AM AN
AM x AN = AM' x AN'. Or, cette égalité donne ~ —
donc, si par un point A, extérieur ou intérieur, on mène deux droites qui coupent le cercle, les distances comprises entre le point A •et le cercle, sur l’une des droites, sont réciproquement proportionnelles aux distances analogues comprises sur l’autre droite.
Cet énoncé comprend évidemment les deux théorèmes suivants, démontrés en Géométrie :
Quand deux cordes se coupent dans le cercle , les parties de l’une sont réciproquement proportionnelles aux parties de l’autre.
Si, par un point pris hors d’un cercle, on mène deux sécantes quelconques à la circonférence, les sécantes entières sont réciproquement jjroportionnelles à leurs parties extérieures.
A quoi l’on peut ajouter ce troisième théorème : Si , par un point pris hors d’un cercle, on mène une sécante et une tangente à ce cercle, la tangente sera moyenne proportionnelle entre la sécante et sa partie extérieure.
Ce dernier n’est en effet qu’un cas particulier du précédent , et il s’en déduit en supposant que l’une des sécantes tourne autour du point A jusqu’à ce que, les deux points d’intersection M' et N' se confondant en un seul , la droite devienne tangente. Alors la sécante entière et sa partie extérieure ne font plus qu’une seule et même distance, égale à la tangente.
283. Cherchons encore les conditions relatives à l’intersection et au contact des cercles. Pour y parvenir de la manière la plus facile, prenons pour axe des x (fig. 115) la droite Ax qui passe par les centres A et B, et plaçons l’origine des coordonnées ree-
tangulaires au centre A. En désignant par a la distance AB, et les deux rayons par R et R', les équations des cercles seront
Les coordonnées de chaque point commun aux deuv circonférences doivent satisfaire à ces deux équations ; et réciproquement, deux coordonnées qui satisfont à ces équations appartiennent à un point commun aux deux circonférences. Si donc on considère x et y comme deux inconnues, et qu’on cherche toutes les solutions des deux équations , celles qui seront réelles feront connaître les intersections des deux cercles.
Pour résoudre les équations, on effectue le carré [x — a)1 et on retranche la seconde de la première : il vient 2ax — a*=Rs — R", d’où l’on tire
En substituant cette valeur dans la première équation, on obtient les valeurs correspondantes de y, savoir :
y = ± i v/4«*R* — (a‘ + Rs — R'»)*.
On ne trouve que deux solutions, et de là ce théorème connu : Deux circonférences ne peuvent avoir plus de deux points communs, à moins qu’elles ne se confondent.
Les deux points d’intersection ayant une môme abscisse AP, mais deux ordonnées MP et NP, égales et opposées, on conclut encore cet autre théorème : Quand deux circonférences se coupent, la ligne des centres est perpendiculaire à la corde qui joint les points d’ intersection, et la divise en deux parties égales.
Pour qu’il y ait en effet intersection, il faut que la quantité soumise au radical , dans les valeurs de y, soit positive. Afin de reconnaître dans quel cas cette condition est remplie, remarquons d’abord que cette quantité est une différence de carrés, et que par suite y peut s’écrire ainsi :
y — ±~ \!l 2*R + a* + R’ — R”) (2aR — a» — R* + R'5).
sa
Chaque facteur est lui-même une différence de carrés, et peut aussi se décomposer en deux autres; de là résulte
y = ± g v/(« + R 4- R') (ecH-R — R') (R + R'- «) (a + R'- R)ï
Il est toujours permis de placer l'origine au centre du plus grand cercle, et de prendre les abscisses positives du même côté que le centre de l’autre cercle; c’est pourquoi je supposerai a positif et R > R' ou au moins égal. Alors les deux premiers facteurs sont positifs, et, pour que y soit réel, il faut que les deux autres facteurs soient tous deux positifs , ou tous deux négatifs. On devrait donc avoir en même temps a < R + R' et R < a + R', on bien «>R + R' et R> a + R':
Mais les deux dernières conditions sont incompatibles ; car il résulte de l'une que « serait > R , et de l’autre , que R serait > a, ce qui implique contradiction. Ainsi les conditions relatives à l’intersection des cercles sont a < R -f R' et R < a -j- R' : c’est-à-dire que la distance des centres doit être moindre que la somme des rayons , et que le plus grand rayon doit être moindre que la somme faite de la distance des centres et du plus petit rayon.
Pour qu’il y ait contact, il faut que les deux valeurs de y se réduisent à une seule, ce qui ne peut pas avoir lieu si la quantité placée sous le radical n’est pas nulle : mais les deux premiers facteurs ne peuvent pas être nuis; il faut donc que ce soit le 3* ou le 4*. Ainsi on doit avoir R + R' — a=0 d’où a = R + R', ou bien a + R' — R = 0 d’où a = R — R'. Donc , pour que deux cercles se touchent, il faut que la distance des centres soit égale à la somme des rayons, ou bien à leur différence. Dans l'un et l’autre cas, le contact a lieu sur la ligne des centres; et il est évident d’ailleurs que dans le premier cas il est extérieur et que dans le second il est intérieur.
