OE

cos a cos b

QF:

sin a sin b

et, en substituant ces valeurs dans sin(a + b), etc., il vient

sinucosé + cosasiné

[1] sin(a-fè) = ,

„ . . .. cosacosé — sinasinè

[2] cos(a -f b) = - ,

rn. . , ,, sinucosô — cosasiné

[3] sm(a — b) = ,

, cosaco3é-4- sinusinô

L4] cos(« — b) = •

27. La figure dont on s’est servi semble attacher certaines res- . trichons à ces formules ; car elle suppose que a et b sont des arcs positifs, que la somme a -f- b est < 00°, et même que a surpasse b dans les formules relatives à a — b. A la vérité on peut modifier facilement les constructions pour les autres cas; mais ces cas sont nombreux, et il serait peu commode de reconnaître par ce procédé si les formules sont générales : le suivant est préférable.

V La restriction a > b peut être écartée des formules [3] et [4] . En effet, quand a est moindre que b, on sait (11) qu’on a

sin (a — è) = — sin(è — a) et cos(a — 6) = cos(é — a)

TRIGONOMÉTRIE

Mais, b étant plus grand que a, on peut obtenir sin(6 — a) et cos ( b — a) par les formules [3] et [4] , en y changeant a en b et b en a : or il est évident qu’alors la première change seulement de signe, tandis que la seconde reste la même; donc on aura encore, pour sin [a — b) et cos (a — b), les mêmes formules que dans le cas où a est plus grand que b. Ainsi, ces quatre formules ont lieu dans tous les cas où a et b sont positifs et font une somme a + b < 90°; par conséquent il est permis d’y supposer à chacun de ces arcs telles valeurs qu’on voudra entre 0 et 45°.

2° Comme les formules relatives à la différence a — b peuvent se déduire de celles qui expriment sin(a-)-fc) et cos(a-j-^)j éa changeant b en — b, il s’ensuit que les formules [1] et (2] sont vraies pour toutes les valeurs de a entre 0 et 45°, et pour toutes les valeurs de b entre — 45° et -{- 45°. Or je dis que ces mêmes formules conviennent aussi aux valeurs négatives de a, prises de Oà— 45°.

Représentons par a un arc <45° et faisons a = — a, on aura sin (a -J- 6) = sin( — a + b) = — sin(a — b),

COS (a + b) = cos( — a + b) = cos (a — b).

Les arcs a et — b sont dans les limites pour lesquelles les formules

[1] et [2] sont démontrées; donc

. , . — sin a cos b + cos a sin b

sin(a -j- b) = — sm(a — b)= ,

cos(a -|-6) = cos(a-j-6) =

cosa cos b -J- sina sinô

Puisque a = — a, on a (11 ) sin a = — sin a, cos a = cos a; et par suite ces formules reviennent aux formules [t] et [2].

3° Maintenant démontrons qu’on peut, dans les formules [4] et [2], reculer indéfiniment les limites positives et négatives de a et b. Faisons a = 90° + a, a étant uu arc quelconque entre — 43° et + 45° : on aura, en prenant les compléments,

sin (« = sin(90° -f- « + b) = cos( — a — b) = cos(a-j- b)

cosa cos b — sina sin b

cos (a -j- b) = cos (90° -f * + ty — sin ( — a — *) = — sin (a -f- b)

— sin a cos b — cos a sin b — «■ 1 11 - 1 •

Mais puisque a = 90° -f* » , on a , par des réductions connues, sin a — sin (90° + “) = COS ( — a) = cos a. , cos a — cos (90° + “) = sin ( — #) = — sin a.

Donc on peut remplacer cos a par sin a, et sin a par — cos a, ce qui ramène encore aux formules [il et [2]. Or, en prenant a entre — 45° et -f- 45°, l’arc 90° -f a. ou a, passe par toutes les grandeurs depuis 45° jusqu’à 135°; donc la limite positive de a est reculée jusqu’à 135°. En répétant le même raisonnement, il est évident que cette limite peut être encore reculée de 90° ; et ainsi de suite à l’infini.

La démonstration qui a été faite plus haut (2°), pour prouver que si les formules [t] et [2] sont vraies pour les valeurs positives de a moindres que 45°, elles sont vraies aussi pour les mêmes valeurs prises négativement, peut évidemment s’appliquer au cas où la limite positive de a serait différente de 45°. Donc, puisqu’on vient de reconnaître qu’elles sont vraies pour toutes les valeurs positives de a , elles le sont aussi pour toutes les valeurs négatives.

Quant à l’arc b, il est évident qu’il se prête aux mêmes raisonnements que a , et qu'on peut aussi éloigner à l’infini chacune de ses limites. Donc enfin les formules [t] et [2], et par conséquent les formules [3] et [4], sont démontrées pour toutes les valeurs des arcs a et b.

Formules pour la multiplication et la division des arcs.

28. Désormais je supposerai toujours le rayon r = 1 , de sorte que les sinus, cosinus, etc. ne devront plus être considérés que comme de simples rapports, ainsi qu’on l’a expliqué n° 18. Par cette hypothèse, les formules des nM 20 et 26, deviennent

sin*a -f- cos’a = 1 , sin a

tang a = , cos a =

co s a

cos a sin a’

séca = , coséca = - — ,

cos a sma

sin (a ± 6) = sin a cos b dz cosa sin b ,

cos (o ± i) — cos a cos b zp sin a sin b.

TRIGONOMETRIE. 21

29. Cela posé , dans les expressions de sin (a + b) et cos (a -J- b) faisons b = a , il vient

[1] sin2a = 2sinacosa,

[2] cos 2a — cos’a — sin*a :

formules qui servent à calculer le sinus et le cosinus du double d’un arc, quand on connaît le sinus et le cosinus de cet arc.