0 ou x — — -J, ce qui donne une parallèle aux ordonnées.

Exemple YI (fig. 103). xy + 2y -f- 3x — 2 = 0. De là on tire

et une discussion facile à faire détermine une hyperbole, telle que l’indique la figure, avec ses deux asymptotes HH', KK', qui sont parallèles aux axes, et qui ont pour équations y= — 3, x= — 2. 238. Exemples dans lesquels on a B1 — 4AC = 0.

Exemple I (fig. 104). y* -|- 2zy -f- x* -j- 4y -f- 3x + 3 = 0. Cette équation donne

et comme le radical renferme la première puissance de x, sans le carré x1, on doit avoir une parabole (251 ). Le diamètre est donné par l’équation y — — x — 2 : il rencontre les axes en deux points I, I', aux distances AI = 2, AI' = 2.

En faisant croître x positivement de zéro à l’infini, le radical sjx -j- 1 est réel et augmente indéfiniment à partir de l’unité. Ainsi sont déterminés les arcs FS et FS', qui coupent l’axe des y aux points F et F', construits en prenant IF = IF' = 1 .

Si x croît négativement jusqu’à l’unité, v/â"+ 1 diminue jus-

qu’à zéro; donc, en prenant AB = 1 et menant BC parallèle à Ay, cette parallèle coupera le diamètre au point C , où viennent se réunir les deux arcs de la parabole. Ils ne vont pas au delà de BG: car les abscisses négatives > 1 rendent le radical imaginaire.

La parabole ne rencontre point l’axe des x : car en faisant y = 0 dans l’équation proposée , il vient x* -f- O-37 + 3 = 0, d’où l’on tire des valeurs imaginaires x — — f±V — !•

Exemple II (fig. 105). y 1 + 2 xy -{- x' — Ay — 3x + ^ = 0.

De là on tire

alors la parabole et son diamètre sont placés comme on le voit dans la figure.

Exemple III (fig. 106). x! — 3x -J- 2y -{- 1 = 0.

On peut résoudre cette équation par rapport à y; mais on peut aussi la traiter comme les exemples précédents, en changeant dans les raisonnements x en y et y en x. On trouvera le diamètre HH' et la parobole SCS'.

Exemple IV. ys — 2 xy -f- x* -j- 2y — 2x — 3 = 0.

De là on tire y = x — 1 ± vl.i=x — 1±;2, c’est-à-dire

y = x -f- 1 et y—x — 3.

Ces valeurs déterminent deux droites parallèles. Dans ce cas, l’équation proposée a pour premier membre le produit des deux facteurs (y — x — 1 ) et (y — x-f- 3)

Exemple V. y* — 2xy-J-x* — 2y-j-2x-(-l=0.

Cette équation donnant pour y deux valeurs égales à x-(- 1 , son premier membre est le carré de (y — x — 1), et elle ne détermine qu’une seule droite, laquelle a pour équation y = x + 1 .

Exemple VI. y,-|-2ay-)-x,-)-y-(-x + l = 0. Ici on a

et comme ces valeurs sont imaginaires, on conclut que l’équation est impossible. En effet elle revient à (y + x -f î)1 ’ =0, et sous

cette forme on voit sur-le-champ pourquoi elle est impossible.