B*— 4 AC ’ — B*— 4AC

Dans le cas des ellipses ou des hyperboles, le dénominateur Bs — 4AC n’est pas nul (233) ; ces valeurs ne sont donc ni infinies ni indéterminées; de sorte qu’en plaçant l’origine au point qu’elles déterminent, l’équation [B] perd véritablement les termes en x' et en y'. Ce point est le seul qui jouisse de cette propriété; car les équations [1] n’admettent pas deux solutions.

Pour les paraboles cette simplification est impossible : car alors Bs — 4AC = 0, et les valeurs de a et de 6 sont infinies.

Mais si, de plus, un des numérateurs, 2AE — BD, par exemple, est nul en môme temps que B* — 4 AC, ces deux suppositions rendent aussi nul l’autre numérateur, et les valeurs de a et de b deviennent indéterminées. Alors on sait que les équations [1 rentrent l’une dans l’autre : ou, ce qui est la même chose, les droites qu'elles représentent n’en font plus qu’une seule ; et par conséquent il existe une infinité d’origines, toutes situées sur cette droite, avec lesquelles on peut faire évanouir les termes du premier degré. Alors aussi l’équation [A] ne représente plus une courbe. En effet, les valeurs générales de y qui s’en déduisent sont :

y = ~BX-~E>± s/ (U* — 4AC)x* + 2(BD— 2AE)g + B* — 4AF;

JiA. A

et, par la double hypothèse B* — 4AC = 0 et 2AE — BD = 0, elles se changent en celles-ci :