DE L’ELLIPSE

L’ellipse rapportée à son centre et à ses axes, etc.

292. On a vu précédemment (267) qu’il existe un système unique de coordonnées rectangulaires pour lequel l’équation de l’ellipse prend la forme y * + wi’x* = p.

Si p est négatif, cette équation est impossible , puisque le premier membre ne peut pas devenir négatif, quelque valeur réelle qu’on y substitue pour a; et y. Si p = 0, l’équation ne représente que la seule origine : car le premier membre ne peut être nul qu’en y. faisant en même temps # = 0 et y = 0. Ainsi, pour que l’équation représente véritablement une ellipse, p doit être une quantité positive. C’est pourquoi je remplacerai p par 6% et je prendrai, pour l’équation de l’ellipse,

293. Cette forme montre d’ailleurs, à la seule inspection, que l’origine des coordonnées est au centre de l’ellipse : car les termes du 1er degré n’y sont pas (268). Elle montre également que l’axe

des x et celui des y sont des diamètres , et même des axes de la, courbe; car cette équation donnant, pour chaque abscisse AP (fig. 120), deux ordonnées égales et opposées, et aussi, pour chaque ordonnée AQ, deux abscisses égales et opposées, il s’ensuit que chacun des axes de coordonnées est perpendiculaire sur les cordes parallèles à l’autre , et les divise en deux parties égales. On verra plus loin que l’ellipse n’a pas d’autres axes que ceux-là.

294. Pour avoir les grandeurs de ces axes, c’est-à-dire la partie de chacun d’eux qui est comprise dans l’ellipse , on fait successivement y — 0 et x = 0 dans l’équation de cette courbe. Or y = 0

donne x = ± — , et x = 0 donne y — de: b; en conséquence on m

prendra AB = AG = — sur la ligne des x, et AD = AE = b sur la

ligne des y : les distances BC, DE, seront les longueurs des axes.

On appelle grand axe ou premier axe la plus grande de ces deux distances, et petit axe ou second axe la plus petite. Les points B, G, D, E sont les sommets de l’ellipse. Cependant ce nom se donne plus particulièrement aux extrémités du grand axe.