PN = - X PM

et cette valeur est précisément celle de l’ordonnée de l’ellipse, correspondant à l’ordonnée PM du cercle. En répétant cette construction, on aura autant de points qu’on voudra.

305. 2e construction. D’un point quelconque F (fig. 122) pris sur l’un des axes, sur l’axe égal à 2 b, par exemple, et d’un rayon égal à la somme a + b des deux demi-axes, on décrit un arc de cercle qui coupe l’autre axe en E; on joint FE, et on prend FM égal à a : le point M sera à l’ellipse.

En effet, si du point M on mène MR et MP parallèles aux deux axes, on aura, par le triangle MRF,

FR = V^FM* — MR* = y/a* — x* ; et ensuite les deux triangles semblables MRF, EMP, donneront

MP ME y b .

ou .• — ~ i donc

FR MF y/ a* — x * a

y = sjax—xx ; donc le point M est à l’ellipse.

Il est clair que EF peut être une règle dont la longueurest a-\-b, et sur laquelle on marque un point M tel que MF=a. En faisant mouvoir cette règle dans l’angle xAy, le point M décrira un quart de l’ellipse demandée ; et on aura^les autres parties de l'ellipse en plaçant la règle dans les autres angles.

306. 3° construction. D’un point quelconque F (fig. 123) pris sur le petit axe , et d’un rayon FE égal à la différence a — A des demi-axes , décrivez un arc de cercle qui coupe l’axe BC en E; par les points E et F menez FEM ; et prenez FM = AB = a. Le point M appartiendra à l’ellipse.

Si, parallèlement à BC, on mène FR qui rencontre en R le prolongement de l’ordonnée MP, on aura, dans le triangle rectangle FMR, MR=s/ôî — x * : et ensuite les triangles semblables

lien lien j . MP ME M b

MEP, MFR, donneront —= — rr= ou J = - : donc MR MF fîT—i a

par conséquent le point M appartient à l’ellipse.

FM peut être une règle d’une longueur égale à a, sur laquelle on marque un point E tel que EM = b. En faisant mouvoir la ligne EM, d’abord dans l’angle xA y, et ensuite dans les trois autres , on aura toutes les parties de l’ellipse demandée.

Des foyers et des directrices.

307. Lorsqu’on cherche la distance d’un point donné à un point quelconque de l’ellipse, et qu’on exprime cette distance en fonction de l’abscisse de la courbe , on trouve une formule assez compliquée, dans laquelle cette abscisse est engagée sous des radicaux. Mais cette formule se réduit à une fonction rationnelle d’une extrême simplicité en plaçant dans certaines positions le point d’où part la distance ; et dès lors ces positions méritent d’être remarquées. La question à résoudre est donc celle-ci :

L’ellipse étant rapportée « ses axes, déterminer les points dont la distance, à un point quelconque de cette courbe , est exprimée par une fonction rationnelle de l’abscisse de ce point. Ces points se nomment les foyers de l’ellipse.

Soit pris à volonté un point G (fig. 124) dans le plap de l’ellipse :

désignons par x' et ÿ ses coordonnées, par x et y celles d’un point quelconque M de la courbe , et par 8 la distance GM , on aura ô* = [x — x')* -{-(y — ÿ')’, ou, en développant les carrés,

Le point M étant sur l’ellipse, on a entre x et y l’équation «*ÿ* + i’x1 = «*ô*. Or, en tire

portons donc cette valeur dans S*, et on aura , réductions faites ,

Pour que 8 soit une fonction rationnelle de x, il faut à plus forte raison que 8’ en soit une, ce qui ne peut pas arriver à moins que le radical ne disparaisse. Or, ce radical ne peut disparaître qu’en faisant y = 0; donc le point G, pour être un foyer de l’ellipse, doit être situé sur l’axe des x.

En faisant y' = 0, on a

et le seul moyen de rendre la valeur de 8 rationnelle en x est de disposer de l’indéterminée x* de manière que le second membre soit un carré parfait. Pour cela, il faut qu’on ait

4(6*+x'»)(^-,) = 4x'«, équation d’où l’on tire , après réductions ,

x' — ± */«* — br.

Ces valeurs ne sont réelles qu’aulant que a est plus grand que l : c'est-à-dire que les abscisses doivent être comptées sur le grand axe, et non sur le petit. Supposons donc qu’il en soit ainsi , et nous aurons deux foyers , F et F’, situés sur le grand axe , de part et d'autre du centre, à une distance égale à y/a* — 6* .

On construit facilement ces foyers par les intersections du grand axe BC et d’un arc de cercle décrit du point D, extrémité du petit axe 2 b, avec un rayon égal à n. En effet, si on suppose

que F et F' aient été trouvés par cette construction, on aura AF = AF' = V a* — b*.