Enfin y est imaginaire, et il n’y a plus de point commun aux deux circonférences, quand on a a> R + R', ou bien quand on a R > a + R' : car, dans l’une de ces hypothèses , il n’y a que le 3e facteur qui soit négatif, et dans l’autre, il n’y a que le 4e facteur qui le soit. Donc, pour que deux circonférences n’aient aucun point commun, il faut que la distance des centres soit plus grande que la somme des rayons , ou que le plus grand rayon surpasse la somme faite de la distance des centres et du plus petit rayon.
Si on avait en même temps R' = R et a = 0, les valeurs de x et de y se présenteraient sous la forme § , qui est le symbole de l’indétermination. Et en effet, les deux cercles ayant même centre et même rayon , leurs circonférences ont tous leurs points communs.
On pourrait se servir du calcul pour démontrer beaucoup d’autres théorèmes relatifs au cercle ; mais il nous suffit d’avoir retrouvé
ceux qui sont établis dans les Éléments de Géométrie, et dont l’usage est le plus fréquent.
De la tangente au cercle et de la normale.
284. En Géométrie on définit la tangente au cercle une droite qui n’a qu’un point commun avec la circonférence. Il suit de cette définition que si, par deux points M et M' (fig. 116), pris sur la circonférence, on mène une sécante indéfinie MS, et qu’on la fasse tourner autour du point M jusqu’à ce que le point M' se réunisse au point M , alors la droite deviendra tangente : car elle n’aura qu’un point commun avec la circonférence. Cette considération fournit un moyen facile de déterminer la tangente en un point donné sur la circonférence.
Soit S le point où l’axe des x est rencontré par la sécante qui passe par les points M et M' : en désignant par x' et y', x!' et y", les coordonnées des points M et M', on aura (214)
tangMS^j^.
Les deux points étant sur le cercle, leurs coordonnées doivent satisfaire à l’équation <Jp cette combe; donc, si l’équation du cercle est
[1] y’+*s = Rs,
on aura
En retranchant la seconde équation de la première, il vient y” — *"»+*'» — x"' = 0.
Cette équation peut se mettre sous cette forme
ly'-fW+y") + (*’-*")(*’+ x") = o.
Alors elle donne — — — —7 — - , et par suite
r/j XU
tangMSx =
Quand le point M' se réunit au point M, on a x " = x', y"— ÿ : alors la sécante MS prend la position de la tangente MT; donc, si dans l’expression ci-dessus on suppose x" = x' et y" —y", on aura la tangente de l’angle MTæ, formé avec l’axe des x par la tangente
GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE A DEUX DIMENSIONS. 227 au point M. Ainsi, en nommant a la tangente de cet angle, on a
L’équation de la droite MT est y — ÿ = a (x — a/) ; remplaçons-y a par sa valeur, et il viendra, pour l’équation de la tangente au point M,
En chassant le dénominateur ÿ, effectuant la multiplication par x', transposant les termes convenablement, et remarquant que ÿ * + x/* = R*, on obtient cette équation, qui est plus simple, [l] y y' + xx' = R?.
285. Il est facile de s’assurer à posteriori que la droite donnée par cette équation est en effet tangente au cercle, en démontrant qu’elle est tout entière hors du cercle, excepté dans le seul point qu’elle a de commun avec lui. Gela se voit très-simplement au moyen des équations
y;/ -)- xx! = R*, ÿ1* -f- x'1 = R!,
dont l’une appartient à la tangente, et dont l’autre signifie que le point de tangence est sur la circonférence du cercle. Si de la seconde on retranche le double de la première, il vient
— 2yy' + xf* — <ïxx'z= — R*;
et en ajoutant x 1 + y* aux deux membres on a
Le premier membre étant la somme de deux carrés, il s’ensuit que, pour aucun point de la tangente la quantité y2 + x* — R! ne saurait être négative : or, a:2 + y2 est le carré de la distance de l’origine, qui est le centre du cercle, à un point quelconque de la tangente ; donc cette distance n’est pas moindre que le rayon. Elle ne devient égale au rayon que lorsqu’on fait x = x' et y = y'; donc tous les points de la tangente, le point de tangence excepté, sont situés hors du cercle.
