Le triangle AMP donne

MA = v/x* + ys=Y/®,+ ^i («’ — ^*) = y/ (“T-) ** + b'-

Il est toujours permis de prendre les abscisses sur le grand axe : ainsi on peut supposer a > b. Or, il est clair qu’en faisant occuper au point M toutes les positions possibles entre les points D et B, x croissant depuis zéro jusqu’à a, MA croîtra depuis DA — b jusqu’à BA = a ; donc , si dans l'ellipse on mène des droites ou rayons entre la courbe et son centre , le plus petit rayon est égal « la moitié du petit axe , et le plus grand rayon, à la moitié du grand axe.

Quand b = a, on a MA = a : c’est-à-dire que les rayons sont égaux, ce qui fait reconnaître le cercle.

301. En supposant que x et y représentent les coordonnées d’un

point particulier M pris sur l’ellipse , l’équation [c] donne

Or, sur la figure, on a MP = y, BP = (a — x), PG = a -{- x ; donc MP* = ^XPBX PC. Pour un autre point M', on a de même

MP'* = ^ X P B X PC; donc a

MP* PBXPG fp!“FBxP'C'

Donc, dans l’ellipse , les carrés des ordonnées, perpendiculaires à l’un des axes de cette courbe, sont entre eux comme les produits des segments correspondants formés sur cet axe.

302. Pour tous les points situés sur l’ellipse, on doit avoir ay>+ b'x'— a* b- — 0. Si on considère un point extérieur K, et qu’on tire la droite AK, cette ligne coupera l’ellipse en un point M dont les coordonnées seront moindres que celles du point K; donc, pour le point K, on aura a'y' -f- blx* — a'b* > 0. On verrait de la même manière qu’on a a* y* -f- btxt — a'b* < 0 pour un point intérieur K'. Ainsi on a toujours

a'y* -f b'r' — a’ô1 = 0 pour un point pris sur l’ellipse, a*yt-\-btxt — aibi^> 0 pour un point extérieur, a *ÿ* -f b'x* — aibi < 0 pour un point intérieur.

Par conséquent, pour savoir si un point est sur l’ellipse, s’il est extérieur, ou s’il est intérieur, il suffit de reconnaître si la quantité dé y'- + 6’x5 — est nulle, positive, ou négative.

Comment on décrit l’ellipse an moyen des axes.