La distance FF' se nomme l'excentricité de l’ellipse.

308. Cherchons maintenant les valeurs des distances FM et F'M , qu’on nomme ordinairement rayons vecteurs. Si on veut avoir FM, on mettra dans la dernière expression de S1, au lieu de x' la valeur positive + y a* — 6*; et pour avoir F'M , on remplacera par x' la valeur négative — \Ja ’ — b1. Faisons, pour plus de simplicité, y/â* — b'- = c, remarquons que 6* -f-c* = as, et nous trouverons

FM^^—acx-f-a*, FM, = ^ + 2cx + a% a* a’

ou, en extrayant les racines,

On ne doit prendre que les valeurs qui sont positives : or, x est moindre que a pour tous les points de l’ellipse, et c est aussi une quantité moindre que a; donc il faut prendre, pour FM et F'M, les premières valeurs, c’est-à-dire,

FM = a — — , F'M = a -f- — .

309. En ajoutant ces expressions, on trouve FM + FM = 2a, ce qui donne ce théorème remarquable : La somme des rayons vecteurs, menés à un point quelconque de l’ellipse, est constante et égale au grand axe.

310. Soit N (fig. 123) un point hors de l’ellipse, menons NF et NF'. Soit M le point où NF' coupe l'ellipse, joignons MF. On a FN -f F'N > FM -f- F'M : or, FM + F'M = 2a ; donc FN +F'N > 2a.

Pour un point intérieur N', on a, en suivant la figure, FN' -f- F'N' < FM -f F'M ; donc FN" + F'N' < 2a.

Ainsi , selon qu’un point est sur l’ellipse, ou au dehors, ou au dedans, la somme des rayons vecteurs, menés à ce point, est égale au grand axe, ou plus grande, ou moindre.

311. Ce qui précède donne un moyen fort simple de trouver autant de points qu’on voudra d’une ellipse, ou même de la décrire d’un mouvement continu, quand on connaît son grand axe BC et ses foyers F et F' (fig. 123).

On prend sur BC une longueur quelconque BK; du foyer F,

avec BK pour rayon, on décrit un arc de cercle; de l’autre foyer F', avec CK pour rayon, on décrit aussi un arc de cercle. Le point M, où se coupent ces arcs, appartient à l’ellipse : car on a FM + F'M = BC.

Il est bon de décrire les arcs de cercle au-dessus et au-dessous de l’axe. Par ce moyen on trouve à chaque opération deux points de l’ellipse; et on en obtient quatre quand on porte successivement la même ouverture de compas à chacun des foyers.

Lorsque l’ellipsé doit être fort grande, comme cela a lieu lorsqu’on opère sur le terrain, on fixe aux foyers les extrémités d’un cordeau dont la longueur est égale au grand axe, et qu’on tend par le moyen d’un piquet : on fait glisser ce piquet de manière que le cordeau soit toujours tendu, et la courbe se trouve tracée quand il a fait une révolution entière.

312. Proposons-nous de résoudre directement cette question : Trouver me courbe telle que la somme des distances de chacun de ses points à deux points fixes soit constante et égale à 2a.

Par les deux points fixes F et F (fig. 124), menons la droite x'x, et au milieu de A de FF' élevons la perpendiculaire t/y. Soit M un point de la courbe, abaissons la perpendiculaire MP, et prenons PM' = PM. Le point M' sera aussi à la courbe, car on a FM' -j- FM' = FM + F'M = 2a; donc la ligne x'x partage la courbe symétriquement. Le même raisonnement s’applique à la ligne ÿy. C’est pourquoi l’on choisit x'x et t/y pour axes des coordonnées. Cela posé, puisqu’on doit avoir FM + F'M = 2a, on peut faire

FM = a — z, FM = a + z,

z étant une quantité variable. Désignons par c la distance AF, et para: et y les coordonnées AP et PM; les triangles rectangles MFP, MF'P donnent

équations entre lesquelles il s’agit d’éliminer z. En retranchant la première de la seconde, il vient

» ex

4 ex = 4az, d’ou z = — .

En portant cette valeur dans l’une des équations, on obtient, pour l’équation de la courbe cherchée, après toute réduction,

a*y 1 (a* — c!)x* = a*(a* — cs).

D’après l’énoncé même , il est clair qu’on a FM -f- F'M > FF'; donc 2a > 2c; donc a* — c* est une quantité positive. Si on compare l’équation ci-dessus avec celle de l’ellipse ,

on voit que les deux équations, et par conséquent les deux courbes qu’elles représentent seront identiques , quand on aura

On tire de là 4=y/a’ — c*; donc la courbe cherchée est une ellipse dont le grand axe = 2a, et dont le petit axe = 2 ^ja1 — c*.