28G. Supposons maintenant qu’on veuille l’équation de la tangente qui passe par un point donné hors du cercle. Désignons par x ", y", les coordonnées de ce point, et par x!, y', celles du
point de contact qui est inconnu : quand on connaîtra x' et y', on aura, pour l'équation de la tangente,
y}/ + xx' = R*;
et comme la tangente doit passer au point donné, cette équation doit être satisfaite en y mettant x", ÿ, au lieu de x et de y, ce qui donne
On a de plus, pour exprimer que le point de contact est sur la circonférence,
Ces deux équations serviront à déterminer x', ÿ. De [a] on tire , R! — xV
y ~ yr '
Kn substituant cette valeur dans [p], on trouve cette équation x'*(x"* + y"*) — 2RW + R!(R! — y"*) = 0 , laquelle étant résolue par rapport à x', donne
, R V ± Ry’' v/x", + y//1— R5 .
et, en remplaçant x' par ces valeurs, on obtient les valeurs correspondantes de y',
, RY' q= Rx" s /x"* + y"* — R1 y~ 4- y"’
Quand le point donné est extérieur par rapport au cercle, on a x** 4* y'* > R’; donc alors les valeurs de x1 et de y' sont réelles, et il y a deux tangentes. Quand le point donné est sur la circonférence, on a x"* 4- y"s = R!, les valeurs de x? se réduisent à une seule, de même que celles de y', et il n'y a plus qu’une seule tangente. Enfin, quand le point est intérieur, on a x’'’ 4 y"* <R*, les valeurs de x' et de xf sont imaginaires, et on ne peut plus mener de tangente au cercle.
287. La construction des valeurs de x' et y' est assez compliquée et ne présente rien de remarquable. Mais si ou reprend les deux équations [a] et [p]
y"y'+x"x'= R*, y'î+x'*=R*, et si on regarde, dans chacune successivement, x' et y' comme in-
déterminées, on aura les équations de deux lieux géométriques qui contiennent les points de tangence. La seconde équation est celle du cercle proposé lui-même. La première est celle d’une ligne droite facile à construire; car si on suppose alternativement ÿ'=0 et x' = Q, on aura les distances de l’origine aux points où cette
droite rencontre les axes , savoir (fig. M7) : AT=— , AT’ = — .
Ces expressions se construisent assez simplement par des troisièmes proportionnelles. Les points T et T' sont donc déterminés; et par suite la droite TT, dont les rencontres avec le cercle donnent les points de contact M et M', l’est aussi.
288. En général, lorsqu’un problème conduit à deux équations, entre les coordonnées x et y d’un point inconnu , chacune de ces équations, prise isolément, donne un lieu géométrique sur lequel ce point est placé ; par conséquent, en construisant les deux lieux géométriques, on a deux lignes dont les intersections déterminent les points qui satisfont au problème.
Mais rarement ces lignes sont faciles à construire, et alors on en cherche d’autres qui remplissent cette condition. Or, si on ajoute les deux équations, ou qu’on les retranche l’une de l’autre, ou qu’on les combine de toute autre manière, on en déduira une nouvelle équation qui devra se vérifier par les mêmes valeurs de x et y que les deux premières; par conséquent, le lieu géométrique de cette équation devra contenir aussi le point cherché. Tout l’artifice consiste donc à opérer des combinaisons propres à donner des lignes faciles à construire ; et ce sont ordinairement des droites et des cercles qu’on tâche d’obtenir.
289. La construction donnée plus haut (287) pour obtenir les points de contact, toute simple qu’elle est, ne l’est pas encore autant que celle qui est connue par la Géométrie. Mais cette dernière se déduit aisément des considérations générales qu’on vient d’exposer. Reprenons encore les équations
y"y’+x"x'=W, ÿ'*+x'»=R*, dans lesquelles x' et y' sont les coordonnées inconnues du point de contact. Si on retranche la première de la seconde, il vient y'*— y"y'+x’* — x"x'= 0.
En complétant les carrés, cette équation peut s’écrire ainsi
.y'- if Y + i
et en la comparant alors avec l’équation générale du cercle (273), on reconnaît qu’elle représente elle-même une circonférence dont le centre a pour coordonnées \^> W> et dont le rayon est \J i y"’ Or, si on suppose que N soit le point donné par
lequel on doit mener les tangentes, si on joint AN, et si on prend le milieu O de AN, il est clair que x" et y" étant les coordonnées du point N, celles du point O seront \x", \ÿ', et que AO = \J { y -j- ; donc le nouveau cercle, dont la circonférence contient les points cherchés, doit être décrit sur AN comme diamètre : c’est la construction connue.
Les résultats de cette construction s’accordent parfaitement avec les conclusions tirées des valeurs de x' et de ÿ. Il est évident, en effet, que dans tous les cas où le point N est hors du cercle donné, la circonférence décrite sur AN doit couper la première en deux points; que ces deux points se réduisent à un seul, qui est le point N lui-même, quand le point N est sur cette circonférence (fig. 118); et qu’il n’y a plus d’intersection possible quand le point N est au dedans du cercle donné , car alors les deux circonférences sont intérieures l’une à l’autre (fig. 1 19).
